Le mercredi 23 mars 2016 sera une journée consacrée à des exposés de lauréats des Prix de mathématiques 2015 décernés par l’Académie des Sciences. Cet événement s’inscrit dans une tradition initiée par la SMF et à laquelle se joint cette année la SMAI. La liste des précédentes éditions est disponible sur cette page.

Programme de la journée du 23 mars

⇒ À l’Institut de Mathématiques de Toulouse, amphithéâtre Schwartz

8h30	Accueil
9h00	Benoît Perthame : Modèles EDP pour les réseaux de neurones
9h45	Yves Guivarc’h : Asymptotiques de Pareto et propriétés d’isolation spectrale pour les marches aléatoires affines
10h30	Luc Robbiano : Problème mal posé et équation des ondes
11h15	Pause café
11h45	Clémentine Prieur : Utilisation de modèles réduits pour l’analyse de sensibilité
12h30	Pause déjeuner
14h00	Michel Fliess : A-t-on toujours besoin d’un modèle pour les mathématiques appliquées à l’industrie ? Le cas du contrôle
14h45	Carlos Simpson : De la monodromie aux champs de Higgs: vers une théorie de Hodge nonabélienne
15h30	Pause café
16h00	Cyril Houdayer : Groupes, Actions et algèbres de von Neumann
16h45	Marc Lavielle : Du théorème à la création de start-up : les modèles à effets mixtes mènent à tout !
17h30	Fin

Résumés

Michel Fliess (École Polytechnique) – Prix Ampère de l’Électricité de France

Titre : A-t-on toujours besoin d’un modèle pour les mathématiques appliquées à
l’industrie ? Le cas du contrôle

Yves Guivarc’h (Université de Rennes 1) – Prix fondé par l’État

Titre : Asymptotiques de Pareto et propriétés d’isolation spectrale pour les marches aléatoires affines

Résumé : On décrit l’allure à l’infini de la loi stationnaire d’une marche aléatoire affine multivariée générique. Ce résultat est basé sur l’asymptotique du potentiel de la marche aléatoire linéaire associée. On en déduit des conséquences probabilistes: loi de Fréchet et loi du logarithme pour les relations de récurrence stochastiques affines.

Cyril Houdayer (Université Paris-Sud) – Prix Jacques Herbrand

Titre : Groupes, Actions et algèbres de von Neumann

Résumé : A toute action non-singulière d’un groupe dénombrable discret sur un espace mesuré standard, on peut associer une algèbre de von Neumann. Une question centrale en Algèbres d’Opérateurs est de savoir quelle information cette algèbre de von Neumann retient du groupe et de l’action. Le théorème célèbre d’Alain Connes (1976) montre que les algèbres de von Neumann provenant des groupes moyennables sont complètement classifiées. Dans le cas des groupes non-moyennables, la théorie de déformation/rigidité de Sorin Popa a récemment permis d’obtenir des phénomènes de rigidité. Sous certaines hypothèses, il est possible de retrouver le groupe et l’action à partir de l’algèbre de von Neumann. Je présenterai une introduction à ce domaine de recherche.

Marc Lavielle (inria Saclay et Ecole Polytechnique) – Prix de l’innovation INRIA, Académie des Sciences, Dassault Systèmes

Titre : Du théorème à la création de start-up: les modèles à effets mixtes mènent à tout !

Résumé : Les modèles à effets mixtes permettent de modéliser à la fois un phénomène biologique ou physique au niveau individuel et la variabilité inter-individuelle au niveau d’une population.
Ces modèles sont utilisés pour décrire la pharmacocinétique d’un individu, la dynamique d’un virus ou encore la croissance d’une tumeur dans le cadre d’un essai clinique. Il sont également pertinents pour décrire certains processus intracellulaires dans le cadre d’expériences en biologie.
Le développement de solutions pratiques représente par conséquent un véritable enjeu. Je ferai un tour d’horizon rapide de certaines méthodes d’estimation et de construction de modèles pour ce type de problèmes. Si ces méthodes ont de bonnes propriétés théoriques, elles possèdent également de très bonnes propriétés pratiques et sont aujourd’hui implémentées dans le logiciel Monolix et couramment utilisées pour la modélisation en pharmacologie de population.

Benoît Perthame (Université Paris 6) – Grand Prix INRIA, Académie des Sciences

Titre : Modèles EDP pour les réseaux de neurones

Résumé : Plusieurs modèles ont été proposés pour repésenter des assemblées de neurones en interaction. Celui de Wilson-Cowan est sans doute le plus célèbre et vise à une représentation globale de l’activité cérébrale. Plus généralement, il s’agit de décrire comment les décharges des différents neurones induisent une décharge sur les autres et ainsi de savoir comment une activité globale peut apparaître. Les Equations aux Dérivées Partielles permettent de fermer des systèmes au niveau individuel par des lois moyennes valables pour des ‘grandes’ populations de neurones, c’est un exemple d’approximation en champs moyen.
La plus classique de ces fermetures est sans doute le modèle parabolique `intègre et tir » qui décrit la probabilité de trouver un neurone avec un potentiel $v$. Nous présenterons des idées élémentaires sur ses propriétés d’existence ou d’explosion et d’apparition d’activité spontanée.
Pour prendre en compte des récepteurs post-synaptique lents, il faut également inroduire une variable de conductance et ceci conduit à des modèles de type Vlasov-Fokker-Planck. Une autre description possible s’appuie sur une équation structurée en âge (de nature hyperbolique) et décrivant la probabilité de trouver un neurone ayant attendu un temps $a$ depuis sa dernière décharge.
Cet exposé s’appuie sur des collaborations avec M. Carceres, J. Carrillo, K. Pakdaman, D. Smets et D. Salort.

Clémentine Prieur (Université Grenoble 1) – Prix Blaise Pascal du GAMNI-SMAI

Titre : Utilisation de modèles réduits pour l’analyse de sensibilité

Résumé : L’un des objectifs de l’analyse de sensibilité est de quantifier l’influence des paramètres d’entrée d’un modèle sur des sorties d’intérêt (norme énergie, moyenne temporelle…) L’une des approches classiques repose sur une extension de l’analyse de la variance au cadre fonctionnel, et conduit à la définition des indices de Sobol’. L’estimation des indices de Sobol’ est coûteuse en terme de nombre d’évaluations du modèle. Pour cette raison, il est courant de substituer au vrai modèle un modèle réduit, dont l’évaluation est rapide, mais qui constitue une bonne approximation du modèle initial. L’utilisation de modèles réduits pour l’analyse de sensibilité doit alors être justifiée par des bornes d’erreur certifiées.

Luc Robbiano (Université de Versailles Saint-Quentin) – Prix Langevin

Titre : Problème mal posé et équation des ondes

Résumé : Dans cet exposé nous donnerons des résultats sur le problème suivant.
Considérons une solution de l’équation des ondes, nulle sur un sous-domaine d’espace-temps, cette solution est-elle nulle sur un domaine plus grand ? Ce problème revient à rechercher l’unicité de la solution par rapport à des hypersurfaces dont la normale est de type espace. Par rapport à ce type d’hypersurface, le problème est mal-posé, c’est-à-dire qu’on ne peut pas résoudre le problème pour toutes données sur ces surfaces, contrairement aux hypersurfaces dont la normale est de type temps pour lesquelles le problème est hyperbolique et donc bien-posé.
Nous donnerons les résultats anciens en dimension un d’espace et pour les équations à coefficients analytiques. Puis, sous des hypothèses sur les coefficients, nous donnerons des résultats plus récents ainsi que des contre-exemples.

Carlos Simpson (Université de Nice Sophia Antipolis) – Prix Sophie Germain, Fondation de l’Institut de France

Titre : De la monodromie aux champs de Higgs: vers une théorie de Hodge nonabélienne