{"id":1327,"date":"2016-12-29T22:08:44","date_gmt":"2016-12-29T22:08:44","guid":{"rendered":"http:\/\/pageperso.math.univ-toulouse.fr\/hippocampe\/?p=1327"},"modified":"2017-05-23T15:03:25","modified_gmt":"2017-05-23T15:03:25","slug":"lycee-raymond-savignac-villefranche-de-rouergue-fractions-continues-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/perso.math.univ-toulouse.fr\/hippocampe\/2016\/12\/29\/lycee-raymond-savignac-villefranche-de-rouergue-fractions-continues-2\/","title":{"rendered":"Lyc\u00e9e Raymond Savignac (Villefranche de Rouergue) \u2013 Fractions continues"},"content":{"rendered":"

Ce mardi 13 d\u00e9cembre au matin, un bus arrive \u00e0 l’Universit\u00e9 Paul Sabatier. Il am\u00e8ne 34 \u00e9l\u00e8ves de 1\u00b0S du lyc\u00e9e Raymond Savignac, partis tr\u00e8s t\u00f4t de Villefranche de Rouergue, accompagn\u00e9s de leurs enseignants. Trois jeunes \u00e9l\u00e8ves, accomplissant leur stage de 3\u00e8me, sont d\u00e9j\u00e0 sur place depuis la veille. Tous vont\u00a0s’initier pendant trois jours \u00e0 la recherche en math\u00e9matiques, avec l’aide\u00a0d’enseignants-chercheurs et de doctorants de l’Universit\u00e9. Ils d\u00e9couvrent ce matin-l\u00e0 qu’ils vont avoir \u00e0 \u00a0r\u00e9fl\u00e9chir sur les fractions<\/strong> continues<\/strong>, th\u00e8me compl\u00e8tement nouveau pour eux.<\/p>\n

Mais de quoi s’agit-il ?<\/p>\n

Parlons un peu des nombres. Il y a ceux que l’on peut \u00e9crire de mani\u00e8re exacte sous forme d\u00e9cimale, comme 1,5. Ce sont les nombres d\u00e9cimaux.
\nIl y a \u00a0ceux qui sont le quotient de deux nombres entiers : ce sont les nombres rationnels, comme [latex]\\large\\frac{18}{35}[\/latex], mais aussi comme 1,5 qui est \u00e9gal \u00e0 $latex\\large\\frac{3}{2}$ [latex]\\large\\frac{18}{35}[\/latex], mais aussi comme 1,5 qui est \u00e9gal \u00e0 [latex]\\large\\frac{3}{2}[\/latex].
\nNous pouvons\u00a0approcher la valeur de [latex]\\large\\frac{18}{35}[\/latex]\u00a0au moyen d’une \u00e9criture d\u00e9cimale :\"\"
\n[latex]\\large\\frac{18}{35}[\/latex]\u00a0\u2248 0,5142857\u00a0142857\u00a0142857.\u00a0\u00a0Si nous continuons la division, la suite de chiffres 142857 se r\u00e9p\u00e9tera \u00a0\u00e0 l’infini. Cette suite de chiffres est appel\u00e9e la p\u00e9riode du nombre rationnel.
\nEt puis, il y a les nombres que l’on ne peut pas \u00e9crire sous forme de quotient d’entiers. Ce sont les irrationnels, dont le c\u00e9l\u00e8bre nombre \u00a0\u03c0, mais aussi comme\u00a0\u221a2 par exemple.<\/p>\n

Nous pouvons\u00a0approcher la valeur de\u00a0\u03c0 au moyen d’un nombre d\u00e9cimal :\u00a0\u03c0\u22483,1415926 par exemple.
\nLes fractions continues constituent une autre mani\u00e8re d’approcher la valeur d’un nombre, en quelque sorte une alternative \u00e0 une \u00e9criture d\u00e9cimale.
\nPar exemple :\u00a0\u03c0= 3+0,1415926… Or 0,1415926… =\u00a0 [latex]\\large\\frac{1}{7,062513…}[\/latex]
\nDonc :\u00a0\u03c0 = 3 + [latex]\\large\\frac{1}{7,062513…}[\/latex]. \u00a0Dans une premi\u00e8re approximation, en n\u00e9gligeant 0,062513…,<\/p>\n

\"\\pi=3nous obtenons\u00a0donc :\u00a0\u03c0\u2248 3 + [latex]\\large\\frac{1}{7}[\/latex].
\nEn \u00e9tant plus exigeants, nous pouvons voir que 0,062513… = [latex]\\large\\frac{1}{15,99659…}[\/latex]
\net donc \u00e9crire :
\n\u03c0 =\u00a03 + [latex]\\large\\frac{1}{7,062513…}[\/latex]
\n= 3 + [latex]\\large\\frac{1}{7+\\frac{1}{15,99659…}}[\/latex].
\nDans une deuxi\u00e8me
\napproximation, nous obtenons donc :
\n\u03c0\u2248 3 + [latex]\\large\\frac{1}{7+\\frac{1}{16}}[\/latex]<\/p>\n

Et ainsi de suite… nous empilerons les fractions \u00e0 l’infini, cela ne s’arr\u00eatera jamais !<\/p>\n

De mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale, n’importe quel nombre r\u00e9el peut \u00eatre \u00e9crit sous la forme d’une fraction continue.\u00a0\"a_0Pour \u00e9viter de remplir des pages de fractions (comme ci-contre !), on note plus simplement :
\n\"[a_0;.<\/p>\n

Pendant trois jours, avec passion, patience ou impatience, les \u00e9l\u00e8ves se sont creus\u00e9 la t\u00eate pour explorer ces diff\u00e9rentes notions et les propri\u00e9t\u00e9s des fractions continues. Et ce fut souvent difficile !
\nLa derni\u00e8re demi-journ\u00e9e, ils ont pr\u00e9sent\u00e9 les posters qu’ils avaient confectionn\u00e9 aux membres de l’institut de math\u00e9matiques qui ont ainsi pu leur poser des questions sur :<\/p>\n