{"id":1379,"date":"2017-01-16T09:04:15","date_gmt":"2017-01-16T09:04:15","guid":{"rendered":"http:\/\/pageperso.math.univ-toulouse.fr\/hippocampe\/?p=1379"},"modified":"2017-05-19T08:20:03","modified_gmt":"2017-05-19T08:20:03","slug":"lycee-francoise-tournefeuille-permutations","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/perso.math.univ-toulouse.fr\/hippocampe\/2017\/01\/16\/lycee-francoise-tournefeuille-permutations\/","title":{"rendered":"Lyc\u00e9e Fran\u00e7oise (Tournefeuille) – Permutations"},"content":{"rendered":"

Mardi 10 janvier 2017. Depuis la veille l’eau a envahi la station de m\u00e9tro de Saint-Agne. Chacun arrive comme il peut \u00e0 l’Universit\u00e9 Paul Sabatier, qui \u00e0 pied, qui en bus \u00e0 travers les embouteillages… C’est donc avec un peu de retard que les \u00e9l\u00e8ves de 1\u00b0S du lyc\u00e9e Fran\u00e7oise de Tournefeuille accompagn\u00e9s de leurs professeurs arrivent pour participer \u00e0 leur stage Hippocampe. Un enseignant-chercheur les attend pour leur expliquer les bases de leur th\u00e8me de recherche \u00a0: les permutations sur des ensembles finis.<\/p>\n

Il s’agit pour eux d’une d\u00e9couverte. Permutations et d\u00e9nombrements ont disparu depuis quelques ann\u00e9es des programmes du lyc\u00e9e. Comment compter le nombre de fa\u00e7ons\u00a0d’ordonner les \u00e9l\u00e9ments d’un ensemble ?
\n\"permutations-deux-elements\"<\/a>Il n’est pas difficile de voir qu’il y a 2 fa\u00e7ons de le faire lorsque l’ensemble a deux \u00e9l\u00e9ments, et qu’il y en a 6 pour un ensemble de trois \u00e9l\u00e9ments.<\/p>\n

Ce sont les permutations de ces ensembles. Les \u00e9l\u00e8ves d\u00e9couvrent ainsi les factorielles : le calcul 3 x 2 x 1 qui permet de compter le nombre de permutations d’un ensemble \u00e0 3 \u00e9l\u00e9ments se note : 3! (factorielle 3).<\/p>\n

Et ainsi de suite… Le nombre de permutations d’un ensemble \u00e0 n<\/em> \u00e9l\u00e9ments est \u00e9gal \u00e0
\nn<\/em> x (n<\/em>-1) x (n<\/em>-2) x … x 2 x 1 = n<\/em>!<\/p>\n

\"cycle-2-2\"

Notation d’un cycle de trois \u00e9l\u00e9ments<\/p><\/div>\n

Ils d\u00e9couvrent ensuite les transpositions<\/em>, permutations tr\u00e8s simples qui \u00e9changent deux \u00e9l\u00e9ments de l’ensemble en laissant les autres invariants. Puis les cycles<\/em>, ou permutations circulaires, qui font “tourner” certains \u00e9l\u00e9ments en laissant les autres invariants.
\nUne transposition est un cycle de deux \u00e9l\u00e9ments.<\/p>\n

\"composition-2\"Prenons un exemple. Faisons agir sur l’ensemble de 5 \u00e9l\u00e9ments
\n{a, b, c, d, e<\/em>} la permutation not\u00e9e \u00a0:\u00a0(a, b, c) (d, e).
\n<\/em>Voyez ci-contre ce que nous obtenons au fur et \u00e0 mesure :
\na, b<\/em> et c<\/em> tournent entre eux, d<\/em> et e\u00a0<\/em>\u00a0font de m\u00eame. Nous constatons qu’il nous faut faire agir 6 fois de suite la permutation pour que tous les \u00e9l\u00e9ments retrouvent leur place d’origine. La p\u00e9riode<\/em> de cette permutation est \u00e9gale \u00e0 6.<\/p>\n

Les \u00e9l\u00e8ves apprennent aussi que toutes les permutations d’un ensemble fini peuvent se d\u00e9composer en un produit de cycles.<\/p>\n

Il existe des utilisations amusantes de la th\u00e9orie des permutations.
\nLe jeu de Taquin consiste, en utilisant la case laiss\u00e9e libre, \u00e0 d\u00e9placer les\u00a0petites \"\"plaques\u00a0coulissantes d’un cadre (comme celui qui figure ci-contre) pour ranger les nombres dans l’ordre croissant. Par exemple, dans le cas de la figure ci-contre, il faudrait r\u00e9ussir en faisant coulisser les cases \u00e0 inverser les places de\u00a014 et 15. L’\u00e9tude des permutations permet de montrer que cela est impossible.<\/p>\n

\"Description<\/p>\n

C’est \u00e9galement une \u00e9tude de permutations qui peut nous permettre de conna\u00eetre le nombre de configurations possibles du fameux Rubik’s Cube. Ce nombre est consid\u00e9rable, plus de 43 milliards de milliards !<\/p>\n

Les \u00e9l\u00e8ves se sont compl\u00e8tement pris au jeu de la recherche, m\u00eame si les questions pos\u00e9es \u00e9taient difficiles, m\u00eame si la fatigue se faisait parfois sentir en fin de journ\u00e9e ! Le dernier apr\u00e8s-midi du stage, ils ont expos\u00e9 les posters qu’ils avaient r\u00e9alis\u00e9 \u00a0le matin m\u00eame pour r\u00e9sumer leur travail. Les enseignants-chercheurs de l’institut de math\u00e9matiques ont pu leur poser des questions sur :<\/p>\n

    \n
  • l’\u00e9tude des profils d’une permutation<\/li>\n
  • un puzzle avec deux cycles embo\u00eet\u00e9s<\/li>\n
  • une \u00e9tude d’addition et de multiplication en rapport avec l’arithm\u00e9tique<\/li>\n
  • la recherche de la plus longue p\u00e9riode possible pour les permutations d’un ensemble donn\u00e9<\/li>\n
  • une \u00e9tude des d\u00e9rangements<\/li>\n
  • la p\u00e9riode moyenne d’un point.<\/li>\n<\/ul>\n\n\t\t