{"id":1151,"date":"2015-12-11T10:42:12","date_gmt":"2015-12-11T10:42:12","guid":{"rendered":"http:\/\/pageperso.math.univ-toulouse.fr\/hippocampe\/?p=1151"},"modified":"2015-12-11T10:42:12","modified_gmt":"2015-12-11T10:42:12","slug":"lycee-victor-hugo-colomiers-nombres-complexes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/perso.math.univ-toulouse.fr\/hippocampe\/2015\/12\/11\/lycee-victor-hugo-colomiers-nombres-complexes\/","title":{"rendered":"Lyc\u00e9e Victor Hugo (Colomiers) – Nombres complexes"},"content":{"rendered":"

Cette semaine, ce sont les \u00e9l\u00e8ves de 1\u00e8re S du lyc\u00e9e Victor Hugo de Colomiers qui sont venus s’initier \u00e0 la recherche \u00e0 l’institut de math\u00e9matiques de l’universit\u00e9 Paul Sabatier. Ils \u00e9taient ravis lorsqu’ils ont pris le\u00a0bus en direction de l’universit\u00e9 ! Leur th\u00e8me de recherche les attendait : ce sera les nombres complexes<\/a>.<\/p>\n

\"Deux<\/a>

Deux fonctions polynomiales<\/p><\/div>\n

Les nombres complexes ont \u00e9t\u00e9 introduits pour comprendre les z\u00e9ros des polyn\u00f4mes. Sur le dessin \u00e0 gauche, on voit le graphe de deux fonctions polynomiales de degr\u00e9 3. Un exemple de telle fonction est donn\u00e9e par l’application qui \u00e0 un r\u00e9el x associe le r\u00e9el x\u00b3+x. Essayer de tracer cette fonction : pour x = 0, elle vaut 0\u00b3+0 = 0 ; pour x=1, elle vaut 1\u00b3+1 = 2 ; pour x=2, elle vaut 2\u00b3+2 = 10… et ainsi de suite. Sur le dessin, on voit que la courbe jaune coupe trois fois l’axe horizontal. Par contre, la courbe orange ne le coupe qu’une fois. Les nombres complexes permettent de comprendre ce que le dessin ne montre pas : les deux autres points o\u00f9 la courbe coupe l’axe horizontal.<\/p>\n

\"Cercle<\/a>

Cercle trigonom\u00e9trique et nombres complexes<\/p><\/div>\n

Dans les formules de Gerolamo Cardano et de Rapha\u00ebl Bombelli, il y avait une quantit\u00e9 impossible :\u00a0\u221a-1. Connaissez-vous un nombre qui \u00e9lev\u00e9 au carr\u00e9 donne -1 ? S’il n’existe pas encore, ce n’est pas grave, on va le d\u00e9finir et l’appeler i. On aura alors i\u00b2 = -1. Mais attention, il n’est pas le seul, on a aussi (-i)\u00b2 = -1. Comment comprendre ce nombre ? Le dessin sur la droite va nous aider. Lorsque l’on part de 1, on peut arriver \u00e0 -1 en faisant une rotation d’angle 180\u00ba et de centre 0. Une autre fa\u00e7on de faire, si on n’est pas sportif, est de commencer par\u00a0une rotation de 90\u00b0 et de centre 0, de faire une pause, puis de continuer avec\u00a0une rotation de 90\u00b0 de centre 0. Au final, on aura fait une rotation d’angle 180\u00b0 et de centre 0. Voil\u00e0 notre repr\u00e9sentation g\u00e9om\u00e9trique de i, il correspond \u00e0 une rotation d’angle 90\u00b0 et de centre 0. Si on r\u00e9p\u00e8te\u00a0cette op\u00e9ration deux fois, on tombera sur -1.<\/p>\n

Pendant trois jours, les \u00e9l\u00e8ves de Colomiers se sont creus\u00e9s les m\u00e9ninges sur des questions abstraites \u00e0 propos des nombres complexes. Ils ont ensuite pr\u00e9sent\u00e9 leurs travaux aux membres de l’institut de math\u00e9matiques \u00e0 l’aide de posters sur les sujets suivants :<\/p>\n

    \n
  • les propri\u00e9t\u00e9s des nombres complexes,<\/li>\n
  • les relations entre les coefficients d’un polyn\u00f4me et ses racines,<\/li>\n
  • les liens entre les nombres complexes et la trigonom\u00e9trie,<\/li>\n
  • la m\u00e9thode de Cardano et<\/li>\n
  • la r\u00e9solution d’\u00e9quations polynomiales de degr\u00e9 3 particuli\u00e8res.<\/li>\n<\/ul>\n\n\t\t