{"id":1538,"date":"2017-05-10T06:20:49","date_gmt":"2017-05-10T06:20:49","guid":{"rendered":"http:\/\/pageperso.math.univ-toulouse.fr\/hippocampe\/?p=1538"},"modified":"2017-06-12T20:57:19","modified_gmt":"2017-06-12T20:57:19","slug":"lycee-claude-nougaro-caussade-des-coniques","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/perso.math.univ-toulouse.fr\/hippocampe\/2017\/05\/10\/lycee-claude-nougaro-caussade-des-coniques\/","title":{"rendered":"Lyc\u00e9e Claude Nougaro (Caussade) – Des coniques"},"content":{"rendered":"

19 avril 2017. \u00a0Un autobus transportant trente-cinq jeunes gens d’une classe de 1\u00e8re S et quelques-uns de leurs professeurs, en provenance de Caussade, s’arr\u00eate \u00e0\u00a0l’Universit\u00e9 Paul Sabatier. Les uns sont \u00e9l\u00e8ves et les autres enseignants du lyc\u00e9e Claude Nougaro de cette ville. Ces \u00e9l\u00e8ves viennent\u00a0s’initier pendant trois jours \u00e0 la recherche en math\u00e9matiques sous la f\u00e9rule d’un enseignant-chercheur. Deux doctorants sont l\u00e0\u00a0\u00e9galement pour les soutenir pendant ces journ\u00e9es dans leur travail de recherche.<\/p>\n

Les apprentis chercheurs d\u00e9couvrent rapidement quel sera leur th\u00e8me de recherche : les coniques.
\nVoil\u00e0 qui est (presque) nouveau pour ces \u00e9l\u00e8ves ! Certes, ils ont travaill\u00e9 au lyc\u00e9e avec des\u00a0paraboles, en tant que repr\u00e9sentations de fonctions de degr\u00e9 2. Ils ont aussi rencontr\u00e9 en seconde quelques hyperboles, repr\u00e9sentations de fonctio\"3a\"ns homographiques. Mais l’\u00e9tude plus approfondie des propri\u00e9t\u00e9s des coniques a disparu des programmes de lyc\u00e9e, et en particulier l’\u00e9tude des\u00a0ellipses.
\nTout commence par des d\u00e9finitions, et voici celles qui leur sont donn\u00e9es pour ellipses et hyperboles. Elles concernent la distance des points de la conique \u00e0 leurs foyers. La somme des distances d’un point de l’ellipse \u00e0 ses deux foyers est constante. Pour l’hyperbole, c’est la diff\u00e9rence de ces deux distances qui est constante.<\/p>\n

\"2b\"

Hyperbole en rouge<\/p><\/div>\n

\"ellipse-section-dun-cone\"<\/p>\n

Au travail ! Un peu de g\u00e9om\u00e9trie dans l’espace pour commencer. Partant des d\u00e9finitions ci-dessus, il va falloir \u00e9tudier\u00a0la section d’un c\u00f4ne par un plan, et montrer que, suivant l’inclinaison de ce plan\u00a0cette section peut parfois \u00eatre une ellipse… ,<\/p>\n

parfois une hyperbole…<\/p>\n

\"trois-coniques\"Toujours selon l’inclinaison du plan, l’intersection avec le c\u00f4ne peut aussi \u00eatre une parabole. Les \u00e9l\u00e8ves n’auront pas \u00e0 \u00e9tudier ce cas.<\/p>\n

La voil\u00e0, l’origine du mot “conique” !<\/p>\n

Pour arriver \u00e0 prouver\u00a0ces r\u00e9sultats, les \u00e9l\u00e8ves vont devoir d\u00e9montrer quelques propri\u00e9t\u00e9s g\u00e9om\u00e9triques des cercles et triangles, pour certaines quelque peu oubli\u00e9es… Ils ont besoin de bissectrices pour obtenir\u00a0le\u00a0cercle inscrit dans un triangle, utilisent des tangentes \u00e0 un cercle, ou encore le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore pour montrer des \u00e9galit\u00e9s de longueur…<\/p>\n

Une autre mani\u00e8re d’aborder ellipses et hyperboles : les d\u00e9finir au moyen d’\u00e9quations apr\u00e8s avoir choisi le rep\u00e8re dans lequel travailler. Voil\u00e0 encore une occasion d’utiliser le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore, et en avant pour les calculs !<\/p>\n

D\u00e9terminer une expression du\u00a0cosinus d’un angle quelconque dans un\u00a0triangle se r\u00e9v\u00e8le n\u00e9cessaire pour aborder\u00a0ensuite les \u00a0propri\u00e9t\u00e9s im\"4a\"portantes de r\u00e9flexion dans une ellipse et dans une parabole. Un groupe d’\u00e9l\u00e8ves est \u00e0 la recherche de cette expression et doit pour cela utiliser des notions r\u00e9cemment vues en classe, notions de trigonom\u00e9trie, de vecteurs directeurs de droites. Ils rencontrent m\u00eame au passage la propri\u00e9t\u00e9 d’Al Kashi, g\u00e9n\u00e9ralisation du th\u00e9or\u00e8me de Pythagore \u00e0 un triangle quelconque.<\/p>\n

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R\u00e9flexivit\u00e9 dans l’ellipse<\/p><\/div>\n

Un autre groupe aborde\u00a0la propri\u00e9t\u00e9 de r\u00e9flexivit\u00e9 dans une ellipse. Cette propri\u00e9t\u00e9 importante nous dit que si un rayon passe par l’un des foyers de l’ellipse, alors il passera par l’autre foyer apr\u00e8s avoir \u00e9t\u00e9 r\u00e9fl\u00e9chi par l’ellipse.
\nUne propri\u00e9t\u00e9 bien utile en optique : pla\u00e7ons une source lumineuse sur l’un des deux foyers, apr\u00e8s reflexion les rayons lumineux se concentreront sur l’autre foyer.
\nOu bien en acoustique : dans un lieu de forme elliptique, un son m\u00eame faible \u00e9mis de l’un des foyers est bien per\u00e7u par une personne se trouvant \u00e0 l’emplacement de l’autre foyer. Cette propri\u00e9t\u00e9 est connue depuis des si\u00e8cles.<\/p>\n

\"Chambre<\/a>

Chambre \u00e0 \u00e9cho<\/p><\/div>\n

Des salles de l\u2019abbaye de La Chaise Dieu pouvaient\u00a0ainsi servir \u00e0 la confession des l\u00e9preux, sans que le confesseur ait besoin d’approcher ces derniers. Les chuchotements \u00e9mis par le l\u00e9preux \u00e0 l’endroit d’un foyer \u00e9taient clairement per\u00e7us par le confesseur plac\u00e9 en l’autre foyer, et pas ailleurs\u2026<\/p>\n

Dans le m\u00e9tro parisien aussi, deux personnes situ\u00e9es aux deux foyers de la vo\u00fbte elliptique peuvent converser d’un quai \u00e0 l’autre sans \u00eatre entendues.<\/p>\n

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R\u00e9flexivit\u00e9 dans la parabole<\/p><\/div>\n

Pour\u00a0d\u00e9montrer la propri\u00e9t\u00e9 de r\u00e9flexivit\u00e9 d’une parabole, comme pour d\u00e9montrer celle de l’ellipse, \u00a0les \u00e9l\u00e8ves se lancent dans de longs calculs dans le but d’\u00e9tablir des \u00e9galit\u00e9s d’angles. Ces \u00e9galit\u00e9s \u00a0permettront ensuite d’utiliser la loi de Snell-Descartes et de prouver qu’un rayon parall\u00e8le \u00e0 l’axe de la parabole se r\u00e9fl\u00e9chit sur son foyer.
\nCette propri\u00e9t\u00e9 a de multiples applications, \u00e0 commencer \"antparab\"<\/a>\u00a0par l’existence des\u00a0antennes paraboliques. Il s’agit en fait de parabolo\u00efdes, obtenus par r\u00e9volution d’une parabole autour de son axe. Un parabolo\u00efde peut \u00eatre un \u00e9metteur aussi bien qu’un r\u00e9cepteur. Les rayons parall\u00e8les \u00e0 l’axe sont concentr\u00e9s au point focal. R\u00e9ciproquement, des rayons \u00e9mis depuis ce point focal sont renvoy\u00e9s en un faisceau de rayons parall\u00e8les.\u00a0Cette double fonctionnalit\u00e9 permet d’utiliser des parabolo\u00efdes comme\u00a0relais hertziens dans\u00a0des r\u00e9gions accident\u00e9es o\u00f9 la t\u00e9l\u00e9vision et la t\u00e9l\u00e9phonie mobile ne passeraient pas.<\/p>\n

Les coniques nous concernent de bien des mani\u00e8res… sans oublier notre Terre qui d\u00e9crit dans l’espace une ellipse dont un des foyers est le Soleil. Sans oublier les orbites vari\u00e9es \"comete_title\"<\/a>des com\u00e8tes. Orbites elliptiques pour celles qui repassent de mani\u00e8re pr\u00e9visible sous nos yeux… ou ceux de nos descendants. Paraboliques, hyperboliques pour d’autres, qui ne reviendront jamais…<\/p>\n

Vendredi, d\u00e9but d’apr\u00e8s-midi. La matin\u00e9e a \u00e9t\u00e9 consacr\u00e9e \u00e0 la fabrication de posters. Les \u00e9l\u00e8ves accrochent maintenant les posters dans le hall du b\u00e2timent de math\u00e9matiques. Enseignants-chercheurs et doctorants ne vont pas tarder \u00e0 venir lire leurs travaux, et leur poser des questions \u00e0 ce sujet…
\nPlace aux travaux des \u00e9l\u00e8ves :<\/p>\n\n\t\t