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  {
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   "execution_count": null,
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    "collapsed": true
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "%matplotlib inline\n",
    "from matplotlib.pyplot import *\n",
    "from numpy import *\n",
    "#from scipy import *"
   ]
  },
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   "source": [
    "# Méthodes numériques \n",
    "\n",
    "## TD/TP n° 2 - Intégration numérique \n",
    "\n",
    "### Exercice 1 - méthode des rectangles et des trapèzes\n",
    "\n",
    "Retrouver les formules de quadrature pour la méthode des rectangles et  des trapèzes, ainsi que l'ordre de ces méthodes.\n",
    "\n",
    "Écrire deux fonctions `MethPointMil(a,b,f)` et `MethTrap(a,b,f)` qui calculent une approximation de l'intégrale de la fonction `f` sur le segment `[a,b]` respectivement par la méthode des rectangles point milieu et la méthode des trapèzes.\n",
    "\n",
    "On considère la fonction $f(x)=\\cos(x)$ dans l'intervalle $[0,2].$\n",
    "Déterminer numériquement l'erreur pour les deux formules de quadrature dans ce cas particulier.\n",
    "Est-on en accord avec la théorie ?"
   ]
  },
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   "source": []
  },
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   "source": [
    "### Exercice 2  \n",
    "\n",
    "Écrire une fonction `MethComp(Meth,a,b,f,N)`, qui retourne une approximation\n",
    "numérique de l'intégrale de la fonction `f` sur `[a,b]`, en utilisant la méthode d'intégration composite sur `N` sous-intervalles construite à partir de la méthode d'intégration `Meth`.\n",
    "\n",
    "Ici, `Meth` est une méthode d'intégration numérique quelconque -- autrement dit, `Meth(a,b,f)` retourne une approximation de l'intégrale de `f` sur `[a,b]`.\n",
    "\n",
    "Utiliser cette fonction pour calculer une approximation de la fonction $f(x)=\\cos(x)$ par les méthodes composites des rectangles-point milieu et des trapèzes, avec `N` = 25 (en utilisant les fonctions définies à l'exercice 1).\n",
    " \n",
    "Déterminer numériquement l'erreur pour chacune des méthodes dans ce cas particulier. Est-on en accord avec la théorie ?\n"
   ]
  },
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   "source": [
    "### Exercice 3\n",
    "\n",
    "Retrouver la formule de quadrature pour la méthode de Simpson. Déterminer numériquement l'erreur de quadrature dans ce cas particulier.\n",
    "Est-on en accord avec la théorie ?"
   ]
  },
  {
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   "execution_count": null,
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    "collapsed": true
   },
   "outputs": [],
   "source": []
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Exercice 4\n",
    "\n",
    "Écrire une fonction 'evalquadn(f,X,alpha)' donnant l'intégrale approchée d'une fonction $f$ par la formule de quadrature $J_n(f)=\\sum_{i=0}^n \\alpha_i f(x_i).$\n",
    "\n",
    "Vérifier numériquement que la méthode des trapèzes est inexacte à l'ordre 2 et que la méthode de Simpson est exacte à l'ordre 3. Peut-on montrer mathématiquement ce résultat ?  "
   ]
  },
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   "source": [
    "### Exercice 5\n",
    "(comparaison des ordres des erreurs pour les méthodes composites des trapèzes et de Simpson) \n",
    "\n",
    "Tracer en fonction de $m$ (nombre de sous-intervalles) sur un graphe log-log les erreurs pour les méthodes composites des trapèzes et de Simpson pour la fonction $f(x)=\\cos(x)$ sur l'intervalle $[0,2]$ . Les résultats sont-ils conformes avec la théorie ? "
   ]
  },
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   "execution_count": null,
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   },
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 "metadata": {
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   "display_name": "Python 2",
   "language": "python",
   "name": "python2"
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