Constructions de l’arbre

On va démontrer le résultat suivant, un cas particulier élémentaire d’un théorème dû à Bruhat–Tits en toute généralité (pour des groupes réductifs sur des corps locaux ultramétriques ; le cas scindé est dû à Iwahori–Matsumoto).

Théorème : Soit \( p \) un nombre premier. Il existe une action transitive de \( \PGL_2(\QQ_p) \) sur un arbre régulier de valence \( p + 1 \) dans laquelle les stabilisateurs de sommets sont les conjugués de \( \PGL_2(\ZZ_p) \).

Actions sur les sous-groupes compact-ouverts

Soient \( G \) un groupe localement compact et \( K \) un sous-groupe compact-ouvert. Si \( g_1, g_2 \in G \) on pose :
\[
d(g_1K, g_2K) = \log \left| K^{g_1} / \left( K^{g_1} \cap K^{g_2} \right) \right|.
\]
Cette fonction n’est a priori pas une pseudo-distance sur \( G/K \) (elle pourrait ne pas être symétrique). Cependant dans les cas où \( K \) agit (par conjugaison) transitivement sur les sous-groupes \( K \cap K^g \) d’indice (fini) donné on obtient bien une pseudo-distance. En effet la symétrie de \( d \) est alors immédiate. L’inégalité triangulaire est déduite en observant que si \( g_1, g_2, g_3 \in G \) alors on a :
\[
\begin{array}{cc}
d(g_1K, g_3K) &= |K^{g_1}/(K^{g_3} \cap K^{g_1})| \\
&\le |K^{g_1}/(K^{g_3} \cap K^{g_1} \cap K^{g_2})| \le |K^{g_1}/(K^{g_3} \cap K^{g_2})| \cdot |K^{g_2}/(K^{g_2} \cap K^{g_1})|
\end{array}
\]
et on voit de plus qu’une condition nécessaire pour l’égalité est \( (K^{g_2} \cap K^{g_1}) \supset (K^{g_3} \cap K^{g_1}) \). Si en plus on a \( N_G(K) = K \) alors \( d \) est une distance sur \( X = G/K \) et l’action de \( G \) est isométrique.

Ces deux conditions sont vérifiées dans le cas où \( G = \PGL_2(\QQ_p) \) et \( K = \PGL_2(\ZZ_p) \) : ceci suit de la décomposition d’Iwasawa \( G = K A^+ K \) où
\[
A^+ = \left\{ \left( \begin{array}{cc} p^n & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) : n \in \NN \right\} = a^\NN, \, a = \left( \begin{array}{cc} p & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right).
\]
En effet on voit ainsi que tous les sous-groupes \( K \cap K^g \) sont conjugués à l’un des \( K \cap K^{a^n} \) qui sont d’indice \( p^{n-1}(p + 1) \). On modifie légèrement la distance pour obtenir des valeurs entières : on pose \( d(K^{g_1}, K^{g_2}) = n \) si \( g_1^{-1}g_2 \in K a^n K \).

L’espace \( X \) est alors un espace uniquement géodésique : si \( g \in k a^n K \) la géodésique de \( K \) à \( gK \) est le chemin \( (K, kaK, \ldots, ka^{n-1}K, ka^n K = gK) \). Enfin, on voit que c’est un arbre : soient \( g_1 \in k_1 a^{n_1} K,\, g_2 \in k_2 a^{n_2} K\) et \( n \in \NN \) maximal tel que \( k_2^{-1}k_1 \in (K \cap K^{a^n}) \). Le triangle de sommets \( K, g_1K, g_2K \) est le tripode de centre \( k_1 a^n K = k_2 a^n K\). La valence de \( X \) est donnée par le cardinal \( |K / (K \cap K^a)| = p + 1 \).

Remarques

1. Cette construction est en fait celle du graphe de Cayley–Abels du groupe \( G \) par rapport à l’ensemble générateur compact \( K \cup \{ a \} \).
2. On obtient une action de \( \SL_2(\QQ_p) \) sur \( X \) via l’application \( \SL_2(\QQ)_p \to \PGL_2(\QQ_p) \). Cette action a pour stabilisateurs les groupes \( g\SL_2(\ZZ_p)g^{-1}, g \in \mathrm{GL}_2(\QQ_p) \) et a deux orbites sur les sommets (correspondant aux sommets \( K \) et \( aK \)).

Action sur les réseaux

Un \( \ZZ_p \)-réseau ou simplement réseau d’un \( \QQ_p \)-espace vectoriel \( V \) est un sous-\( \ZZ_p \)-module de \( V \) qui est libre et de rang maximal (nécessairement égal à \( \dim(V) \)). Le groupe \( GL(V) \) agit transitivement sur ces réseaux (ceci suit du fait que l’anneau \( \ZZ_p \) est principal), et le groupe \( \PGL(V) \) agit transitivement sur les classes d’homothétie.

On suppose dans la suite que \( V = \QQ_P^2 \), \( G = \PGL(V) = \PGL_2(\QQ_p) \) et \( K = \PGL_2(\ZZ_p) \). Soit \( Y \) l’ensemble des classes d’homothétie de réseaux dans \( V \) et \( X = G/K\). Alors on a une bijection \( X \to Y \) donnée par \( gK \mapsto [g\ZZ_P^2] \), et \( Y \) est donc muni d’une structure d’arbre \( G \)-invariante venant de celle de \( X \) construite ci-dessus.

On peut calculer la distance entre deux classes d’homothétie de réseaux directement dans \( Y \), comme suit : si \( L_1, L_2 \) sont deux réseaux de \( V \) il existe un \( \lambda \in \QQ_p^\times \) de valuation minimale tel que \( \lambda L_2 \subset L_1 \) (ceci suit de la discrétion de la valuation et du fait que \( L_1, L_2 \) sont compacts et ouverts). On a alors \( |L_1/(\lambda L_2)| = p^n \) pour un \( n \in \NN \) et on pose \( d([L_1], [L_2]) = n \). Il est alors facile de vérifier que \( d \) est une distance \( G \)-invariante et que \( Y \) est un arbre simplicial (on vérifie qu’entre deux sommets il n’existe qu’un seul chemin sans retour en arrière).

Remarques

1. Une construction équivalente est de remplacer les réseaux par les normes ultramétriques sur \( V \) (dont ils sont les boules unités).
2. Cette construction se généralise en dimensions supérieures pour donner les immeubles de Bruhat–Tits des groupes projectifs.

Opérateurs de Hecke sur les surfaces arithmétiques

Groupes \( S \)-arithmétiques et espaces associés

Pour cette section on fixe \( A \) une algèbre de quaternions sur \( \QQ \) et \( \mathcal O \) un ordre maximal de \( A \). On suppose que \( A \) n’est pas ramifiée à la place infinie (i.e. \( A \otimes_\QQ \RR \cong \mathrm M_2(\RR) \)). on identifiera donc \( G_\infty = \P A^\times \) avec \( \PGL_2(\RR) \), un sous groupe maximal \( K_\infty \) à \( \PO(2) \) et le quotient \( X_\infty = G_\infty / K_\infty \) au plan hyperbolique \( \HH^2 \).

On note \( S = \ram_f(A) \) qui est donc un ensemble fini de nombres premiers. Soit \( p \not \in S \) un nombre premier ; soient \( G_p = \P(A\otimes \QQ_p)^\times \), (A\( K_p = \P\mathcal (O \otimes \ZZ_p)^\times \). Il existe un isomorphisme \( \phi : G_p \to \PGL_2(\QQ_p) \) tel que \( \phi(K_p) = \PGL_2(\ZZ_p \) ; on note \( X_p = G/K \) muni de la structure d’arbre de \( PGL_2(\QQ_p) / \PGL_2(\ZZ_p) \).

Soient \( K_p’ \) un sous-groupe d’indice fini dans \( K_p \) et \( \Gamma = A^\times \cap K_p’ \). Alors \( \Gamma \) est un sous-groupe d’indice fini dans le réseau arithmétique \( \P \mathcal O^\times \subset \PGL_2(\RR) \). Par exemple, si \( A = M_2(\QQ) \) et \( K_p’ = \ker \left( \PGL_2(\ZZ_p) \to \PGL_2(\ZZ/(p^n)) \right) \) on a :
\[
\Gamma = \left\{ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \in \PGL_2(\ZZ) : a, d = 1 \pmod p, \, b, c = 0 \pmod p \right\}.
\]
On appelle de tels \( \Gamma \) des sous-groupes de congruence de \( \P\mathcal O^\times \).

Les groupes qui nous intéresserons ici sont les sous-groupes \( S \)-arithmétiques des groupes \( G_\infty \times G_{p_1} \times \cdots \times G_{p_m} \). Ce sont les groupes de la forme
\[
\P(A\otimes \ZZ[p_1^{-1}, \ldots, p_m^{-1}])^\times \cap K’
\]
où \( p_1, \ldots, p_m \) sont des nombres premiers en-dehors de \( \ram_f(A) \) et \( K’ \) est un sous-groupe d’indice fini dans \( K_{p_1} \times \cdots \times K_{p_m} \). Un théorème de Borel–Harish-Chandra affirme que ces groupes sont toujours des réseaux, cocompacts si \( A \not= M_2(\QQ) \).

Théorème (approximation faible) : Le groupe \( \P(A\otimes \ZZ[p_1^{-1}, \ldots, p_m^{-1}])^\times \) est dense dans \( G_{p_1} \times \cdots \times G_{p_m} \).

Soit \( X = X_\infty \times X_{p_1} \times \cdots \times X_{p_m} \), \( \Gamma_{\infty, p_1, \ldots, p_m} \) un sous-groupe \( S \)-arithmétique et \( \Gamma \) le groupe arithmétique \( \Gamma_{\infty, p_1, \ldots, p_m} \cap \P\mathcal A^\times \). On a alors d’après le théorème précédent
\[
\Gamma_{\infty, p_1, \ldots, p_m} \bs X = \Gamma \bs X_\infty.
\]
En effet, l’approximation faible implique que \( \Gamma_{\infty, p_1, \ldots, p_m} / \Gamma = X_{p_1, \ldots, p_m} \) et il suit que l’on peut définir une application \( (x_\infty, x_{p_1, \ldots, p_m}) \mapsto (\gamma^{-1} x_\infty) \) où \( x_{p_1, \ldots, p_m} = \gamma (K_{p_1} \times K_{p_m}) \) dont on vérifie immédiatement que c’est une bijection et qu’elle coïncide avec la projection \( \Gamma_{\infty, p_1, \ldots, p_m} \bs X \to \Gamma \bs X_\infty \).

Construction des opérateurs de Hecke

On conserve les notations de la section précédente. Pour \( p \not \in S \) on définit un opérateur \( \delta_p \) sur les fonctions sur \( X_p \) par :
\[
\delta_p f(x) = \sum_{y:\: d(x,y) = 1} f(y).
\]
Cet opérateur commute évidemment à l’action de \( G_p \) sur \( X_p \). Il définit donc un opérateur \( T_p \) sur la surface arithmétique \( S = \Gamma \bs X_\infty = \Gamma_{p, \infty} \bs X_\infty \times X_p \). cet opérateur est borné et autoadjoint pour le produit scalaire \( L^2 \) sur \( C^\infty(S) \). De plus, si \( q \) est un nombre premier en-dehors de \( S \cup \{p \} \) alors on a \( T_p \circ T_q = T_q \circ T_p \).

L’hypothèse que \( \mathrm{sec}(M) < 0 \) implique que le flot géodésique de \( M \) est ergodique : on peut donc voir la conjecture comme une précision au théorème de Shnirelman dans ce cadre plus restreint. Contrairement à ce dernier cette conjecture concerne toutes les fonctions propres sur la variété : en particulier elle n’est pas vraie pour les tores plats.

L’énoncé ci-dessus est très spéculatif et complètement ouvert en général : un des résultats positifs dans sa direction est le suivant.

Théorème (Lindenstrauss) : Si \( S \) est une surface hyperbolique arithmétique et si les \( \phi_j \) sont des fonctions propres de tous les opérateurs de Hecke de \( S \) alors la conclusion ci-dessus est vraie.

Remarques

• La notion d' »arithméticité » requise par le théorème est un peu plus forte que l’habituelle (il faut que la surface \( S \) soit « de congruence »).
• Les opérateurs de Hecke sont des opérateurs bornés autoadjoints qui commutent au Laplacien et entre eux : en particulier il existe des familles de fonctions propres satisfaisant aux hypothèses du théorème.
• Le théorème de Lindenstrauss implique l’unique ergodicité quantique en général (sur des surfaces arithmétiques) si on sait démontrer que les multiplicités des valeurs propres du Laplacien sur une surface arithmétique sont bornées (ce qui est complètement hors de portée pour le moment).
• Conditionnellement à l’hypothèse de Riemann généralisée le résultat était connu avant les travaux de Lindenstrauss via des méthodes de théorie analytique des nombres (Thomas Watson).

Flot géodésique des surfaces hyperboliques

Dans la suite on note \( \mathbb H^2 \) le plan hyperbolique : on utilisera le modèle \( \mathbb H^2 = G/K \) où \( G = \mathrm{PSL}_2(\mathbb R) \) et \( K = \mathrm{PSO}(2) \). On a alors les modèles suivants :

• Le fibré unitaire \( T^1 \mathbb H^2 \) est identifié à \( G = \mathrm{PSL}_2(\mathbb R) \) ;
• la mesure de Liouville est la mesure de Haar de \( G \) (qui est bi-invariante) ;
• le flot géodésique correspond à la multiplication à droite par les matrices
  \[
  a(t) = \left( \begin{array}{cc} e^{t/2} & 0 \\ 0 & e^{-t/2} \end{array} \right),
  \]
  autrement dit si \( \Phi^t \) est le flot géodésique et \( x \in T^1\mathbb H^2 = G \) on a \( \Phi^t x = xa(t) \).

Soit \( S \) une surface hyperbolique (i.e. à courbure sectionnelle constante \( -1 \)) compacte ; il existe un sous-groupe discret, sans torsion et cocompact \( \Gamma \le \mathrm{PSL}_2(\mathbb R) \) tel que \( S \) soit isométrique au quotient \( \Gamma \backslash \mathbb H^2 \). Le fibré unitaire de \( S \) s’identifie alors à \( \Gamma \backslash G \) et le flot géodésique à la multiplication à droite par \( a(t) \).

On notera \( A \) le sous-groupe à un paramètre composé des éléments \( a(t),\, t \in \mathbb R \). Une mesure \( \nu \) sur le fibré unitaire \( T^1S \) est alors invariante par le flot géodésique si et seulement si elle est, via l’identification du fibré unitaire à \( \Gamma \backslash \mathrm{PSL}_2(\mathbb R) \), invariante à droite par le sous-groupe \( A \) (on dira dans la suite qu’elle est \( A\)-invariante, sans plus de précision).

Classification des mesures invariantes

On choisit des relevés microlocaux \( \nu_j \) des mesures \( | \phi_j |^2 ~d\mathrm{vol} \) : de tels relevés existent et peuvent être construits assez explicitement. On considère alors une limite faible \( \nu \in \mathrm{Prob}( \Gamma \backslash G) \) d’une sous-suite des \( \nu_j \) (on rappelle que \( G = \mathrm{PSL}_2(\mathbb R) \) est identifié au fibré tangent unitaire \( T^1 \mathbb H^2 \)). La mesure \( \nu \) est une mesure invariante sous l’action par multiplication à droite du groupe diagonal \( A \le G \).

Il existe de nombreuses telles mesures en-dehors de la mesure de Liouville (par exemple celles supportées sur une géodésique fermée, ou sur une lamination géodésique). Il faut donc établir des propriétés supplémentaires de \( \nu \) pour espérer conclure qu’elle est égale à la mesure de Liouville.

Entropie positive

On note
\[
u^+(x) = \left( \begin{array}{cc} 1 & x \\ 0 & 1 \end{array} \right), \, u^-(x) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ x & 1 \end{array} \right)
\]
et
\[
B(\varepsilon, \tau) = \{ a(t) u^+(x) u^-(y) :\: | t | \le \tau, \, |x|, |y| \le \varepsilon \}
\]
qui est un voisinage de l’identité dans \( G \). Une mesure \( \nu \) sur \( \Gamma \backslash G \) est dite d’entropie fortement positive s’il existe \( c > 0 \) et pour tout \( \tau > 0 \) un \( C(\tau) > 0 \) tels que l’on ait :
\[
\nu(xB(\varepsilon, \tau)) \le C(\tau) \varepsilon^c
\]
pour touts \( x \in T^1S \) et \( \varepsilon > 0 \).

La condition qu’une mesure soit d’entropie fortement positive interdit en particulier qu’elle ait des composantes ergodiques suppportées sur des géodésiques fermées. Un résultat plus faible (« entropie positive ») a été démontré pour toutes les mesures limites sur les variétés dont le flot géodésique est Anosov (par exemple celles de courbures sectionnelles \( < 0 \)) par Nalini Anantharaman.

Limites arithmétiques

Sous l’hypothèse que \( \Gamma \) est un réseau arithmétique de congruence il existe des opérateurs \( T_p \) pour \( p \) un nombre premier (en-dehors d’un ensemble fini ne dépendant que de \( S \)) que l’on appelle opérateurs de Hecke et qui ont les propriétés listées plus haut.

En conséquence il existe une base hilbertienne \( \phi_j \) de \( L^2(M) \) composée de fonctions propres simultanément pour le Laplacien et les opérateurs de Hecke \( T_p \). On notera \( \nu_j \) les relevés microlocaux des \( \phi_j \).

Les opérateurs \( T_p \) se relèvent en des opérateurs sur \( L^2(T^1 S)\). Une mesure \( \nu \) est alors dite \( T_p \)-récurrente si pour tout borélien \( \Omega \subset T^1M \) de mesure positive il existe un entier\( n > 0 \) tel que
\[
\int_{T^1 S} 1_\Omega T_p^n1_\Omega d\nu > 0.
\]
Les deux résultats suivants impliquent le théorème d’unique ergodicité quantique énoncé plus haut.

Proposition (Bourgain–Lindenstrauss) : Si on prend pour les \( \phi_j \) les éléments de cette base alors toute mesure limite \( \nu \) vérifie les propriétés suivantes :

• elle est d’entropie fortement positive ;
• elle est \( T_p \)-récurrente pour tout \( p \).

Théorème (Lindenstrauss) : Toute mesure de probabilité sur \( \Gamma \backslash G \) qui est à la fois d’entropie fortement positive, \( A \)-invariante et \( T_p \)-récurrente pour au moins un \( p \) est égale à la mesure de Liouville.

Dans le dernier exposé on avait vu les deux résultats suivants :

• Théorème de Shnirelman : si \( M \) est une variété riemannienne compacte dont ke flot géodésique est ergodique alors pour toute base propre orthonormée pour le Laplacien, une sous-suite de densité 1 des fonctions propres converge faiblement vers la mesure de volume de \( M \) ;
• A l’opposé, sur les sphères il existe des suites de fonctions propres dont les distributions se concentrent sur une géodésique fermée.

Ces résultats se placent dans une problématique plus générale : sur quels sous-ensembles vivent les fonctions propres quand les valeurs propres tendent vers l’infini?

Dans cet exposé on va présenter des outils pour l’étude de cette question.

En quoi le laplacien \( \Delta \) est-il une quantification du hamiltonien \( H \)? Une première intuition est donnée par le calcul symbolique suivant :
\[
H \left( x, \frac h i \partial_x \right) = -h^2 \sum_{i,j} g^{ij}(x) \partial_i \partial_j = -h^2 \Delta + O(h)
\]

Proposition/Définition : Il existe une famille d’applications
\[
\op_h : C_0^\infty(T^*M) \to \mathcal B(L^2(M))
\]
indexées par \( h \in ]0, 1] \), vérifiat les propriétés suivantes :

• La norme d’opérateur \( \| \op_h(a) \|_{L^2(M)} \) est bornée indépendamment de \( h \) ;
• On a \[ \op_h(ab) = \op_h(a)\op_h(b) + O(h) \] (où le \( O \) est entendu au sens de la norme d’opérateur) ;
• On a \[ \op_h(a)^* = \op_h(\overline a) + O(h) ; \]
• On a \[ e^{-ish \Delta} \op_h(a) e^{ish\Delta} = \op_h(a \circ \Phi_H^s) + O(h) ; \]
• (Calcul fonctionnel approché) Si \( f \in C_0^\infty(\RR) \) on a \[ f(-h^2\Delta) = \op_h(f \circ H) + O(h). \]

Une telle famille est appelée une quantification (du système classique \( T^*M, \Phi_H^t ) \).

Si \( M = \mathbb R^n \) on peut construire explicitement une telle quantification, et on obtient en fait des formules exactes (sans \( O(h) \)) dans tous les points ci-dessus. Il suffit de poser :
\[
\op_h(a) \cdot u(x) = \int_{\RR^n} e^{i x \cdot \xi} a(x, h\xi) \hat u(\xi)~d\xi.
\]
Si \( M \) est une variété recouverte par des ouverts de cartes dont chacun est homéomorphe à \( \mathbb R^n \) on peut alors recoller les quantifications en utilisant une partition de l’unité : les changements de cartes introduisent les termes d’erreur en \( O(h) \). Cette quantification dépend du choix des cartes : en général il n’y a pas de quantification canonique sur une variété riemannienne.

Remarque : On peut voir la quantification comme une déformation non-commutative de l’algèbre \( C_0^\infty(M) \otimes_{\mathbb C} \mathbb C[[h]] \).

Utilité de la quantification

On a vu la semaine dernière que l’existence des applications \( \op_h \) permet de s’attaquer au problème de la répartition sur \( M \) des fonctions propres, en prenant \( h = \lambda_j^{-1/2} \) quand \( j \to +\infty \). La quantification premet aussi de relever le problème à l’espace des phases \( T^*M \), par le procédé suivant : on pose
\[
\nu_h(a) = \langle \phi_h, \op_h(a) \cdot \phi_h \rangle ;
\]
si la quantification est positive (c’est-à-dire que si \( a \ge 0 \) alors on a \( \nu_h(a) \ge 0 \) pour tout \( h \in ]0, 1] \)) alors \( \nu_h \) est une mesure de Radon de masse totale 1 sur \( T^*M \) (en général les quantifications peuvent ne pas être positives). Dans ce cas cette mesure est appelée relèvement microlocal de la mesure \( |\phi_h^2 | d\vol_g \).

Même si la quantification n’est pas positive on peut s’intéresser aux limites de la suite \( \nu_h \) dans l’espace des distributions sur \( T^* M \). Ces dernières vérifient toujours les propriétés suivantes :

1. Ce sont toujours des mesures de Radon de masse 1 ;
2. Elles sont toujours supportées sur le fibré unitaire tangent \( S^* M \).

Le deuxième point est une conséquence à peu près immédiate des propriétés de la quantification : supposons que \( a \in C_0^\infty(T^* M) \) soit nulle sur \( S^* M = H^{-1}(\{1\}) \). On peut alors écrire \( a = (f \circ H) \cdot a \) où \( f : \RR \to \RR \) est une fonction nulle au voisinage de \( 1 \). Il suit que :
\[
\begin{array}{cc}
\op_h(a) &= \op_h(f \circ H)\op_h(a) + O(h) \\
&= f(-h^2\Delta) \op_h(a) + O(h)
\end{array}
\]
et vu que les opérateurs \( \op_h(a) \) sont uniformément bornés en norme on voit que le côté droit tend vers \( 0 \) quand \( h \to 0 \).

Théorème de Shnirelman : Soit \( (M, g) \) une variété riemannienne compacte et \( (e_j)_{j\ge 0} \) une base propre orthonormée pour le Laplacien \( \Delta_g \) :
\[
-\Delta_g e_j = \lambda_j e_j, \quad 0 = \lambda_0 < \lambda_1 \le \ldots \le \lambda_j \le \ldots .
\]
Si le flot géodésique de \( M \) est ergodique alors il existe une suite d'indices \( j_k \) de densité 1 (i.e. \( |\{ k :\: j_k \le N \}| /N \to 1 \) quand \( N \to +\infty \)) telle que la suite de mesures \( |e_{j_k}|^2 d\vol_g \) converge faiblement vers le volume normalisé \( d\vol_g/\vol_g(M) \) ; c'est-à-dire que pour toute fonction \( \psi \in C(M) \) on a :
\[
\int_M f(x)|e_{j_k}(x)|^2 d\vol_g(x) \underset{k \to +\infty}{\to} \frac{\int_M fd\vol_g}{\vol(M)}.
\]

Ce théorème a été annoncé (sans preuve) par Shnirelman en 1974 ; la première démonstration en a été donnée par Steve Zelditch (publiée en 1987) suivie par une autre dûe à Yves Colin de Verdière (publiée en 1985).

Sur la sphère \( \mathbb S^n \) (dont le flot géodésique n’est pas du tout ergodique) il existe des suites de fonctions propres (qui ne sont pas de densité 1) qui ne satifont pas à la conclusion du théorème. Par exemples les fonctions :
\[
Q_k(x) = C_k \mathrm{Re}(x_1 + x_2)^k
\]
où \( c_k \sim k^{(n-1)/4} \), qui sont des fonctions propres normalisées de valeur propre \( k(k + n – 1) \), se concentrent sur la géodésique fermée \( \{x_1 = x_2 = 0 \} \cap \mathbb S^n \) : en effet, en-dehors du plan \( \{ x_1 = x_2 = 0 \} \) elles décroiossent exponetiellement, uniformément sur les compacts.

Flot géodésique et ergodicité

Un exemple simple de flot hamiltonien

Soit \( H \) le fonction définie sur \( \RR^{2n} \) par
\[
H(x, \xi) = \frac{|\xi|^2} 1 + \frac{|x|^2} 2.
\]
Les équations différentielles :
\[
\overset{\circ}{x} = \frac{\partial H}{\partial \xi}(x, \xi), \: \overset{\circ}{\xi} = \frac{\partial H}{\partial x}(x, \xi)
\]
définissent un flot \( \Phi_H^t, t \in \RR \) sur \( \RR^{2N} \) vérifiant \( H \circ \Phi_H^t = H \) (on peut voir que l’on a explicitement :
\[
\Phi_H^t(y, \eta) = (\cos(t) y + \sin(t) \eta, -\sin(t) y + \cos(t) \eta)
\]
pour \( (y, \eta) \in \RR^{2n} \)) qui est ke flot hamiltonien associé à \( H \).

Le flot géodésique comme flot hamiltonien

On définit la fonction \( H \) sur le fibré cotangent \( T^* M \) par \( H(x, \xi) = |\xi|^2 \) où \( |\cdot| \) est la norme induite sur \( T^* M \) par \( g \), donnée en coordonnées par :
\[
\left| \sum_{j=1}^n \xi_j dx_j \right|^2 = \sum_{i,j = 1}^n g^{ij}(x)\xi_i \xi_j
\]
où \( (g^{ij}) \) est la matrice inverse de la matrice de \( g \) dans les coordonnées \( x_j \).

On peut associer à \( H \) un champ de vecteurs \( X_H \) sur \( T^* M \) défini par :
\[
X_H = \sum_j \left( \frac{\partial H}{\partial \xi_j} \partial x_j + \frac{\partial H}{\partial x_j} \partial \xi_j \right)
\]
et le flot \( \Phi_H^t \) de ce champ conserve \( H \).

Proposition : Si \( M \) est compacte (sans bord) alors le flot \( \Phi_H \) est défini à tout temps \( t \).

Les géodésiques (paramétrées à vitesse constante) de \( M \) sont les images par la projection \( T^* M \to M \) des trajectoires du flot \( \Phi_H \).

Mesure de Liouville

Le fibré cotangent \( T^* M \) est naturellement muni d’une mesure \( |dx~ d\xi | \) dont l’expression en coordonnées est simplement \( dx_1 \ldots dx_n d\xi_1 \ldots d\xi_n\).

Définition : Soit \( S^* M = H^{-1}( \{ 1 \} ) \) le fibré unitaire cotangent de \( M \) ; la mesure de Liouville \( dL_g \) sur \( S^* M \) est la mesure induite par \( |dx~d\xi| \) sur ce dernier.

Cette définition signifie que \( dL_g \) est l’unique mesure telle que l’on ait \( |dx~d\xi| = |\cdot|^{n-1}d|\cdot|~ dL_g \), autrement dit que pour toute fonction \( f \in C_0(T^* M) \) on a :
\[
\iint_{T^*M} f~|dx~d\xi| = \int_0^{+\infty} \int_{S^* M} f(\rho\omega)~dL_g(\omega)\rho^{n – 1}~d\rho.
\]

Ergodicité

Définition : On dit que le flot géodésique est ergodique sur \( M \) si les seuls sous-ensembles boréliens de \( S^* M \) invariants par \( \Phi_H^t \) sont de mesure nulle ou pleine.

On remarque que la définition de l’ergodicité ne dépend que de la classe de la mesure de Liouville. On utilisera l’ergodicité principalement à travers le résultat suivant.

Théorème ergodique de Birkhoff : Si le flot \( \Phi^t \) est ergodique pour la mesure \( dL_g \), alors pour toute fonction \( f \in C(S^* M) \) on a :
\[
\frac 1 T \int_0^T f(\Phi^t (\omega))~dt \underset{T \to +\infty}{\to} \frac{\int_{S^* M} f~dL_g}{\vol(S^* M)}
\]
pour presque tout \( \omega \in S^* M \).

Lien entre fonctions propres et flot géodésique

Le théorème se reformule de la manière suivante : pour toute fonction \( \psi \in C(M) \) d’intégrale nulle sur \( M \) on veut démontrer qu’il existe une suite \( j_k \) de densité 1 telle que l’on ait
\[
\int_M \psi e_{j_k} \cdot \overline{e_{j_k}} d\vol_g \underset{k \to +\infty}{\to} 0.
\]
Le côté gauche est égal au produit scalaire \( \langle e_j, \psi e_j \rangle_{L^2} \), et pour démontrer le théorème de Shnirelman on prouve la limite :
\[
\frac 1 N \sum_{j=1}^N \left| \langle e_j, \psi e_j \rangle_{L^2} \right| \underset{N \to +\infty}{\to} 0.
\]

Soit \( U(t) \) l’opérateur unitaire \( e^{-it\Delta_g} \) ; vu que \( e_j \) est une fonction propre du laplacien on a :
\[
\langle e_j, \psi e_j \rangle = \langle e^{it\lambda_j} e_j, \psi e^{it\lambda_j} e_j \rangle = \langle U(t)e_j, \psi U(t) e_j \rangle
\]
et donc finalement \( \langle e_j, \psi e_j \rangle = \langle e_j, U(-t) \psi U(t) e_j \rangle \). On écrit \( \Lambda_N = h^{-2} \) et on choisit une fonction lisse \( \varphi \) approximant \( 1_{[0,1]} \), de sorte que pour tout \( j \le N \) on ait \( \varphi(-h^2\Delta_g)e_j = e_j \). Il suit que l’on a
\[
\langle e_j, \psi e_j \rangle = \langle e_j, (U(-t)\psi\varphi(-h^2 _Delta_g) U(t)) e_j \rangle.
\]
A ce moment on utilise le fait qu’il existe une application (quantification pseudo-différentielle) :
\[
\op_h : C_0^\infty(T^* M) \to \mathcal B\left( L^2(M) \right)
\]
vérifiant les égalités approchées :
\[
U(t) \op_h(a) U(-t)) = \op_h(a \circ \Phi_H^t) + O(h)
\]
et :
\[
\psi \cdot \varphi(-h^2\Delta_g) = \op_h(\psi \cdot \varphi \circ H) + O(h).
\]
(à partir d’ici ne pas faire confiance aux notes) On a \( (\psi \cdot \varphi \circ H) \circ \Phi_H^t \to 0 \) presque partout et en analysant l’interversion de limites \( T \to +\infty \) et \( N \to +\infty \) on peut parvenir à utiliser ceci pour démontrer le résultat souhaité.