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WORKSHOP « HOMOTOPIE », 20-21 octobre 2011
Lieu du workshop : Université Paul Sabatier, Institut de Mathématiques de Toulouse, salle de conférence, Bât 1R3, 1er étage.
Jeudi 20 octobre, après-midi, session Histoire
14h15-15h45 Renaud Chorlay (Univ. Paris 4, SPHERE), Homotopie : quelques repères historiques.
Nous proposons un exposé d’histoire récurrente, en présentant des textes qui, sur la période 1850-1930, contribuent à l’enrichissement conceptuel des notions homotopiques élémentaires de la topologie. Dans les années 1895-1905, la synthèse de Poincaré marque une étape fondamentale. On montrera en quoi elle noue ensemble des fils apparus en analyse (souvent complexe) dans des questions de natures différentes : intégrales curvilignes (ou d’ordres supérieurs) ; prolongement analytique ; étude de la multiformité de fonctions définies implicitement par des équations algébriques, des équations différentielles à coefficients algébriques, des équations analytiques. De 1850 à 1900, l’enrichissement conceptuel passe par la distinction progressive des contextes homologiques et homotopiques, par l’introduction de la notion de groupe, et par celle de revêtements remarquables (universel, d’orientation). Sur la période 1905-1930, nous suivrons deux fils : celui de la diffusion de la notion de revêtement au-delà de la théorie au sein duquel elle était apparue (la théorie de l’uniformisation), et celui des travaux de Brouwer puis Hopf sur les classes d’homotopie d’applications entre variétés compactes orientables.
16h-17h30 Ralf Krömer (Univ. Siegen), Groupe/groupoïde fondamental: le définir, établir ses propriétés, l’utiliser 1920-1960.
On présentera une histoire partielle des développements autour du concept de groupe fondamental dans la période indiquée, en comparant les diverses contributions par rapport aux questions suivantes: comment et sur quel ensemble/quels objets définit-on la composition, s’agit-il d’une loi de composition totale ou partielle, comment prouve-t-on les propriétés de base, quels sont les usages qu’on en fait, comment tout cela est-il encastré dans une théorie, un arsenal de méthodes etc. Parmi les multiples généralisations qu’a subi le concept (groupes d’homotopie etc.), on s’intéressera plus particulièrement au passage du groupe au groupoïde. Par conséquent, on regardera les origines algébriques du concept de groupoïde ainsi que les apparitions du groupoïde fondamental chez Schreier, Reidemeister, Seifert-Threlfall, Bourbaki et d’autres. On analysera aussi le rôle du fait qu’on obtiendrait également un groupe/groupoïde sur l’ensemble des chemins d’un espace avec une certaine relation d’équivalence plus fine que l’homotopie.
Vendredi 21 octobre, matin, session Philosophie
9h30-11h Jean-Pierre Marquis (Univ. Montréal), Quelques remarques philosophiques sur la théorie de l’homotopie.
La théorie de l’homotopie touche à de nombreuses questions philosophiques fondamentales. Nous en aborderons deux. D’abord, il y a la question de l’identité. En effet, la théorie de l’homotopie repose sur une notion d’identité qui est radicalement différente de toutes les notions mathématiques qui ont été développées jusqu’ici. Cette notion pourrait bien avoir un impact fondamental non seulement sur les fondements des mathématiques, mais elle pourrait également être à la base de nouveaux cadres théoriques en métaphysique ou en philosophie du langage. Ensuite, il y a la question de l’accessibilité épistémologique aux types d’homotopie. En effet, on voit clairement dans l’évolution de la théorie que les mathématiciens doivent construire des modèles de ces derniers afin de mieux les comprendre, d’en saisir les propriétés. Ce qui nous intéresse ici au plus haut point, c’est la notion de modèle, qui n’a rien à voir avec les modèles tels qu’ils sont définis en logique, qui est à l’œuvre. Nous esquisserons ici quelques pistes de réflexions sur cette dimension fondamentale liée à la pratique des mathématiques.
11h15-12h45 Brice Halimi (Univ. Paris 10, SPHERE), Sur une application possible de la théorie de l’homotopie à la théorie des modèles.
Le lien entre logique et théorie de l’homotopie a été souligné par l’interprétation homotopique qui a été récemment proposée pour la théorie des types de Martin-Löf. J’essaierai de présenter un autre lien entre logique et théorie de l’homotopie, en montrant que le langage de la logique du premier ordre, et certaines notions élémentaires de théorie des modèles, se prêtent à une interprétation homotopique.
Vendredi 21 octobre, après-midi, session Mathématiques
14h15-15h45 Tim Porter (Univ. Wales, Bangor), Variations sur un thème d’homotopie.
Starting with the primitive notion of cylinder and homotopy (that will have been discussed in other talks) I will look at how via methods of Algebraic Homotopy and Homotopical Algebra one arrives at variants applicable to the proper homotopy context, prohomotopy and directed homotopy, and possibly the homotopy of evolving spaces.
16h-17h30 Sergei Soloviev (Univ. Toulouse Paul Sabatier, IRIT), Homotopy in foundations of mathematics (Voevodsky’s approach)
Recently there is a lot of activity around the ideas of Vladimir Voevodsky concerning the applications of homotopy to type theory and n-categories, as well as the uses of so called Univalence Axiom. The talk is a kind of survey of current activity in this domain including some subjective views on the perspectives of this approach.
Organisation : Sébastien Maronne (Univ. Toulouse Paul Sabatier, IMT), smaronne@math.univ-toulouse.fr
Avec le soutien de l’IMT, de la FREMIT et du GDR « Histoire des Mathématiques »