Thèse

Thèse de Doctorat :

J’ai soutenu ma thèse de doctorat le 16 novembre 2016 à l’Université Nice Sophia Antipolis (mention Très Honorable). Elle a été récompensée par le Prix Marie-Jeanne Laurent-Duhamel de la Société Française de Statistique (SFdS).

• Manuscrit : ou HaL : tel-01274647.

• Titre : Tests d’indépendance par bootstrap et permutation : étude asymptotique et non-asymptotique. Application en Neurosciences.

• Directrices de thèse : Patricia Reynaud-Bouret (Université Nice Sophia Antipolis) et Magalie Fromont (Université Rennes 2).

• Rapporteurs : Gilles Blanchard (Université de Potsdam, Allemagne), Robert E. Kass (Carnegie Mellon University, Pittsburg, États-Unis).
• Jury : Sylvain Arlot, Patrice Bertail, Gilles Blanchard, Jean-François Coeurjolly, Magalie Fromont, Robert E. KASS, Oleg Lepski, Patricia Reynaud-Bouret.

• Mots clés : tests d’indépendance, bootstrap, permutation, randomisation, U-statistiques, processus ponctuels, neurosciences, analyse de trains de spikes, synchronisation, Unitary Events, trial-shuffling, tests multiples, inégalités de concentration, vitesses de séparation uniforme, tests adaptatifs, ondelettes, espaces de Besov faibles, tests agrégés.

• Résumé : Initialement motivée par la détection de synchronisations dans l’analyse des suites de potentiels d’action en neurosciences, cette thèse vise à construire de nouveaux tests d’indépendance non-paramétriques, applicables aux processus ponctuels, ayant de bonnes propriétés à la fois asymptotiques et non-asymptotiques. Dans un premier temps, nous construisons de tels tests basés sur des approches par bootstrap ou par permutation. Nous étudions leurs performances asymptotiques dans un cadre de processus ponctuels, à travers l’étude du comportement asymptotique des lois conditionnelles des statistiques de test bootstrappée et permutée, sous l’hypothèse nulle ainsi que sous n’importe quelle alternative. Une étude par simulation nous permet de vérifier que ces tests sont bien applicables en pratique, et de les comparer à d’autres méthodes classiques en neurosciences. Ensuite, nous nous intéressons plus particulièrement aux tests par permutation, connus pour leurs bonnes propriétés en termes de niveau non-asymptotique. Les p-valeurs correspondantes, basées sur la notion de coïncidences avec délai, sont implémentées dans une procédure de tests multiples de type Benjamini-Hochberg, appelée méthode Permutation Unitary Events, afin de détecter les synchronisations entre suites de potentiels d’action en neurosciences. Nous avons vérifié la validité d’un point de vue pratique de la méthode avant de l’appliquer à de vraies données. Dans un second temps, nous avons étudié les performances non-asymptotiques des tests par permutation en termes de vitesse de séparation uniforme. Nous construisons une nouvelle procédure de tests agrégés, basée sur l’approche par permutation et une méthode de seuillage par ondelettes dans un cadre de variables aléatoires à densité. Habituellement, le contrôle précis des quantiles nécessite des inégalités de concentration. En nous basant sur les inégalités fondamentales pour les permutations aléatoires de Talagrand, nous démontrons une nouvelle inégalité de concentration de type Bernstein pour des sommes permutées aléatoirement. Cela nous permet alors de majorer la vitesse de séparation uniforme de notre procédure agrégée sur des classes particulières de fonctions, à savoir les espaces de Besov faibles, par rapport à la distance quadratique, et de déduire, au vue de la littérature, que cette procédure semble être optimale et adaptative d’un point de vue minimax.