Groupes de Coxeter sphériques associés aux algèbres de Lie

Algèbres semisimples déployées

Soient \( F \) un corps de caractéristique 0 et \( \mathfrak{g} \) une algèbre de Lie semisimple sur \( F \). Soit \( E \) la clotûre algébrique de \( F \) ; on sit que \( \mathfrak{g} \) est déployée sur \( F \) s’il existe une sous-algèbre de Cartan \( H \) de \( \mathfrak{g} \otimes_F E \) telle que \( \dim_F(H \cap \mathfrak{g}) = \dim_E(H) \) et pour tout \( x \in H \cap \mathfrak{g} \) on a que \( \mathrm{ad}_x \) est diagonalisable sur \( F \). On peut alors appliquer la théorie vue dans le cas algébriquement clos à \( \mathfrak{g} \) sur \( F \) et on obtient le résultat suivant.

Théorème : Soit \( g \) une algèbre de Lie semisimple déployée sur \( F \). Soit \( H \) une sous-algèbre de Cartan de \( \mathfrak{g} \) et \( H^* \) son dual. Il existe un sous-ensemble \( \Phi = \Phi(\mathfrak{g}, H) \) de \( H^* \) tel que l’on ait la décomposition
\[
\mathfrak{g} = H \oplus \bigoplus_{\alpha \in \Phi} \mathfrak{g}_\alpha, \: \mathfrak{g}_\alpha = \{ x \in \mathfrak{g} : \forall h \in H, \mathrm{ad}_h(x) = \alpha(h)x \}.
\]

Groupe de Coxeter d’un système de racines

Si \( h \in H \) on a d’après la décomposition radicielle \( \mathrm{tr}(\mathrm{ad}_h) = \sum_{\alpha \in \Phi} \alpha(h)^2 \). En particulier, si \( F = {\mathbb R} \) la forme de Killing est définie positive en restriction à \( H \).

En général, pour définir un espace euclidien associé à \( \mathfrak{g} \) (et au choix de la sous-algèbre de Cartan) on utilise le lemme suivant.

Lemme : On peut choisir des générateurs \( X_\alpha \) des \( \mathfrak{g}_\alpha \) et \( H_1, \ldots, H_r \) de \( H \) tels que les crochets de Lie \( [X_\alpha, X_\beta] \) et \( [X_\alpha, H_i] \) soient des \( {\mathbb Q} \)-combinaisons linéaires des \( X_\alpha, H_i \).

La démonstration utilise la théorie des \( \mathfrak{sl}_2 \)-triplets et est donc un peu longue pour être donnée ici. On peut ausi déduire le lemme a posteriori de la classification des algèbres de Lie semsisimples scindées : il se trouve qu’elles sont toutes définissables sur \( {\mathbb Q} \).

Il suit du lemme que si on définit \( \mathfrak{g}_{\mathbb Q} \) comme le \( {\mathbb Q} \)-sous-espace de \( \mathfrak{g} \) engendré par les \( X_\alpha, H_i \) alors c’est une \( {\mathbb Q} \)-sous algèbre de Lie de \( \mathfrak{g} \) et on a \( \mathfrak{g} = F \otimes_{\mathbb Q} \mathfrak{g}_{\mathbb Q} \). La forme quadratique induite sur \( H_{\mathbb Q} \otimes_{\mathbb Q} {\mathbb R} \) par la forme de Killing \( K \) est alors définie positive. On définit alors l’espace euclidien \( V \) comme l’espace dual \( H_{\mathbb Q}^* \otimes_{\mathbb Q} {\mathbb R} \) munie de la forme duale de \( K \).

Il suit du lemme que \( \Phi \subset H_{\mathbb Q}^* \). La démonstration du lemme ci-dessus montre en fait que \( \Phi \) est un système de racines au sens axiomatique (cf. Bourbaki). La seule conséquence qui nous intéresse ici est la suivante.

Lemme : Soit \( \alpha \in \Phi \) et \( s_\alpha \) la réflexion orthogonale de \( V \) de miroir l’orthogonal de \( \alpha \). On a \( s_\alpha\Phi = \Phi \).

Soit \( W \) le sous-groupe de \( \mathrm O(V) \) engendré par les réflexions \( s_\alpha \). Par la théorie générale exposée dans les notes de Stéphane il existe un sous-ensemble \( \Delta \subset \Phi \) ayant les propriétés suivantes :

1. \( \Delta \) est une base de \( H^* \) ;
2. Si \( \alpha \in \Phi \) elle s’écrit sous la forme \( \pm \sum_{\beta \in \Delta} n_\beta \beta \) pour des \( n_\beta \in \mathbb N \) ;
3. \( (W, s_\beta) \) est un groupe de Coxeter.

Un tel \( \Delta \) est appelé une base du système de racines \( \Phi \). On notera \( \Phi^+ \) l’ensemble des racines positives pour \( \Delta \), c’est-à-dire qui s’écrivent \( \sum_{\beta \in \Delta} n_\beta \beta \), \( n_\beta \mathfrak{g}e 0 \).

Exemple : \( \mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_3(F) \)

Dans ce cas on prend comme sous-algèbre de Cartan :
\[
H = \left\{ \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix} : a, b, c \in F, a + b + c = 0 \right\}.
\]
et on note \( L_i \) la forme linéaire sur \( \mathfrak{gl}_3(F) \) défine par \( L_i(a_{ij}) = a_{ii} \). Alors \( \Phi = \{ \alpha_{ij} = L_i – L_j : i\not= j \} \) est le système de racines de \( \mathfrak{sl}_3 \) : le sous-espace \( (\mathfrak{sl}_3)_{\alpha_{ij}} \) est donné par les matrices \( (a_{kl}) \) avec \( a_{kl} = 0 \) si \( (k, l) \not= (i, j) \).

Une base de \( \Phi \) est donnée par exemple par \( \{L_1 – L_2, L_2 – L_3\} \). Le groupe de Coxeter est de type \( \mathrm A_3 \), en particulier isomorphe au groupe symétrique \( S_3 \).

Appartement d’un groupe algébrique semisimple

Soit \( \mathbf{G} \) un groupe algébrique connexe sur \( F \) dont l’algèbre de Lie est \( \mathfrak{g} \). Il existe un unique sous-\( F \)-groupe connexe \( \mathbf T \le \mathbf G \) tangent à \( H \). On note \( X(\mathbf T) = \hom_F(\mathbf T, F^\times) \) le groupe des caractères de \( \mathbf T \), qui est un groupe abélien libre de rang \( \dim(\mathbf T) \). On note \( \mathbf N = N_{\mathbf G}(\mathbf T) \) le normalisateur dans \( \mathbf{G} \) de \( \mathbf T \) (qui est un \( F \)-sous-groupe) ; on remarque que comme \( \mathbf{G} \) est connexe \( \mathbf T \) est égal à son propre centralisateur.

Lemme : On a des isomorphismes naturels \( e : V \cong X^*(\mathbf T) \otimes_{\mathbb Z} {\mathbb R}\) et \( f : W \cong \mathbf N(F)/\mathbf T(F) \). De plus \( e(w\xi) = f(w)e(\xi) \) pour touts \( \xi \in V \) et \( w \in W \).

BN-paires et construction de l’immeuble

Sous-groupe de Borel

Soit \( \mathfrak{n} = \bigoplus_{\alpha \in \Phi^+} \mathfrak{g}_\alpha \). Alors \( \mathfrak{n} \) est une sous-algèbre de Lie de \( \mathfrak{g} \) d’après la règle \( [\mathfrak{g}_\alpha, \mathfrak{g}_\beta] \subset \mathfrak{g}_{_alpha+\beta} \), puisque \( \Phi^+ \) est stable par addition. Il existe un unique sous-\( F \)-groupe connexe \( \mathbf U \le \mathbf{G} \) tangent à \( \mathfrak{n} \), et comme \( \mathfrak{n} \) est normalisée par \( H \), le sous-groupe \( \mathbf B = \mathbf T\mathbf U \) est le sous-\( F \)-groupe connexe tangent à \( H + \mathfrak{n} \). On l’appelle sous-groupe de Borel de \( \mathbf G \).

On peut montrer « à la main » qu’il existe un immeuble \( X \) dont les appartements sont des complexes de Coxeter pour \( V \) et sur lequel \( \mathbf G(F) \) agit en prolongeant l’action de \( \mathbf N(F) \) sur \( V \). Les chambres de cet immeuble sont en bijection avec l’ensemble \( \mathbf G(F) / \mathbf B(F) \), sur lequel on peut construire une relation d’adjacence ad hoc. Dans la suite on va plutôt expliquer une machinerie formalisant cette construction purement en termes de théorie des groupes.

BN-paires

Définition : Soit \( G \) un groupe et \( B, N \) des sous-groupes de \( G \) ; on note \( T = N \cap B \), on suppose que \( T \triangleleft N \) et on pose \( W = N/T \). On dit alors que \( (B, N) \) est une BN-paire si \( G = \langle B, N \rangle \), et il existe une famille génératrice \( S \) de \( W \) vérifiant les deux conditions suivantes :

1. Pour touts \( s \in S, w \in W \) on a \( sBw \subset BwB \cup BswB \) ;
2. Pour tout \( s \in S \) on a \( sBs^{-1} \not\subset B \).

Il suit de cette définition que \( (W, S) \) est un groupe de Coxeter (cf. Abramenko–Brown, Proposition 6.40) ; dans les cadres où on l’appliquera ceci sera déjà connu. Le lien avec les immeubles est donné par le résultat suivant (loc. cit., Theorem 6.56).

Théorème : Avec les notations ci-dessus il existe un immeuble épais dont les appartements sont isomorphes au complexe de Coxeter de \( (W, S) \), l’ensemble des chambres est \( G/B \) et les appartements sont les orbites des classes à gauche \( gT, g \in G \) sur cet ensemble. En particulier \( G \) agit par automorphismes sur cet immeuble, et l’action est transitive sur les chambres.

Les stabilisateurs des simplexes de l’immeuble sont les sous-groupes paraboliques de \( G \) associés à la BN-paire. Pour les décrire on commence par définir un sous-groupe parabolique standard comme suit : c’est un sous-groupe de la forme \( \langle T, B \rangle \) où \( T \subset S \). Ces derniers sont les stabilisateurs des faces de la chambre fondamentale (correspondant à la classe triviale \( 1B \in G/B) \). Un sous-groupe est donc parabolique s’il est conjugué par un élément de \( G \) à un sous-groupe parabolique standard.

BN-paire d’un groupe algébrique

L’ingrédient qui nous manque encore pour la construction de l’immeuble d’un \( F \)-groupe déployé \( \mathbf G \) est le suivant.

Lemme : Si \( \mathbf N, \mathbf B \) sont les \( F \)-sous-groupes de \( \mathbf G \) définis plus haut alors \( (\mathbf B(F), \mathbf N(F)) \) est une BN-paire.

De plus le groupe de Coxeter associé est bien le groupe de Weyl \( W = \mathbf N(F) / \mathbf T(F) \). On a donc bien un immeuble dont les appartements sont \( V \) et sur lequel \( \mathbf G(F) \) agit.

Dans ce cadre la définition ci-dessus de sous-groupe parabolique standard correspond à la définition classique : ce sont les groupes \( \mathbf P(F) \) où \( \mathbf B \le \mathbf P \le \mathbf G \) est un \( F \)-sous-groupe. Ils sont en bijection avec les sous-ensembles de la base \( \Delta \) ; si \( \Theta \subset \Delta \) le sous-groupe associé est tangent à la sous-algèbre
\[
H \oplus \mathfrak{n} \oplus \bigoplus_{\theta \in \Theta} \mathfrak{g}_{-\theta}.
\]

Exemple : \( \mathrm{SL}_3 \)

Si \( \mathbf G = \mathrm{SL}_3 \) son algèbre de Lie est \( \mathfrak{sl}_3 \). On a alors
\[
\mathbf T(F) = \left\{ \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix} : abc = 1 \right\}, \, \mathbf B(F) = \left\{ \begin{pmatrix} a & x & y \\ 0 & b & z \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix} : abc = 1 \right\}
\]
et \( W \) est le sous-groupe des matrices de permutation. Les sous-groupes paraboliques standard sont \( \mathbf G, \mathbf B \) et les conjugués de
\[
\mathbf P(F) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b & x \\ c & d & y \\ 0 & 0 & e \end{pmatrix} : (ad – bc)e = 1 \right\}
\]
(qui correspond à la racine \( L_1 – L_2 \)).

On peut donner dans ce cas une interprétation géométrique de l’immeuble \( I \) associé à \( \mathbf G(F) \) : \( \mathbf G(F)/\mathbf B(F) \) est l’ensemble des drapeaux de \( F^3 \), qui représentent donc les 1-simplexes de \( I \). Les sommets adjacents à un drapeau \( 0 \subset D \subset P \subset F^3 \) sont la droite \( D \) et le plan \( P \) ; deux chambres sont donc adjacentes si elles sont représentées par des drapeaux ayant une droite ou un plan en commun.

Cet immeuble est donc un graphe, de valence \( |F| + 1 \) (le cardinal de la droite projective sur \( F \). Dans le cas où \( F = \mathbb F_2 \) (a priori non traité par les arguments ci-dessus, mais on peut les adapter) il est représenté par l’image suivante.

Formalisme des algèbres de Lie

Algèbres de Lie

Définition : Une algèbre de Lie sur \( F \) est un \( F \)-espace vectoriel \( L \) muni d’un crochet de Lie \( [\cdot, \cdot] \) qui est une application bilinéaire \( L \times L \to L \) qui est antisymétrique et vérifie la relation de Jacobi :
\[
[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0
\]
pour touts \( x, y, z \in L \).

On définit de manière évidente les sous-algèbres de Lie et les morphismes. Une représentation d’une algèbre de Lie \( L \) est un morphisme \( L \to \mathfrak{gl}(V) \) pour un espace vectoriel \( V \) (que l’on supposera toujours de dimension fini dans la suite).

Exemples :

• Soit \( V \) un espace vectoriel, alors \( \mathfrak{gl}(V) = \mathrm{End}(V) \) muni du crochet \( [a, b] = ab – ba \) est une algèbre de Lie.

  Le sous-espace \( \mathfrak{sl}(V) = \{ x \in \mathfrak{gl}(V) : \mathrm{tr}(x) = 0 \} \) est une sous-algèbre de Lie.

  Si \( \dim(V) = n \) le choix d’une base de \( V \) détermine un isomorphisme \( \mathfrak{gl}(V) \cong \mathfrak{gl}_n(F) \) où \( \mathfrak{gl}_n(F) \) est l’algèbre de Lie des matrices \( n \times n \) munies du crochet évident ; de même \( \mathfrak{sl}(V) \cong \mathfrak{sl}_n(F) \) où \( \mathfrak{sl}_n(F) \) est la sous-algèbre des matrices de trace nulle.

• D’autres sous-algèbres importantes de \( \mathfrak{gl}_n(F) \) sont \( \mathfrak{t}_n(F) \), formée des matrices triangulaires supérieures, et \( \mathfrak{n}_n(F) \), formée des matrices strictement triangulaires supérieres.

Représentation adjointe, centre, idéaux

Soit \( A \) une \( F \)-algèbre (pas forcément associative). Une dérivation de \( A \) est un endomorphisme \( \delta \in \mathrm{End}_F(A) \) qui satisfait la règle de Leibniz :
\[
\delta(ab) = a\delta(b) + \delta(a)b
\]
pour touts \( a, b \in A \). L’ensemble des dérivations est une sous-algèbre de Lie de \( \mathfrak{gl}(V) \).

Si \( L \) est une algèbre de Lie et \( x \in L \) on note \( \mathrm{ad}_x \) l’endomorphisme linéaire de \( L \) défini par \( \mathrm{ad}_x(y) = [x, y] \). L’application \( \mathrm{ad} : L \to \mathfrak{gl}(L) \) , \( x \mapsto \mathrm{ad}_x \) est un morphisme d’algèbres de Lie. On l’appelle la représentation adjointe de \( L \). On vérifie en que \( \mathrm{ad}(L) \subset \mathrm{Der}(L) \).

Le centre \( Z(L) \) de \( L \) est par définition :
\[
Z(L) = \ker(\mathrm{ad}) = \{ x \in L : \forall y \in L, [x, y] = 0 \}.
\]
On dit que \( L \) est abélienne si \( L = Z(L) \).

En général le centre est un idéal de \( L \), c’est-à-dire un sous-espace \( I \le L \) tel que \( [x, y] \in I \) pour touts \( y \in I \) et \( x \in L \) (en particulier c’est une sous-algèbre de Lie). Un autre exemple d’idéal est l’algèbre dérivée de \( L \) définie par :
\[
[L, L] = \{ [x, y] : x, y \in L\}.
\]
On dit qu’une algèbre de Lie est simple si ses seuls idéaux sont elle-même et le sous-espace nul. Par exemple \( \mathfrak{sl}(V) \) est simple (la démonstration est la même que celle de la simplicité du groupe \( \mathrm{SL}(V) \)).

Algèbres résolubles et nilpotentes

La série dérivée \( L^{(0)}, L^{(1)}, \ldots \) de \( L \) est définie par récurrence comme suit :
\[
L^{(0)} = L, L^{(i+1)} = [L^{(i)}, L^{(i)}].
\]
On dit que \( L \) est résoluble si \( L^{(i)} = 0 \) pour \( i \) assez grand. Par exemple, l’algèbre \( \mathfrak{t}_n(F) \) des matrices triangulaires supérieures est résolubles : en effet le \( i \)-ème terme de sa série dérivée est contenu dans les \( (a_{kl} \) telles que \( l \le k + i \Rightarrow a_{kl} = 0 \) donc on a \( L^{(n)} = 0 \).

On a les propriétés de stabilité suivante pour cette notion (les démonstrations sont immédiates d’après les définitions).

Proposition :

1. Si \( L \) est résoluble alors toute sous-algèbre ou image de \( M \) est résoluble.
2. Si \( I \) est un idéal résoluble de \( L \) et \( L/I \) est aussi résoluble alors \( L \) elle-même doit être résoluble.
3. Si \( I, J \) sont des idéaux résolubles de \( L \) alors \( I + J \) aussi.

Il suit de la propriété 3. ci-dessus qu’une algèbre de Lie (de dimension finie) \( L \) contient un unique idéal résoluble maximal. Ce dernier est appelé radical résoluble de \( L \) et noté \( \mathrm{Rad}(L) \).

Définition : On dit que \( L \) est semisimple si l’une des conditions équivalentes suivantes est satisfaite :

• On a \( \mathrm{Rad}(L) = 0 \) ;
• Il n’existe pas d’idéal abélien \( I \subset L \) ;

La série centrale \( L^0, L^1, \ldots \) de \( L \) est définie par :
\[
L^0 = L, L^{i+1} = [L, L^i].
\]
On dit que \( L \) est nilpotente si \( L^i = 0 \) pour \( i \) assez grand. Par exemple l’algèbre \( \mathfrak{n}_n(F) \) est nilpotente par le même argument que celui utilisé pour démontrer que \( \mathfrak{t}_n \) est résoluble (noter que \( \mathfrak{t}_n(F) \) elle-même n’est pas nipotente, vu que \( [\mathfrak{t}_n, \mathfrak{t}_n^{(i)}] = \mathfrak{t}_n^{(i)} \) pour \( i \ge 1 \)).

La nilpotence est stable par passage aux sous-algèbres et aux images. On a de plus les propriétés importantes suivantes.

Proposition :

1. \( L \) est nilpotente si et seulement si \( L/Z(L) \) est nilpotente.
2. Si \( L \) est nilpotente alors\( Z(L) \not= 0 \).

Théorèmes fondamentaux

Théorème d’Engel

Si \( L \) est une algèbre de Lie nilpotente et \( x_0, \ldots, x_i \in L \) on a \( \mathrm{ad}_{x_i} \cdots \mathrm{ad}_{x_1} \in \mathrm{ad}(L^{i}) \) et cet élément est donc nul pour \( i \) assez grand. En particulier il existe un \( n \) tel que \( (\mathrm{ad}_x)^n = 0 \) pour tout \( x \in L \). Autrement dit tous les éléments d’une algèbre nilpotente sont nilpotents (au sens usuel) dans la représentation adjointe. Le théorème d’Engel est une réciproque de cet énoncé.

Théorème (Engel) : Soit \( L \) une algèbre de Lie. Si \( \mathrm{ad}_x \) est un endomorphisme nilpotent de \( L \) pour tout \( x \in L \) alors \( L \) est nilpotente.

Démonstration

\( L \) est nilpotente si et seulement si \( \mathrm{ad}(L) \) l’est. On obtient alors cet énoncé par récurrence sur \( \dim(L) \), comme conséquence du lemme d’algèbre linéaire suivant : si \( L \) est une sous-algèbre de Lie de \( \mathfrak{gl}(V) \) telle que tout \( x \in L \) est un endomorphisme nilpotent alors il existe un vecteur \( v \in V \) non-nul tel que \( xv = 0 \) pour tout \( x \in L \).

Théorème de Lie

Théorème (Lie) : On suppose que \( F \) est algébriquement clos. Soit \( L \subset \mathfrak{gl}(V) \) une sous-algèbre de Lie résoluble. Il existe un \( v \in V \), \( v \not= 0 \) tel que \( xv \in Fv \) pour tout \( x \in L \).

Démonstration

On obtient cet énoncé par récurrence sur \( \dim(L) \) ; il est évidemment vrai pour \( \dim(L) = 0, 1 \). Le point de départ de la récurrence est le lemme suivant.

Lemme 1 : Il existe un idéal \( I \subset L \) de codimension 1.

Par l’hypothèse de récurrence il existe un \( v \in V \setminus 0 \) tel que \( xv \in Fv \) pour tout \( x \in I \). Soit \( \lambda \) la forme linéaire sur \( I \) telle que \( xv = \lambda(x)v \) pour \( x \in I \). On définit un sous-espace
\[
W = \bigcap_{x \in I} \ker(x – \lambda(x))
\]
qui est non-nul puisque \( v \in W \). On a alors

Lemme 2 : \( LW \subset W \)

On peut alors conclure de la manière suivante : on écrit \( L = Fz + I \) (pour n’importe quel \( z \in L \setminus I \)) et on obtient le vecteur désiré en prenant n’importe quel vecteur propre de \( z \) dans le sous-espace stable \( W \) (c’est ici que l’hypothèse sur \( F \) est utilisée).

Démonstration des lemmes

Le lemme 2 est une conséquence à peu près immédiate de ce que \( I \) est un idéal. Le lemme 1 se démontre comme suit : l’algèbre \( L^a = L/[L, L] \) est abélienne et non-nulle. On choisit un sous-espace \( J \subset L^a \) de codimension 1 ; il suit immédiatement que \( J + [L, L] \) est un idéal de codimension 1 dans \( L \).

Conséquences

Le théorème de Lie a les corollaires immédiats suivants :

1. Si \( L \) est une sous-algèbre résoluble de \( \mathfrak{gl}(V) \) alors il existe un drapeau de \( V \) (c’est-à-dire une suite de sous-espaces \( 0 = V_0 \subset V_1 \subset \cdots \subset V_n = V \) avec \( \dim(V_{i+1}/V_i) = 1 \)) stabilisé par \( L \) ; autrement dit \( L \) est une sous-algèbre d’un conjugué de \( \mathfrak{t}_n \). (Noter que le théorème d’Engel implique un énoncé similaire pour les sous-algèbres nilpotentes.)
2. \( L \) est résoluble si et seulement s’il existe des sous-algèbres \( L_0 = 0 \subset \cdots \subset L_n = L \) telles que \( \dim(L_{i+1}/L_i) = 1 \) et \( L_i \) est un idéal de \( L_{i+1} \).
3. \( L \) est résoluble si et seulement si son algèbre dérivée \( [L, L] \) est nilpotente.

Noter que le dernier point est valide même si \( F \) n’est pas algébriquement clos.

Critère de Cartan

Il suit de la caractérisation traciale des endomorphismes nilpotents, du théorème d’Engel et du dernier critère de résolubilité ci-dessus que si \( L \subset \mathfrak{gl}(V) \) vérifie que \( \mathrm{tr}(xy) = 0 \) pour tout \( x \in [L, L] \) et tout \( y \in L \) alors elle est résoluble. On obtient ainsi le critère de résolubilité suivant.

Théorème (Cartan) : Soit \( L \) une algèbre de Lie. Si \( \mathrm{tr}(\mathrm{ad}_x\mathrm{ad}_y) = 0 \) pour touts \( x \in [L,L] \) et \( y \in L \) alors \( L \) est résoluble.

Structure des algèbres de Lie semisimples

Forme de Killing

Définition : La forme de Killing d’une algèbre de Lie \( L \) est la forme bilinéaire symétrique \( K = K_L \) sur \( L \) donnée par :
\[
K(x, y) = \mathrm{tr}(\mathrm{ad}_x\mathrm{ad}_y).
\]

Les propriétés suivantes sont immédiates :

1. On a \( K([x, y], z) = K(x, [y, z]) \) (invariance de \( K \)).
2. Le noyau \( S = \ker(K) = \{ x \in L : K(\cdot, x) = 0\} \) est un idéal de \( L \).
3. Si \( I \subset L \) est un idéal alors \( K_I = K_L|_I \).

Le résultat utile pour la suite sur la forme de Killing est alors le théorème suivant.

Théorème : \( L \) est semi-simple si et seulement si \( K \) est non-dégénérée.

Démonstration

L’idéal \( S = \ker(K) \) est résoluble (ceci suit directement du critère de Cartan) et si \( L \) est semisimple on a donc \( S \subset \mathrm{Rad}(L) = 0 \) donc \( K \) est non-dégénérée.

Réciproquement, si \( S = 0 \) alors \( L \) ne contient pas d’idéal abélien non-nul (un tel idéal est contenu dans \( S \)). Il suit que \( L \) ne contient pas non plus d’idéal résoluble non-nul (le dernier terme de la série dérivée d’un tel idéal serait un idéal abélien non-nul de \( L \)), et donc que \( \mathrm{Rad}(L) = 0 \).

Décomposition en algèbres simples

Dans toute la suite on suppose que \( L \) est semisimple.

Théorème : Il existe des idéaux simples \( L_1, \ldots, L_n \) de \( L \), uniques à permutation près, tels que l’on ait la décomposition
\[
L = L_1 \oplus \cdots \oplus L_n.
\]

Démonstration

Ceci suit d’une récurrence sur la dimension mise en place comme suit : si \( L \) n’est pas simple elle contient un idéal \( 0 \not= I \not= L \), qui doit lui aussi être semisimple (sinon \( \mathrm{Rad}(I) \) serait un idéal résoluble de \( L \)). Son orthogonal \( I^* \) pour \( K \) est alors un idéal, et on a \( L = I \oplus I^* \) car \( K \) et \( K|_I = K_I \) sont non-dégénérées. On conclut en appliquant l’hypothèse de récurrence à \( I \) et \( I^* \).

Conséquences

Le théorème de décomposition a les corollaires suivants, que l’on peut aussi déduire directement de sa démonstration.

1. On a \( [L, L] = L \).
2. Les idéaux et quotients de \( L \) sont aussi semisimples.

Représentation adjointe des algèbres semisimples

La représentation adjointe \( \mathrm{ad} : L \to \mathrm{Der}(L) \) de l’algèbre de Lie semisimple \( L \) a les propriétés suivantes :

1. \( \mathrm{ad} \) est fidèle ;
2. \( \mathrm{ad}(L) = \mathrm{Der}(L) \) ;

La première suit immédiatement du fait que \( \ker(\mathrm{ad}) \) est un idéal abélien. La seconde se démontre comme suit : si \( \delta \in \mathrm{Der}(L) \) et \( x \in L \) on a \( \mathrm{ad}_{\delta(x)} = [\delta, \mathrm{ad}_x] \) et il suit que \( \mathrm{ad}(L) \) est un idéal de \( \mathrm{Der}(L) \). Soit \( J \) son orthogonal pour la forme de Killing \( K_{\mathrm{Der}(L)} \) ; alors \( J \cap \mathrm{ad}(L) = 0 \) vu que \( K_I = K_{\mathrm{Der}(L)}|_I \) est non-dégénérée, et par inégalité sur les dimensions \( \mathrm{Der}(L) = J \oplus \mathrm{ad}(L) \). Il suit aussi que \( \mathrm{ad}_{\delta(x)} = [\delta, \mathrm{ad}_x] \in J \cap \mathrm{ad}(L) \) est nul pour touts \( x \in L \) et \( \delta \in J \). Comme \( \mathrm{ad} \) est injective il suit que pour tout \( \delta \in J \) on a \( \delta(x) = 0 \) pour tout \( x \in L \), c’est-à-dire \( \delta = 0 \). On conclut que \( J = 0 \) et donc que \( \mathrm{ad}(L) = \mathrm{Der}(L) \).

Décomposition de Jordan

Proposition : Pour tout \( x \in L \) il existe une paire \( (x_n, x_s) \in L \times L \) telle que \( \mathrm{ad}_{x_n} \) est nilpotent, \( \mathrm{ad}_{x_s} \) est semisimple, \( [x_n, x_s] = 0 \) et \( x = x_s + x_n] \).

Pour démontrer ceci on admet le fait suivant : si \( x \) est une endomorphisme linéaire de \( L \) on note \( x_n \) sa partie nilpotente et \( x_s \) sa partie semisimple (diagonalisable) données par le théorème de réduction de Jordan ; on a alors :

Si \( x \in \mathrm{Der}(L) \) alors \( x_n, x_s \in \mathrm{Der}(L) \).

Le résultat suit alors immédiatement du fait (démontré ci-dessus) que \( \mathrm{ad} \) est un isomorphisme \( L \to \mathrm{Der}(L) \).

La décomposition de Jordan est fonctorielle, c’est-à-dire que pour tout morphisme \( \rho : L \to \mathfrak{gl}(V) \) (dont l’image est forcément contenue dans \( \mathfrak{sl}(V) \)) et tout \( x \in L \) on a \( \rho(x)_n = \rho(x_n) \).

Décomposition radicielle

Soit \( H \subset L \) une sous-algèbre abélienne dont tous les éléments sont semisimples (c-à-d \( x = x_s \) pour tout \( x \in H \)), et maximale pour ces propriétés. (On peut démontrer sans difficulté que demander que \( H \) soit abélienne est superflu.) Une telle sous-algèbre est appelée sous-algèbre de Cartan de \( L \).

Il existe une base de \( L \) qui diagonalise simultanément tous les éléments de \( H \) ; autrement dit il existe un sous-ensemble fini \( \Phi \) du dual \( L^* \) tel que
\[
L = H \oplus \bigoplus_{\alpha \in \Phi} L_\alpha, \: L_\alpha = \{ x \in L : \forall h \in H, \mathrm{ad}_h(x) = \alpha(h)x \}.
\]
Cette décomposition est appelée décomposition radicielle de \( L \) et \( \Phi \) est appelé un système de racines de \( L \). Tout ceci dépend du choix de \( H \) mais on peut démontrer que toutes les sous-algèbres de Cartan sont conjuguées l’une à l’autre et il en va de même pour les décompositions radicielles et systèmes de racines.

On a les propriétés importantes suivantes :

1. \( [L_\alpha, L_\beta] \subset L_{\alpha+\beta} \) (qui est nul si \( \alpha + \beta \not= 0, \not\in \Phi \) et \( H \) si \( \alpha + \beta = 0 \)).
2. Pour tout \( \alpha \in \Phi \) le sous-espace \( L_\alpha \) est \( \mathrm{ad} \)-nilpotent.
3. Si \( \alpha \not= \beta \) alors \( L_\alpha \) est Killing-orthogonal à \( L_\beta \).

Immeubles

Contemplons la définition suivante d’immeuble :

Définition Un immeuble est un complexe simplicial \(\Delta\) obtenu comme union de sous-complexes \(\Sigma\) (les appartements) satisfaisant les axiomes suivants:

1. Chaque appartement \(\Sigma\) est un complexe de Coxeter.
2. Pour tout couple de simplexes \(A, B \in \Delta\), il existe un appartement \(\Sigma\) contenant les deux.
3. Si \(\Sigma\) et \(\Sigma’\) sont deux appartements contenant des simplexes \(A\) et \(B\), alors il existe un isomorphisme \(\Sigma \to \Sigma’\) fixant \(A\) et \(B\) point par point.

Dans ces exposés on va introduire la notion de complexe de Coxeter, qui sont des complexes simpliciaux basiques qui serviront à contruire les immeubles.

Les axiomes ci-dessus disent qu’un immeuble est en un certain sens un objet très symétrique, on verra plus tard leurs conséquences. Noter cependant qu’il est possible qu’un immeuble n’admette aucun automorphisme non trivial, comme dans l’exemple suivant :

Exemple Soit \(\Delta\) un arbre simplicial, dont tous les sommets sont de valences \(\ge 3\) deux à deux distinctes. Alors \(\Delta\) est un immeuble, dont les appartements sont les droites simpliciales plongées dans \(\Delta\).
On verra que ce sont des complexes de Coxeter de type \(\tilde A_1\).

Groupes et matrices de Coxeter

Un groupe de Coxeter \(W\) est un groupe engendré par un ensemble \(S\) (disons fini, de cardinal \(n\)) d’involutions, et qui admet une présentation par générateurs et relations très simple :
\[
W = \left\langle S \mid (s,t)^{m(s,t)} = 1\right\rangle
\]
Ici la matrice \(M = (m(s,t))_{1 \le s,t \le n}\) est symétrique à coefficients entiers positifs, avec des \(1\) sur la diagonale est des entiers \(\ge 2\) partout ailleurs. On admet aussi la valeur \(m(s,t) = \infty\). On dit que \(M\) est la matrice de Coxeter encodant \(W\). Si on veut souligner le choix de \(S\), on parle de système de Coxeter \((W,S)\).

Exemple

1. Le groupe \(S_3\) des symétries d’un triangle équilatéral, engendré par les transpositions \((12)\) et \((23)\) dont le produit est d’ordre 3.
2. Le groupe infini engendré par les symétries par rapport aux côtés d’un
   triangle équilatéral, dont les produits deux à deux sont d’ordre 3.
3. Le groupe \(\mathrm{PGL}_2({\mathbb Z})\) est engendré par les matrices
   \[
   s_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad
   s_2 = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad
   s_3 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
   \]
   et les produits \(s_1s_2\), \(s_1s_3\), \(s_2s_3\) sont d’ordre respectif \(3,2,\infty\).

Graphes de Coxeter

La donnée d’une telle matrice \(n \times n\) est encodée par un graphe de Coxeter \(\Gamma\), avec \(n\) sommets et une arête avec étiquette \(m(s,t)\) pour chaque \(m(s,t) \ge 3\). Il est d’usage de ne pas noter les étiquettes 3 sur les dessins. On dit que la matrice de Coxeter \(M\) est irréductible (ou indécomposable) si le graphe \(\Gamma\) associé est connexe.

La matrice de Gram d’un graphe de Coxeter est la matrice symétrique \(A\) avec coefficients \(-\cos \frac{\pi}{m(s,t)}\) (à interpréter comme \(-1\) dans le cas \(m(s,t) = \infty\)). Pour les calculs il est souvent plus aisé de considérer \(2A\) (notamment pour que les \(-\cos \frac{\pi}{3}\) deviennent des \(-1\)…)

Si \(\Gamma\) est un graphe de Coxeter, on notera \(\det (\Gamma)\) le déterminant \(\det (2A)\), où \(A\) est la matrice de Gram associée.

Exemple
Groupe \(W\) d’ordre 48 des isométries de \({\mathbb R}^3\) préservant un cube:

• \( M = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ 3 & 1 & 4 \\ 2 & 4 & 1 \end{array}\right)\)
• \(\Gamma = \)
• \( 2A = \left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -\sqrt 2 \\ 0 & -\sqrt 2 & 2 \end{array}\right) \)
• \(\det (\Gamma) = 2 \).

Représentation canonique

Soit \((W,S)\) un système de Coxeter, \(V\) l’espace vectoriel \(V = \oplus_{s \in S} {\mathbb R} e_s\), et \(B(.,.)\) la forme bilinéaire définie par
\[
B(e_s,e_t) = – \cos \frac{\pi}{m(s,t)}.
\]
On fait agir \(W\) sur \(V\) en posant, pour chaque \(s \in S\)
\[\sigma_s(v) = v – 2 B(e_s,v) e_s,\]
ou autrement dit \(\sigma_s\) est la (une) réflexion orthogonale de plan
\(e_s^\perp\) par rapport à la forme \(B\).
Par acquis de conscience, on peut vérifier que pour tout \(v,v’ \in V\), on a :
\[\begin{array}{rl}
B(\sigma_s (v), \sigma_s (v’) ) &= B(v-2B(e_s,v)e_s, v’-2B(e_s,v’)e_s) \\
&= B(v,v’) – 2 B(e_s,v) B(e_s,v’) – 2 B(e_s,v’)B(v,e_s) +4 B(e_s,v)B(e_s,v’)\cdot 1
\\
&= B(v,v’).
\end{array}\]
On obtient donc un morphisme de \(W\) vers le groupe orthogonal \(\mathrm O(V)\) pour la forme \(B\).

Lemme
Soit \(W = \langle S; (st)^{m(s,t)} = 1 \rangle\) un groupe de Coxeter. Alors chaque \(s \in S\) est d’ordre 2 dans \(W\), et chaque produit \(st\) est d’ordre \(m(s,t)\).

Démonstration :
On a un morphisme signature \(W \to \{\pm 1\}\) qui envoie chaque \(s \in S\) sur \(-1\), donc les \(s\) sont d’ordre 2 dans \(W\). Si \(s\neq t \in S\), alors \(\sigma_s\) et \(\sigma_t\) préserve le plan \(\mathrm{Vect}(e_s, e_t)\), et comme la restriction de \(B\) est de matrice définie positive (on traite d’abord le cas \(m = m(s,t)\) fini)
\[
\begin{pmatrix}
1 & -\cos \frac{\pi}{m} \\ -\cos \frac{\pi}{m} & 1
\end{pmatrix},
\]
le groupe \(\langle \sigma_s, \sigma_t \rangle\) est diédral d’ordre \(m\), car l’angle entre les deux vecteurs \(e_s\) et \(e_t\) est \(\pi – \frac{\pi}{m}\). Cela montre que \(st\) est d’ordre \(m\) dans \(W\).

Représentation duale

On part de l’action de \(W\) sur \(V’ = \oplus_{s \in
S} {\mathbb R} e_s\), par
\[s'(f) = f – 2 B(e_s,f) e_s\]
On note \(V\) le dual de \(V’\).
On pense aux éléments de \(V’\) comme des formes linéaires, et à ceux de \(V\) comme des vecteurs.
Pour tout \(s \in S\), il existe un unique vecteur \(v_s \in V\) tel que pour tout \(f \in V’\),
\[ f(v_s) = B(e_s,f). \]

Lemme
L’action duale de \(S\) sur \(V\) est donnée par
\[
s(v) = v-2e_s(v) v_s.
\]

Démonstration :
\[\begin{array}{rl}
\langle e_t, s(v) \rangle
&= \langle e_t, v- 2 e_s(v) v_s \rangle \\
&= e_t(v) – 2 e_t(v_s) e_s(v) \\
&= e_t(v) – 2B(e_s,e_t)e_s(v) \\
&= \langle e_t – 2B(e_s,e_t)e_s,v \rangle \\
&= \langle s'(e_t), v \rangle.
\end{array}\]

Exemple
Soit \(W\) le groupe diédral infini:

• \( M = \begin{pmatrix} 1 & \infty \\ \infty & 1 \end{pmatrix} \)
• \(\Gamma = \)
• \(A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \)
• \( \det (\Gamma) = 0 \).

On considère l’espace vectoriel \(V’ = {\mathbb R} e_s \oplus {\mathbb R} e_t\), et \(V\) son dual. On définit comme précédemment deux réflexions \(s’\) et \(t’\) sur \(V’\):
\[\begin{array}{c}
s'(f) &= f – 2B(e_s,f)e_s, \\
t'(f) &= f – 2B(e_t,f)e_t.
\end{array}\]
Observer que \(s'(e_s) = -e_s\), \(t'(e_t) = -e_t\) et \(s’,t’\) fixent toutes deux point par point la droite engendrée par \(e_s + e_t\), ce qui donne :
\[\begin{array}{cc}
s'(e_t) = 2e_s + e_t, && t'(e_s) = e_s + 2e_t.
\end{array}\]

Notons \(s,t\) les réflexions linéaires sur \(V\) induites par \(s’,t’\), alors en notant \((x,y)\) les coordonnées sur \(V\) telles que
\[\begin{array}{cc}
e_s(x,y) = x, && e_t(x,y) = -x + y,
\end{array}\]
on obtient
\[\begin{array}{cc}
s (x,y) = (-x,y), && t(x,y) = (-x + 2y, y).
\end{array}\]
En effet :
\[\begin{array}{ccccccccccccccccc}
\langle e_s, s(s,y) \rangle &&=&&\langle e_s, (-x,y) \rangle&& = &&-x &&=&& \langle -e_s, (x,y) \rangle &&=&& \langle s'(e_s), (x,y) \rangle, \\
\langle e_t, s(s,y) \rangle &&=&& \langle e_t, (-x,y) \rangle&& = &&x + y &&=&& \langle 2e_s+e_t, (x,y) \rangle &&= &&\langle s'(e_t), (x,y) \rangle, \\
\langle e_s, t(x,y) \rangle &&=&&\langle e_s, (-x+2y,y) \rangle&& = &&-x+2y &&=&& \langle e_s+2e_t, (x,y) \rangle &&=&& \langle t'(e_s), (x,y) \rangle, \\
\langle e_t, t(x,y) \rangle &&=&&\langle e_t, (-x+2y,y) \rangle&& = &&x-y &&=&& \langle -e_t, (x,y) \rangle &&=&& \langle t'(e_t), (x,y) \rangle.
\end{array}\]

Le cas \(W\) fini

Théorème
Soit \((W,S)\) un système de Coxeter, et \(B\) la forme quadratique associée. Le groupe \(W\) est fini si et seulement si la forme \(B\) est définie positive.

Démonstration :
On peut se ramener à \((W,S)\) irréductible, en travaillant sur chaque bloc de la matrice de \(B\).

Si \(B\) est définie positive, \(W\) s’identifie à un groupe discret du groupe
compact \(O(V)\), et est donc fini.

Réciproquement si \(W\) est fini, par moyennisation du produit scalaire standard
sur \(V\) il préserve un produit scalaire. On a donc deux formes bilinéaires invariantes, \(B\) et un produit scalaire \(\langle \cdot, \cdot \rangle\). On veut montrer que \(B = c\, \langle \cdot, \cdot \rangle\) pour une constante \(c > 0\). Tout d’abord \(B\) est non dégénérée, car sinon \(\ker B\) serait un sous-espace stable sans supplémentaire stable. Tout sous-espace stable devrait être dans le noyau de \(B\), donc la représentation de \(W\) est irréductible. Le centralisateur de \(W\) est réduit aux matrices scalaires. Cela implique qu’il existe une unique forme bilinéaire symétrique invariante (à un scalaire près), et donc \(B\) est un multiple (positif, puisque admet des 1 sur la diagonale) du produit scalaire invariant.

Classification

Graphe (semi)-définis positifs

On dit qu’un graphe de Coxeter est défini positif (resp. semi-défini positif) si la matrice de Gram \(A\) associée l’est (ou de façon équivalente, \(2A\)).

On dit qu’un graphe de Coxeter \(\Gamma\) contient un graphe de Coxeter \(\Gamma’\) si \(\Gamma’\) s’obtient à partir de \(\Gamma\) en supprimant des arêtes et/ou en diminuant des poids.
On obtient aussi une relation d’ordre partiel sur les graphes de Coxeter, notée \(\Gamma’ \prec \Gamma\) pour indiquer une inclusion stricte.

Exemple

Lemme
Une matrice symétrique est définie positive si et seulement si tous ses mineurs principaux sont strictement positifs.

Variante: si le déterminant est nul est que tous les autres mineurs principaux sont strictement positifs, alors la matrice est semi-définie positive.

Démonstration :
Si \(A\) est symétrique définie positive alors ses valeurs propres sont réelles strictement positives, et donc \(\det A > 0\). De plus la restriction de \(q_A\) à tout sous-espace est encore définie positive, ce qui donne la positivité des mineurs en restreignant au sous-espace engendré par \(e_1, \dots, e_k\) pour chaque \(k\).

La réciproque est claire en dimension 1. Supposons maintenant la réciproque vraie en dimension \(n-1\), et montrons la en dimension \(n\).
Écrivons \({\mathbb R}^n = {\mathbb R}^{n-1} \oplus {\mathbb R}\), alors la restriction de \(q_A\) au facteur \({\mathbb R}^{n-1}\) est définie positive par hypothèse de récurrence.
De plus \(\det A >0\), donc \(q_A\) est non dégénéré, donc \(({\mathbb R}^{n-1})^\perp\) est une droite \(\mathrm{Vect} (e)\), et on a une somme directe orthogonale \({\mathbb R}^n = {\mathbb R}^{n-1} \oplus \mathrm{Vect} (e)\).
Notons \(A’\) la matrice de la restriction de \(q_A\) à \({\mathbb R}^{n-1}\) (dans une base quelconque), alors \(\det A\) et \(\det A’ \cdot q_A(e)\) ont même signe, et donc \(q_A(e) > 0\) et \(A\) est définie positive.

Preuve de la variante :
à nouveau on écrit \({\mathbb R}^n = {\mathbb R}^{n-1} \oplus {\mathbb R}\), et la restriction de \(q_A\) au
facteur \({\mathbb R}^{n-1}\) est définie positive par ce qui précède.
Soit \(e\) un vecteur isotrope pour \(q_A\), alors on a une somme directe orthogonale \({\mathbb R}^n = {\mathbb R}^{n-1} \oplus \mathrm{Vect} (e)\), et \(q_A\) est positive comme somme directe d’une définie positive sur \({\mathbb R}^{n-1}\) et de la forme triviale sur \({\mathbb R}\).

Une matrice est indécomposable si aucune permutation des vecteurs de
la base canonique ne la rend (non trivialement) diagonale par blocs.

Lemme
Soit \(A\) une matrice symétrique semi-définie positive indécomposable, avec tous les coefficients non diagonaux \(a_{ij}\) négatifs ou nuls. Alors le cone isotrope est ou bien réduit à \(\{0\}\), ou bien égal à une droite. De plus la plus petite valeur propre de \(A\) a multiplicité \(1\), et il existe un vecteur propre associé dont toutes les coordonnées sont strictement positives.

Démonstration :
Comme \(A\) est semi-définie le cône isotrope est égal au noyau.
Soit \(x \neq 0\) dans le cône isotrope, et \(z\) le vecteur obtenu en prenant la
valeur absolue des coordonnées de \(x\). L’hypothèse \(a_{ij} \le 0, i\neq j,\)
implique
\[ 0 \le z^t A z \le x^t A x = 0 \]
donc \(z\) est aussi dans le cône isotrope.
Pour tout \(i\), on a \(\sum a_{ij} z_j = 0\).
Soit \(J\) l’ensemble des indices \(j\) avec \(z_j > 0\), et \(I\) son complément, correspondant à l’ensemble des indices \(i\) avec \(z_i = 0\).
On obtient que \(a_{ij} = 0\) pour tout \(i \in I, j \in J\), et donc \(I\) est vide par indécomposabilité de \(A\).
Ainsi le noyau de \(A\) est \(\{0\}\) ou une droite (tout sous-espace de dimension \(\ge 2\) contient un vecteur non nul avec au moins une coordonnée nulle), et la conclusion s’obtient en appliquant ce fait à la matrice symétrique semi-définie positive \(A – \lambda \mathrm{Id}\), avec \(\lambda\) la plus petite valeur propre.

Proposition
Soit \(\Gamma’ \prec \Gamma\) deux graphes de Coxeter distincts.
Si \(\Gamma\) est connexe et semi-défini positif, alors \(\Gamma’\) (qui n’est
pas forcément connexe) est défini positif.

Démonstration :
On numérote les sommets de \(\Gamma’\) de \(1\) à \(k\), puis ceux restant de \(\Gamma\) de \(k+1\) à \(n\).
Soit \(A’\) la matrice de \(\Gamma’\), c’est une matrice \(k \times k\) avec pour tous \(1 \le i,j \le k\)
\[
a_{ij}’ = – \cos \frac{\pi}{m_{ij}’} \ge – \cos \frac{\pi}{m_{ij}} = a_{ij}.
\]
Par l’absurde, supposons que \(x= (x_1, \dots, x_k) \neq 0\) vérifie \(x^t A’ x \le 0\).
Alors en appliquant \(A\) au vecteur \((|x_1|, \dots, |x_k|, 0, \dots, 0)\) on obtient
\[
0 \le \sum a_{ij} |x_i||x_j| \le \sum a_{ij}’ |x_i||x_j| \le \sum a_{ij}’ x_ix_j \le 0.
\]
Donc les inégalités sont des égalités.
Par le lemme, l’égalité \(0 = \sum a_{ij} |x_i||x_j|\) implique \(k = n\), et \(|x_i| > 0\) pour tout \(i\). Alors l’égalité \(\sum a_{ij} |x_i||x_j| = \sum a_{ij}’ |x_i||x_j|\) implique \(a_{ij} = a_{ij}’\) pour tous \(i,j\), contredisant que \(\Gamma’\) est un sous-graphe propre.

Théorème

1. Les graphes de la figure 1 sont la liste complète des graphes de Coxeter connexes défini positifs.
2. En ajoutant les graphes de la figure 2 on obtient la liste complète des graphes de Coxeter connexes semi-défini positifs.

Remarque
Les restrictions sur \(n\) sont pour éviter les redondances. En particulier on a les coïncidences suivantes :
\[\begin{array}{cccccc}
A_2 = I_2(3); &&
B_2 = I_2(4); &&
H_2 = I_2(5); &&
G_2 = I_2(6).
\end{array}\]

Preuve du théorème : cas de 1 ou 2 sommets

Les calculs sont directs. Pour \(\Gamma\) de type \(A_1\), on a \(2A = (2)\) et \(\det \Gamma = 2\). Pour \(\Gamma\) de type \(I_2(m)\) avec \(m \ge 3\), on a
\[\begin{array}{c}
2A =
\begin{pmatrix}
2 & -2\cos \frac{\pi}{m} \\
-2\cos \frac{\pi}{m} & 2
\end{pmatrix},
&&
\det \Gamma = 4\sin^2 \frac{\pi}{m}.
\end{array}\]
On obtient en particulier le tableau de valeurs

Remarque
Calcul de \(\cos \frac{\pi}{5}\) et \(\sin^2 \frac{\pi}{5}\).

D’abord
\[\cos 2\theta = {\mathbb R}e (e^{2\theta}) = {\mathbb R}e ((e^\theta)^2) = \cos^2 \theta – \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta -1.\]
Posons \(a = \cos \frac{\pi}{5}\) et \(b = \cos \frac{2\pi}{5}\). Remarquons que \(-a = \cos \frac{4\pi}{5}\), et donc
\[\begin{array}{cc}
b = 2a^2 -1, && -a = 2b^2 -1.
\end{array}\]
Par soustraction, \(a+ b = 2(a+b)(a-b)\), et donc \(a -b = \frac12\).
En remplaçant, on trouve que \(a\) est la racine positive de
\[4a^2 -2a -1 = 0\]
et finalement
\[\begin{array}{cc}
\cos \frac{\pi}{5} = \frac{1+\sqrt 5}{4},
&&
\sin^2 \frac{\pi}{5} = \frac{5-\sqrt 5}{8}.
\end{array}\]

Les graphes de la figure 1 sont définis positifs

Pour chacun des graphes de la figure (sauf \(D_4\), voir plus bas), on peut numéroter les \(n\) sommets de façon à ce que pour chaque \(i = 1, \dots, n\), le sous-graphe \(\Gamma_i\) induit par les \(i\) premiers sommets soit connexe (et donc aussi dans la liste), et que la dernière arête rajoutée soit de poids 3 entre les sommets \(n-1\) et \(n\).
Notons \(d_i = \det \Gamma_i\).
Par hypothèse les \(d_i\) sont les mineurs principaux de la matrice \(2A\), qui est de la forme
\[
2A =
\begin{pmatrix}
* & \dots & * & * & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\
* & \dots & * & * & 0 \\
* & \dots & * & 2 & -1 \\
0 & \dots & 0 & -1 & 2
\end{pmatrix}
\]
En développant suivant la dernière ligne on obtient la relation
\[
d_n = 2d_{n-1} – d_{n-2}.
\]
Par récurrence, on obtient la table suivante qui calcule les déterminants de tous les graphes de la figure (et aussi de \(D_2 = A_1 \times A_1\) qui est non connexe, mais qui avec \(D_3 = A_3\) intervient dans le calcul de \(D_4\)).
En particulier les mineurs \(d_i\) sont tous strictement positifs, et on conclut par le critère de Sylvester.

Précisément on utilise les suites suivantes pour \(d_{n-2}, d_{n-1}, d_n\):

• \(A_{n-2} \prec A_{n-1} \prec A_n\) initialisée avec \(\det A_1 = 2\), \(\det
  I_2(3) = 3\);
• \(B_{n-2} \prec B_{n-1} \prec B_n\) initialisée avec \(\det A_1 = 2\), \(\det
  I_2(4) = 2\);
• \(D_{n-2} \prec D_{n-1} \prec D_n\) initialisée avec \(\det A_1 \times A_1 =
  4\), \(\det A_3 = 4\);
• \(A_4 \prec D_5 \prec E_6\);
• \(D_5 \prec E_6 \prec E_7\);
• \(E_6 \prec E_7 \prec E_8\);
• \(A_2 \prec B_3 \prec F_4\);
• \(A_1 \prec I_2(5) \prec H_3\), noter que \(3 – \sqrt 5 \simeq 0.76 > 0\);
• \(I_2(5) \prec H_3 \prec H_4\), noter que \(\frac{7 – 3\sqrt 5}{2} \simeq
  0.15 > 0\).

Les graphes de la figure 2 sont semi-définis positifs

Tous d’abord on observe que l’on peut réaliser chacun des graphes \(\Gamma\) comme une suite croissante de graphes connexes dont tous les éléments sauf le dernier sont dans la liste, et tel que la dernière arête ajoutée est de poids \(3\) ou \(4\) entre les sommets \(n-1\) et \(n\). Par la variante du critère de Sylvester, il suffit de montrer que \(\det \Gamma = 0\).

On l’a déjà vu pour \(\tilde A_2\), et pour \(\tilde A_n\), \(n \ge 3\), il suffit de constater que chaque ligne comporte un \(2\), deux \(-1\) et des \(0\), ainsi la somme des colonnes est nulle.

Pour les graphes \(\tilde B_n\) et \(\tilde C_n\), comme précédemment on utilise une relation de récurrence entre les mineurs \(d_{n-2}, d_{n-1}\) et \(d_n\), mais cette fois le poids de la dernière arête ajoutée étant 4 cette relation prend la forme
\[
d_n = 2 (d_{n-1} – d_{n-2}).
\]
obtenue en développant le déterminant de
\[
2A =
\begin{pmatrix}
* & \dots & * & * & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\
* & \dots & * & * & 0 \\
* & \dots & * & 2 & – \sqrt 2 \\
0 & \dots & 0 & -\sqrt 2 & 2
\end{pmatrix}
\]

On trouve \(\det \Gamma = 0\) à l’aide des suites

• \(D_{n-1} \prec D_n \prec \tilde B_n\);
• \(B_{n-1} \prec B_n \prec \tilde C_n\).

Pour les graphes restants, on peut supposer la dernière arête de poids 3 et utiliser la relation de récurrence
\[
d_n = 2 d_{n-1} – d_{n-2}.
\]

Précisément, on peut utiliser les suites

• \(A_1 \times A_1 \times A_1 \prec D_4 \prec \tilde D_4\);
• \(A_1 \times D_{n-2} \prec D_n \prec \tilde D_n\) pour \(n \ge 5\);
• \(A_5 \prec E_6 \prec \tilde E_6\);
• \(D_6 \prec E_7 \prec \tilde E_7\);
• \(E_7 \prec E_8 \prec \tilde E_8\);
• \(A_3 \prec B_4 \prec \tilde F_4\);
• \(A_1 \prec G_2 \prec \tilde G_2\).

Figure 1 : graphes de Coxeter définis positifs

Figure 2 : graphes de Coxeter semi-définis positifs

Tout graphe semi-défini positif est dans une des deux listes

Supposons que \(\Gamma\) est un graphe connexe semi-défini positif à \(n\) sommets
et poids maximal \(m\), qui n’apparaisse pas dans une des deux listes.

1. Le nombre \(n\) de sommets est au moins 3, puisqu’on a traité exhaustivement
   les cas de 1 ou 2 sommets.
2. \(m\) est fini et \(m \le 5\), puisque \(\Gamma\) ne contient pas le graphe
   \(\tilde A_1\) ni le graphe \(\tilde G_2\).
3. Le cas \(m = 5\) est impossible, car \(\Gamma\) ne contenant pas \(\tilde B_n\)
   n’admet donc pas de point de branchement, et les deux graphes
   • >\(Z_4 =\)
   • >\(Z_5 =\)

   sont de déterminant \(<0\), ce que l'on voit par exemple en appliquant la formule
   \[
   d_n = 2 d_{n-1} – d_{n-2}.
   \]
   aux suites

   • \(A_2 \to H_3 \to Z_4\);
   • \(H_3 \to H_4 \to Z_5\).
4. Supposons maintenant \(m =4\).
   \(\Gamma\) ne contient pas \(\tilde C_n\), donc une seule arête admet le poids \(4\),
   et comme il ne contient pas \(\tilde B_n\), il n’a pas de point de branchement.
   Les deux arêtes extrèmes sont de poids 3, sinon \(\Gamma = B_n\).
   Comme \(\Gamma \neq F_4\) et \(\Gamma\) ne contient pas \(\tilde F_4\), cela épuise
   toutes les possibilités avec \(m = 4\).
5. Finalement supposons \(m=3\).
   \(\Gamma\) doit admettre un point de branchement, sinon \(\Gamma = A_n\).
   \(\Gamma\) ne contient pas \(\tilde D_4\), donc admet seulement des point de
   branchement triples.
   \(\Gamma\) ne contient pas \(\tilde D_n\), donc admet exactement un point de
   branchement triple, avec branche de longueur \(2 \le a \le b \le c\).
   \(\Gamma\) ne contient pas \(\tilde E_6\), donc \(a = 2\).
   Comme \(\Gamma \neq D_n\), on a \(b \ge 3\), mais comme \(\Gamma\) ne contient pas
   \(\tilde E_7\), on a \(b = 3\).
   Finalement \(3 \le c \le 5\) puisque \(\Gamma\) ne contient pas \(\tilde E_8\), mais
   les cas \(c = 3, 4 , 5\) correspondraient à \(\Gamma = E_6, E_7, E_8\), ce qui est
   exclu.

Réalisation

Groupes de réflexions finis

Soit \(V\) un espace vectoriel euclidien, \(H \subset V\) un hyperplan, \(\alpha \in V\) un vecteur.
On note \(s_H\) la réflexion orthogonale associé à \(H\), et \(s_\alpha\) la réflexion orthogonale associée à \(\alpha^\perp\).
Explicitement:
\[
s_\alpha(x) = x – 2\frac{\langle \alpha,x \rangle}{\langle \alpha, \alpha \rangle} \alpha.
\]

Un groupe de réflexions fini est un groupe fini \(W \subset \mathrm O(V)\) engendré par des réflexions orthogonales.
Le groupe \(W\) est dit essentiel si l’origine est le seul point fixe (ou autrement dit, \(\bigcap_{s_H \in W} H = \{ 0 \}\)).

Un ensemble de vecteur \(\Phi = \{\alpha\}\) est un système de racine (généralisé) si les réflexions \(s_\alpha\), \(\alpha \in \Phi\) engendre un groupe fini \(W\), et que \(\Phi\) est invariant par \(W\).

On suppose toujours un tel système de racine réduit, au sens où \(\alpha, \beta \in \Phi\) colinéaires implique \(\alpha = \pm \beta\).

Un système de racine est dit cristallographique si pour tout \(\alpha, \beta \in \Phi\), le coefficient \(2\frac{\langle \alpha,x \rangle}{\langle \alpha, \alpha \rangle}\) est entier.
Cela implique que le groupe additif engendré par \(\Phi\) est un réseau de \(V\).

On donne des réalisations combinatoires et/ou géométriques des groupes de Coxeter des diagrammes du tableau.

• \(A_n\) correspond au groupe symétrique, pour le système de générateurs \((i \, i+1)\).
  Géométriquement, c’est le groupe des isométries préservant un simplexe régulier dans l’espace euclidien de dimension \(n\).

• \(B_n\) correspond au groupe des permutations signées, pour le système de générateurs \((i \, i+1)\) plus le « flip » de \(n\).
  Géométriquement, c’est le groupe des isométries préservant un hypercube dans l’espace euclidien de dimension \(n\) (\(n\) paires de faces opposées).

• \(D_n\) est le groupe des permutations signées avec un nombre pair de \(-\).
  Géométriquement, c’est le groupe des isométries préservant un demi-hypercube dans l’espace euclidien de dimension \(n\)

• \(H_3\) est le groupe de l’icosaèdre (ou dodécaèdre), \(H_4\) le groupe du \(120\)-cellules (ou \(600\)-cellules), et \(F_4\) le groupe du \(24\)-cellules.

Complexes de coxeter

Groupe de réflexion fini

Soit \(W\) un groupe de réflexions fini, c’est à dire \(W \subseteq \mathrm O_n({\mathbb R})\) est
un sous-groupe fini du groupe orthogonal standard engendré par des réflexions
orthogonales.
On suppose \(W\) irréductible (pas de sous-espace propre invariant) et essentiel
(pas de point fixe global à part l’origine).
Soit \(H_i\) l’ensemble des hyperplans correspondant à des réflexions
orthogonales \(s_i \in W\) (pas seulement les générateurs), et \(\ell_i\) des
formes linéaires définissant les \(H_i\).
On appelle chambre une composante connexe de \({\mathbb R}^n \setminus \bigcup H_i\).
En particulier le choix des \(\ell_i\) conduit à un choix de chambre fondamentale
\[
C = \{ v \in {\mathbb R}^n \mid \ell_i(v) > 0 \text{ pour tout } i\}
\]
Deux chambres qui ont une face de codimension 1 commune (correspondant à traverser l’un des \(H_i\)) sont dites adjacentes.
Une suite de chambres \((C_j)_{0\le j \le r}\) est une gallerie de longueur \(r\) si \(C_j\) est adjacente à \(C_{j+1}\) pour tout \(j\).
La gallerie est dite minimale s’il n’y a pas de gallerie de longueur \(< r\) entre \(C_0\) et \(C_r\).
Le fait suivant me semble géométriquement clair:

Deux chambres sont toujours connectées par au moins une gallerie, et une gallerie est minimale si et seulement si elle ne traverse aucun hyperplan plus d’une fois.

Le lemme suivant semble être implicite dans \cite[p. 36]{AB}:

Lemme
Le groupe \(W\) agit transitivement sur les chambres.

Démonstration :
Le fait qu’il existe une action est claire, il s’agit de montrer que toute chambre \(D\) est dans l’orbite de la chambre fondamentale \(C\).
On procède par récurrence sur la distance \(r\) entre \(C\) et \(D\) (\(r\) est le
nombre d’hyperplans séparant ces deux chambres).
Si \(r = 1\), on envoie \(D\) sur \(C\) par la réflexion d’hyperplan séparant \(D\) et \(C\).
Si \(r > 1\), on considère une gallerie \(C_0 = C, C_1, \dots, C_r = D\), on prend
\(s_1\) la réflexion échangeant \(C\) et \(C_1\), et on applique l’hypothèse de
récurrence à \(C = s_1 C_1\) et \(s_1 D\).

Proposition
Soit \(\{H_s\}\) l’ensemble des hyperplans d’appui de \(C\), \(S\)
l’ensemble des réflexions orthogonales \(s \in W\) associées, et \(e_s\) le vecteur
unitaire normal à \(H_s\) et pointant vers le demi-espace contenant \(C\).
Alors:

1. Pour chaque \(s,t \in S\), on a \(\langle e_s, e_t \rangle = – \cos \frac{\pi}{m(s,t)} \le 0\) où
   \(m(s,t)\ge2\) est l’ordre de \(st\).
2. La chambre \(C\) est simpliciale, ce qui revient à dire que \(S\) est de cardinal
   \(n\);
3. \(S\) engendre \(W\);
4. \(\bar C\) est un domaine fondamental pour l’action de \(W\) sur
   \({\mathbb R}^n\);
5. \(W\) agit simplement transitivement sur les chambres.

Démonstration :
1. C’est juste la remarque que le groupe \(\langle s,t \rangle\) agissant sur \((H_s \cap
H_t)^\perp = {\mathbb R} e_s \oplus
{\mathbb R} e_t\) est le groupe diédral d’ordre \(m(s,t)\).

2. L’ensemble des hyperplans d’appui est de cardinal \(r \ge n\) sinon l’action neserait pas essentielle. Par l’absurde supposons \(r > n\). Donc les \(\ell_s = \langle e_s, \cdot \rangle\) forment une famille liée, et il existe une relation linéaire nulle non-triviale dont tous les coefficients sont positifs (sinon on écrit une égalité entre combinaisons linéaires non nulles à coefficients positifs, et comme les coefficients non diagonaux sont \(\le 0\), le produit scalaire est \(\le 0\), mais aussi \(\ge 0\) puisque c’est le produit scalaire d’un vecteur avec lui-même, donc \( =0\), absurde). Une telle combinaison est incompatible avec la définition de \(C\) comme quadrant positif.

3. Dans le lemme on a en fait montré que le groupe \(\langle S \rangle\) agit transitivement sur les chambres. Toute réflexion \(s_i\) dans \(W\) correspondant à un mur d’au moins une chambre \(D\), en utilisant le fait qu’il existe \(w \in \langle S \rangle\) tel que \(w D = C\), on obtient \(w s_i w^{-1} \in S\), et donc également \(s_i \in \langle S \rangle\). Comme les \(s_i\) engendrent \(W\), on obtient \(W = \langle S \rangle\).

4. Soit \(w \in W\) et \(x,y \in \bar C\) tel que \(wx = y\). On veut montrer \(x = y\). On écrit \(w = s_1 \dots s_r\) sous forme réduite, et on procède par récurrence sur la longueur \(r\) de \(w\). Si \(r = 0\), \(w = \mathrm{Id}\) et c’est fini. Sinon, on remarque que \(wC\) et \(C\) sont de part et d’autre de l’hyperplan
\(H_{s_1}\) (par minimalité de \(r\), et par la propriété « deletion » qui est assez claire géométriquement). Donc \(wx = y \in H_{s_1}\). Mais alors en appliquant \(s_1\) on trouve \(s_2 \dots s_r x = s_1 y = y\), et on conclut par hypothèse de récurrence.

5. Juste la remarque que dans la preuve précédente, si \(x = y \in C\), alors le seul \(w \in W\) fixant \(x\) est l’identité.

La décomposition simpliciale de la sphère \(S^{n-1} \subset {\mathbb R}^n\) est appelée le complexe de Coxeter (« sphérique ») associé au groupe de réflexion fini \(W\).

Une autre propriété importante est le

Théorème
Avec les notations de la proposition, \((W,S)\) est un système de Coxeter.

La preuve, combinatoire, est liée au problème du mot, est ne semble pas plus facile dans le cas fini que dans le cas général.

Constructions de l’arbre

On va démontrer le résultat suivant, un cas particulier élémentaire d’un théorème dû à Bruhat–Tits en toute généralité (pour des groupes réductifs sur des corps locaux ultramétriques ; le cas scindé est dû à Iwahori–Matsumoto).

Théorème : Soit \( p \) un nombre premier. Il existe une action transitive de \( \PGL_2(\QQ_p) \) sur un arbre régulier de valence \( p + 1 \) dans laquelle les stabilisateurs de sommets sont les conjugués de \( \PGL_2(\ZZ_p) \).

Actions sur les sous-groupes compact-ouverts

Soient \( G \) un groupe localement compact et \( K \) un sous-groupe compact-ouvert. Si \( g_1, g_2 \in G \) on pose :
\[
d(g_1K, g_2K) = \log \left| K^{g_1} / \left( K^{g_1} \cap K^{g_2} \right) \right|.
\]
Cette fonction n’est a priori pas une pseudo-distance sur \( G/K \) (elle pourrait ne pas être symétrique). Cependant dans les cas où \( K \) agit (par conjugaison) transitivement sur les sous-groupes \( K \cap K^g \) d’indice (fini) donné on obtient bien une pseudo-distance. En effet la symétrie de \( d \) est alors immédiate. L’inégalité triangulaire est déduite en observant que si \( g_1, g_2, g_3 \in G \) alors on a :
\[
\begin{array}{cc}
d(g_1K, g_3K) &= |K^{g_1}/(K^{g_3} \cap K^{g_1})| \\
&\le |K^{g_1}/(K^{g_3} \cap K^{g_1} \cap K^{g_2})| \le |K^{g_1}/(K^{g_3} \cap K^{g_2})| \cdot |K^{g_2}/(K^{g_2} \cap K^{g_1})|
\end{array}
\]
et on voit de plus qu’une condition nécessaire pour l’égalité est \( (K^{g_2} \cap K^{g_1}) \supset (K^{g_3} \cap K^{g_1}) \). Si en plus on a \( N_G(K) = K \) alors \( d \) est une distance sur \( X = G/K \) et l’action de \( G \) est isométrique.

Ces deux conditions sont vérifiées dans le cas où \( G = \PGL_2(\QQ_p) \) et \( K = \PGL_2(\ZZ_p) \) : ceci suit de la décomposition d’Iwasawa \( G = K A^+ K \) où
\[
A^+ = \left\{ \left( \begin{array}{cc} p^n & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) : n \in \NN \right\} = a^\NN, \, a = \left( \begin{array}{cc} p & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right).
\]
En effet on voit ainsi que tous les sous-groupes \( K \cap K^g \) sont conjugués à l’un des \( K \cap K^{a^n} \) qui sont d’indice \( p^{n-1}(p + 1) \). On modifie légèrement la distance pour obtenir des valeurs entières : on pose \( d(K^{g_1}, K^{g_2}) = n \) si \( g_1^{-1}g_2 \in K a^n K \).

L’espace \( X \) est alors un espace uniquement géodésique : si \( g \in k a^n K \) la géodésique de \( K \) à \( gK \) est le chemin \( (K, kaK, \ldots, ka^{n-1}K, ka^n K = gK) \). Enfin, on voit que c’est un arbre : soient \( g_1 \in k_1 a^{n_1} K,\, g_2 \in k_2 a^{n_2} K\) et \( n \in \NN \) maximal tel que \( k_2^{-1}k_1 \in (K \cap K^{a^n}) \). Le triangle de sommets \( K, g_1K, g_2K \) est le tripode de centre \( k_1 a^n K = k_2 a^n K\). La valence de \( X \) est donnée par le cardinal \( |K / (K \cap K^a)| = p + 1 \).

Remarques

1. Cette construction est en fait celle du graphe de Cayley–Abels du groupe \( G \) par rapport à l’ensemble générateur compact \( K \cup \{ a \} \).
2. On obtient une action de \( \SL_2(\QQ_p) \) sur \( X \) via l’application \( \SL_2(\QQ)_p \to \PGL_2(\QQ_p) \). Cette action a pour stabilisateurs les groupes \( g\SL_2(\ZZ_p)g^{-1}, g \in \mathrm{GL}_2(\QQ_p) \) et a deux orbites sur les sommets (correspondant aux sommets \( K \) et \( aK \)).

Action sur les réseaux

Un \( \ZZ_p \)-réseau ou simplement réseau d’un \( \QQ_p \)-espace vectoriel \( V \) est un sous-\( \ZZ_p \)-module de \( V \) qui est libre et de rang maximal (nécessairement égal à \( \dim(V) \)). Le groupe \( GL(V) \) agit transitivement sur ces réseaux (ceci suit du fait que l’anneau \( \ZZ_p \) est principal), et le groupe \( \PGL(V) \) agit transitivement sur les classes d’homothétie.

On suppose dans la suite que \( V = \QQ_P^2 \), \( G = \PGL(V) = \PGL_2(\QQ_p) \) et \( K = \PGL_2(\ZZ_p) \). Soit \( Y \) l’ensemble des classes d’homothétie de réseaux dans \( V \) et \( X = G/K\). Alors on a une bijection \( X \to Y \) donnée par \( gK \mapsto [g\ZZ_P^2] \), et \( Y \) est donc muni d’une structure d’arbre \( G \)-invariante venant de celle de \( X \) construite ci-dessus.

On peut calculer la distance entre deux classes d’homothétie de réseaux directement dans \( Y \), comme suit : si \( L_1, L_2 \) sont deux réseaux de \( V \) il existe un \( \lambda \in \QQ_p^\times \) de valuation minimale tel que \( \lambda L_2 \subset L_1 \) (ceci suit de la discrétion de la valuation et du fait que \( L_1, L_2 \) sont compacts et ouverts). On a alors \( |L_1/(\lambda L_2)| = p^n \) pour un \( n \in \NN \) et on pose \( d([L_1], [L_2]) = n \). Il est alors facile de vérifier que \( d \) est une distance \( G \)-invariante et que \( Y \) est un arbre simplicial (on vérifie qu’entre deux sommets il n’existe qu’un seul chemin sans retour en arrière).

Remarques

1. Une construction équivalente est de remplacer les réseaux par les normes ultramétriques sur \( V \) (dont ils sont les boules unités).
2. Cette construction se généralise en dimensions supérieures pour donner les immeubles de Bruhat–Tits des groupes projectifs.

Opérateurs de Hecke sur les surfaces arithmétiques

Groupes \( S \)-arithmétiques et espaces associés

Pour cette section on fixe \( A \) une algèbre de quaternions sur \( \QQ \) et \( \mathcal O \) un ordre maximal de \( A \). On suppose que \( A \) n’est pas ramifiée à la place infinie (i.e. \( A \otimes_\QQ \RR \cong \mathrm M_2(\RR) \)). on identifiera donc \( G_\infty = \P A^\times \) avec \( \PGL_2(\RR) \), un sous groupe maximal \( K_\infty \) à \( \PO(2) \) et le quotient \( X_\infty = G_\infty / K_\infty \) au plan hyperbolique \( \HH^2 \).

On note \( S = \ram_f(A) \) qui est donc un ensemble fini de nombres premiers. Soit \( p \not \in S \) un nombre premier ; soient \( G_p = \P(A\otimes \QQ_p)^\times \), (A\( K_p = \P\mathcal (O \otimes \ZZ_p)^\times \). Il existe un isomorphisme \( \phi : G_p \to \PGL_2(\QQ_p) \) tel que \( \phi(K_p) = \PGL_2(\ZZ_p \) ; on note \( X_p = G/K \) muni de la structure d’arbre de \( PGL_2(\QQ_p) / \PGL_2(\ZZ_p) \).

Soient \( K_p’ \) un sous-groupe d’indice fini dans \( K_p \) et \( \Gamma = A^\times \cap K_p’ \). Alors \( \Gamma \) est un sous-groupe d’indice fini dans le réseau arithmétique \( \P \mathcal O^\times \subset \PGL_2(\RR) \). Par exemple, si \( A = M_2(\QQ) \) et \( K_p’ = \ker \left( \PGL_2(\ZZ_p) \to \PGL_2(\ZZ/(p^n)) \right) \) on a :
\[
\Gamma = \left\{ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \in \PGL_2(\ZZ) : a, d = 1 \pmod p, \, b, c = 0 \pmod p \right\}.
\]
On appelle de tels \( \Gamma \) des sous-groupes de congruence de \( \P\mathcal O^\times \).

Les groupes qui nous intéresserons ici sont les sous-groupes \( S \)-arithmétiques des groupes \( G_\infty \times G_{p_1} \times \cdots \times G_{p_m} \). Ce sont les groupes de la forme
\[
\P(A\otimes \ZZ[p_1^{-1}, \ldots, p_m^{-1}])^\times \cap K’
\]
où \( p_1, \ldots, p_m \) sont des nombres premiers en-dehors de \( \ram_f(A) \) et \( K’ \) est un sous-groupe d’indice fini dans \( K_{p_1} \times \cdots \times K_{p_m} \). Un théorème de Borel–Harish-Chandra affirme que ces groupes sont toujours des réseaux, cocompacts si \( A \not= M_2(\QQ) \).

Théorème (approximation faible) : Le groupe \( \P(A\otimes \ZZ[p_1^{-1}, \ldots, p_m^{-1}])^\times \) est dense dans \( G_{p_1} \times \cdots \times G_{p_m} \).

Soit \( X = X_\infty \times X_{p_1} \times \cdots \times X_{p_m} \), \( \Gamma_{\infty, p_1, \ldots, p_m} \) un sous-groupe \( S \)-arithmétique et \( \Gamma \) le groupe arithmétique \( \Gamma_{\infty, p_1, \ldots, p_m} \cap \P\mathcal A^\times \). On a alors d’après le théorème précédent
\[
\Gamma_{\infty, p_1, \ldots, p_m} \bs X = \Gamma \bs X_\infty.
\]
En effet, l’approximation faible implique que \( \Gamma_{\infty, p_1, \ldots, p_m} / \Gamma = X_{p_1, \ldots, p_m} \) et il suit que l’on peut définir une application \( (x_\infty, x_{p_1, \ldots, p_m}) \mapsto (\gamma^{-1} x_\infty) \) où \( x_{p_1, \ldots, p_m} = \gamma (K_{p_1} \times K_{p_m}) \) dont on vérifie immédiatement que c’est une bijection et qu’elle coïncide avec la projection \( \Gamma_{\infty, p_1, \ldots, p_m} \bs X \to \Gamma \bs X_\infty \).

Construction des opérateurs de Hecke

On conserve les notations de la section précédente. Pour \( p \not \in S \) on définit un opérateur \( \delta_p \) sur les fonctions sur \( X_p \) par :
\[
\delta_p f(x) = \sum_{y:\: d(x,y) = 1} f(y).
\]
Cet opérateur commute évidemment à l’action de \( G_p \) sur \( X_p \). Il définit donc un opérateur \( T_p \) sur la surface arithmétique \( S = \Gamma \bs X_\infty = \Gamma_{p, \infty} \bs X_\infty \times X_p \). cet opérateur est borné et autoadjoint pour le produit scalaire \( L^2 \) sur \( C^\infty(S) \). De plus, si \( q \) est un nombre premier en-dehors de \( S \cup \{p \} \) alors on a \( T_p \circ T_q = T_q \circ T_p \).

L’hypothèse que \( \mathrm{sec}(M) < 0 \) implique que le flot géodésique de \( M \) est ergodique : on peut donc voir la conjecture comme une précision au théorème de Shnirelman dans ce cadre plus restreint. Contrairement à ce dernier cette conjecture concerne toutes les fonctions propres sur la variété : en particulier elle n’est pas vraie pour les tores plats.

L’énoncé ci-dessus est très spéculatif et complètement ouvert en général : un des résultats positifs dans sa direction est le suivant.

Théorème (Lindenstrauss) : Si \( S \) est une surface hyperbolique arithmétique et si les \( \phi_j \) sont des fonctions propres de tous les opérateurs de Hecke de \( S \) alors la conclusion ci-dessus est vraie.

Remarques

• La notion d' »arithméticité » requise par le théorème est un peu plus forte que l’habituelle (il faut que la surface \( S \) soit « de congruence »).
• Les opérateurs de Hecke sont des opérateurs bornés autoadjoints qui commutent au Laplacien et entre eux : en particulier il existe des familles de fonctions propres satisfaisant aux hypothèses du théorème.
• Le théorème de Lindenstrauss implique l’unique ergodicité quantique en général (sur des surfaces arithmétiques) si on sait démontrer que les multiplicités des valeurs propres du Laplacien sur une surface arithmétique sont bornées (ce qui est complètement hors de portée pour le moment).
• Conditionnellement à l’hypothèse de Riemann généralisée le résultat était connu avant les travaux de Lindenstrauss via des méthodes de théorie analytique des nombres (Thomas Watson).

Flot géodésique des surfaces hyperboliques

Dans la suite on note \( \mathbb H^2 \) le plan hyperbolique : on utilisera le modèle \( \mathbb H^2 = G/K \) où \( G = \mathrm{PSL}_2(\mathbb R) \) et \( K = \mathrm{PSO}(2) \). On a alors les modèles suivants :

• Le fibré unitaire \( T^1 \mathbb H^2 \) est identifié à \( G = \mathrm{PSL}_2(\mathbb R) \) ;
• la mesure de Liouville est la mesure de Haar de \( G \) (qui est bi-invariante) ;
• le flot géodésique correspond à la multiplication à droite par les matrices
  \[
  a(t) = \left( \begin{array}{cc} e^{t/2} & 0 \\ 0 & e^{-t/2} \end{array} \right),
  \]
  autrement dit si \( \Phi^t \) est le flot géodésique et \( x \in T^1\mathbb H^2 = G \) on a \( \Phi^t x = xa(t) \).

Soit \( S \) une surface hyperbolique (i.e. à courbure sectionnelle constante \( -1 \)) compacte ; il existe un sous-groupe discret, sans torsion et cocompact \( \Gamma \le \mathrm{PSL}_2(\mathbb R) \) tel que \( S \) soit isométrique au quotient \( \Gamma \backslash \mathbb H^2 \). Le fibré unitaire de \( S \) s’identifie alors à \( \Gamma \backslash G \) et le flot géodésique à la multiplication à droite par \( a(t) \).

On notera \( A \) le sous-groupe à un paramètre composé des éléments \( a(t),\, t \in \mathbb R \). Une mesure \( \nu \) sur le fibré unitaire \( T^1S \) est alors invariante par le flot géodésique si et seulement si elle est, via l’identification du fibré unitaire à \( \Gamma \backslash \mathrm{PSL}_2(\mathbb R) \), invariante à droite par le sous-groupe \( A \) (on dira dans la suite qu’elle est \( A\)-invariante, sans plus de précision).

Classification des mesures invariantes

On choisit des relevés microlocaux \( \nu_j \) des mesures \( | \phi_j |^2 ~d\mathrm{vol} \) : de tels relevés existent et peuvent être construits assez explicitement. On considère alors une limite faible \( \nu \in \mathrm{Prob}( \Gamma \backslash G) \) d’une sous-suite des \( \nu_j \) (on rappelle que \( G = \mathrm{PSL}_2(\mathbb R) \) est identifié au fibré tangent unitaire \( T^1 \mathbb H^2 \)). La mesure \( \nu \) est une mesure invariante sous l’action par multiplication à droite du groupe diagonal \( A \le G \).

Il existe de nombreuses telles mesures en-dehors de la mesure de Liouville (par exemple celles supportées sur une géodésique fermée, ou sur une lamination géodésique). Il faut donc établir des propriétés supplémentaires de \( \nu \) pour espérer conclure qu’elle est égale à la mesure de Liouville.

Entropie positive

On note
\[
u^+(x) = \left( \begin{array}{cc} 1 & x \\ 0 & 1 \end{array} \right), \, u^-(x) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ x & 1 \end{array} \right)
\]
et
\[
B(\varepsilon, \tau) = \{ a(t) u^+(x) u^-(y) :\: | t | \le \tau, \, |x|, |y| \le \varepsilon \}
\]
qui est un voisinage de l’identité dans \( G \). Une mesure \( \nu \) sur \( \Gamma \backslash G \) est dite d’entropie fortement positive s’il existe \( c > 0 \) et pour tout \( \tau > 0 \) un \( C(\tau) > 0 \) tels que l’on ait :
\[
\nu(xB(\varepsilon, \tau)) \le C(\tau) \varepsilon^c
\]
pour touts \( x \in T^1S \) et \( \varepsilon > 0 \).

La condition qu’une mesure soit d’entropie fortement positive interdit en particulier qu’elle ait des composantes ergodiques suppportées sur des géodésiques fermées. Un résultat plus faible (« entropie positive ») a été démontré pour toutes les mesures limites sur les variétés dont le flot géodésique est Anosov (par exemple celles de courbures sectionnelles \( < 0 \)) par Nalini Anantharaman.

Limites arithmétiques

Sous l’hypothèse que \( \Gamma \) est un réseau arithmétique de congruence il existe des opérateurs \( T_p \) pour \( p \) un nombre premier (en-dehors d’un ensemble fini ne dépendant que de \( S \)) que l’on appelle opérateurs de Hecke et qui ont les propriétés listées plus haut.

En conséquence il existe une base hilbertienne \( \phi_j \) de \( L^2(M) \) composée de fonctions propres simultanément pour le Laplacien et les opérateurs de Hecke \( T_p \). On notera \( \nu_j \) les relevés microlocaux des \( \phi_j \).

Les opérateurs \( T_p \) se relèvent en des opérateurs sur \( L^2(T^1 S)\). Une mesure \( \nu \) est alors dite \( T_p \)-récurrente si pour tout borélien \( \Omega \subset T^1M \) de mesure positive il existe un entier\( n > 0 \) tel que
\[
\int_{T^1 S} 1_\Omega T_p^n1_\Omega d\nu > 0.
\]
Les deux résultats suivants impliquent le théorème d’unique ergodicité quantique énoncé plus haut.

Proposition (Bourgain–Lindenstrauss) : Si on prend pour les \( \phi_j \) les éléments de cette base alors toute mesure limite \( \nu \) vérifie les propriétés suivantes :

• elle est d’entropie fortement positive ;
• elle est \( T_p \)-récurrente pour tout \( p \).

Théorème (Lindenstrauss) : Toute mesure de probabilité sur \( \Gamma \backslash G \) qui est à la fois d’entropie fortement positive, \( A \)-invariante et \( T_p \)-récurrente pour au moins un \( p \) est égale à la mesure de Liouville.

Dans le dernier exposé on avait vu les deux résultats suivants :

• Théorème de Shnirelman : si \( M \) est une variété riemannienne compacte dont ke flot géodésique est ergodique alors pour toute base propre orthonormée pour le Laplacien, une sous-suite de densité 1 des fonctions propres converge faiblement vers la mesure de volume de \( M \) ;
• A l’opposé, sur les sphères il existe des suites de fonctions propres dont les distributions se concentrent sur une géodésique fermée.

Ces résultats se placent dans une problématique plus générale : sur quels sous-ensembles vivent les fonctions propres quand les valeurs propres tendent vers l’infini?

Dans cet exposé on va présenter des outils pour l’étude de cette question.

En quoi le laplacien \( \Delta \) est-il une quantification du hamiltonien \( H \)? Une première intuition est donnée par le calcul symbolique suivant :
\[
H \left( x, \frac h i \partial_x \right) = -h^2 \sum_{i,j} g^{ij}(x) \partial_i \partial_j = -h^2 \Delta + O(h)
\]

Proposition/Définition : Il existe une famille d’applications
\[
\op_h : C_0^\infty(T^*M) \to \mathcal B(L^2(M))
\]
indexées par \( h \in ]0, 1] \), vérifiat les propriétés suivantes :

• La norme d’opérateur \( \| \op_h(a) \|_{L^2(M)} \) est bornée indépendamment de \( h \) ;
• On a \[ \op_h(ab) = \op_h(a)\op_h(b) + O(h) \] (où le \( O \) est entendu au sens de la norme d’opérateur) ;
• On a \[ \op_h(a)^* = \op_h(\overline a) + O(h) ; \]
• On a \[ e^{-ish \Delta} \op_h(a) e^{ish\Delta} = \op_h(a \circ \Phi_H^s) + O(h) ; \]
• (Calcul fonctionnel approché) Si \( f \in C_0^\infty(\RR) \) on a \[ f(-h^2\Delta) = \op_h(f \circ H) + O(h). \]

Une telle famille est appelée une quantification (du système classique \( T^*M, \Phi_H^t ) \).

Si \( M = \mathbb R^n \) on peut construire explicitement une telle quantification, et on obtient en fait des formules exactes (sans \( O(h) \)) dans tous les points ci-dessus. Il suffit de poser :
\[
\op_h(a) \cdot u(x) = \int_{\RR^n} e^{i x \cdot \xi} a(x, h\xi) \hat u(\xi)~d\xi.
\]
Si \( M \) est une variété recouverte par des ouverts de cartes dont chacun est homéomorphe à \( \mathbb R^n \) on peut alors recoller les quantifications en utilisant une partition de l’unité : les changements de cartes introduisent les termes d’erreur en \( O(h) \). Cette quantification dépend du choix des cartes : en général il n’y a pas de quantification canonique sur une variété riemannienne.

Remarque : On peut voir la quantification comme une déformation non-commutative de l’algèbre \( C_0^\infty(M) \otimes_{\mathbb C} \mathbb C[[h]] \).

Utilité de la quantification

On a vu la semaine dernière que l’existence des applications \( \op_h \) permet de s’attaquer au problème de la répartition sur \( M \) des fonctions propres, en prenant \( h = \lambda_j^{-1/2} \) quand \( j \to +\infty \). La quantification premet aussi de relever le problème à l’espace des phases \( T^*M \), par le procédé suivant : on pose
\[
\nu_h(a) = \langle \phi_h, \op_h(a) \cdot \phi_h \rangle ;
\]
si la quantification est positive (c’est-à-dire que si \( a \ge 0 \) alors on a \( \nu_h(a) \ge 0 \) pour tout \( h \in ]0, 1] \)) alors \( \nu_h \) est une mesure de Radon de masse totale 1 sur \( T^*M \) (en général les quantifications peuvent ne pas être positives). Dans ce cas cette mesure est appelée relèvement microlocal de la mesure \( |\phi_h^2 | d\vol_g \).

Même si la quantification n’est pas positive on peut s’intéresser aux limites de la suite \( \nu_h \) dans l’espace des distributions sur \( T^* M \). Ces dernières vérifient toujours les propriétés suivantes :

1. Ce sont toujours des mesures de Radon de masse 1 ;
2. Elles sont toujours supportées sur le fibré unitaire tangent \( S^* M \).

Le deuxième point est une conséquence à peu près immédiate des propriétés de la quantification : supposons que \( a \in C_0^\infty(T^* M) \) soit nulle sur \( S^* M = H^{-1}(\{1\}) \). On peut alors écrire \( a = (f \circ H) \cdot a \) où \( f : \RR \to \RR \) est une fonction nulle au voisinage de \( 1 \). Il suit que :
\[
\begin{array}{cc}
\op_h(a) &= \op_h(f \circ H)\op_h(a) + O(h) \\
&= f(-h^2\Delta) \op_h(a) + O(h)
\end{array}
\]
et vu que les opérateurs \( \op_h(a) \) sont uniformément bornés en norme on voit que le côté droit tend vers \( 0 \) quand \( h \to 0 \).

Théorème de Shnirelman : Soit \( (M, g) \) une variété riemannienne compacte et \( (e_j)_{j\ge 0} \) une base propre orthonormée pour le Laplacien \( \Delta_g \) :
\[
-\Delta_g e_j = \lambda_j e_j, \quad 0 = \lambda_0 < \lambda_1 \le \ldots \le \lambda_j \le \ldots .
\]
Si le flot géodésique de \( M \) est ergodique alors il existe une suite d'indices \( j_k \) de densité 1 (i.e. \( |\{ k :\: j_k \le N \}| /N \to 1 \) quand \( N \to +\infty \)) telle que la suite de mesures \( |e_{j_k}|^2 d\vol_g \) converge faiblement vers le volume normalisé \( d\vol_g/\vol_g(M) \) ; c'est-à-dire que pour toute fonction \( \psi \in C(M) \) on a :
\[
\int_M f(x)|e_{j_k}(x)|^2 d\vol_g(x) \underset{k \to +\infty}{\to} \frac{\int_M fd\vol_g}{\vol(M)}.
\]

Ce théorème a été annoncé (sans preuve) par Shnirelman en 1974 ; la première démonstration en a été donnée par Steve Zelditch (publiée en 1987) suivie par une autre dûe à Yves Colin de Verdière (publiée en 1985).

Sur la sphère \( \mathbb S^n \) (dont le flot géodésique n’est pas du tout ergodique) il existe des suites de fonctions propres (qui ne sont pas de densité 1) qui ne satifont pas à la conclusion du théorème. Par exemples les fonctions :
\[
Q_k(x) = C_k \mathrm{Re}(x_1 + x_2)^k
\]
où \( c_k \sim k^{(n-1)/4} \), qui sont des fonctions propres normalisées de valeur propre \( k(k + n – 1) \), se concentrent sur la géodésique fermée \( \{x_1 = x_2 = 0 \} \cap \mathbb S^n \) : en effet, en-dehors du plan \( \{ x_1 = x_2 = 0 \} \) elles décroiossent exponetiellement, uniformément sur les compacts.

Flot géodésique et ergodicité

Un exemple simple de flot hamiltonien

Soit \( H \) le fonction définie sur \( \RR^{2n} \) par
\[
H(x, \xi) = \frac{|\xi|^2} 1 + \frac{|x|^2} 2.
\]
Les équations différentielles :
\[
\overset{\circ}{x} = \frac{\partial H}{\partial \xi}(x, \xi), \: \overset{\circ}{\xi} = \frac{\partial H}{\partial x}(x, \xi)
\]
définissent un flot \( \Phi_H^t, t \in \RR \) sur \( \RR^{2N} \) vérifiant \( H \circ \Phi_H^t = H \) (on peut voir que l’on a explicitement :
\[
\Phi_H^t(y, \eta) = (\cos(t) y + \sin(t) \eta, -\sin(t) y + \cos(t) \eta)
\]
pour \( (y, \eta) \in \RR^{2n} \)) qui est ke flot hamiltonien associé à \( H \).

Le flot géodésique comme flot hamiltonien

On définit la fonction \( H \) sur le fibré cotangent \( T^* M \) par \( H(x, \xi) = |\xi|^2 \) où \( |\cdot| \) est la norme induite sur \( T^* M \) par \( g \), donnée en coordonnées par :
\[
\left| \sum_{j=1}^n \xi_j dx_j \right|^2 = \sum_{i,j = 1}^n g^{ij}(x)\xi_i \xi_j
\]
où \( (g^{ij}) \) est la matrice inverse de la matrice de \( g \) dans les coordonnées \( x_j \).

On peut associer à \( H \) un champ de vecteurs \( X_H \) sur \( T^* M \) défini par :
\[
X_H = \sum_j \left( \frac{\partial H}{\partial \xi_j} \partial x_j + \frac{\partial H}{\partial x_j} \partial \xi_j \right)
\]
et le flot \( \Phi_H^t \) de ce champ conserve \( H \).

Proposition : Si \( M \) est compacte (sans bord) alors le flot \( \Phi_H \) est défini à tout temps \( t \).

Les géodésiques (paramétrées à vitesse constante) de \( M \) sont les images par la projection \( T^* M \to M \) des trajectoires du flot \( \Phi_H \).

Mesure de Liouville

Le fibré cotangent \( T^* M \) est naturellement muni d’une mesure \( |dx~ d\xi | \) dont l’expression en coordonnées est simplement \( dx_1 \ldots dx_n d\xi_1 \ldots d\xi_n\).

Définition : Soit \( S^* M = H^{-1}( \{ 1 \} ) \) le fibré unitaire cotangent de \( M \) ; la mesure de Liouville \( dL_g \) sur \( S^* M \) est la mesure induite par \( |dx~d\xi| \) sur ce dernier.

Cette définition signifie que \( dL_g \) est l’unique mesure telle que l’on ait \( |dx~d\xi| = |\cdot|^{n-1}d|\cdot|~ dL_g \), autrement dit que pour toute fonction \( f \in C_0(T^* M) \) on a :
\[
\iint_{T^*M} f~|dx~d\xi| = \int_0^{+\infty} \int_{S^* M} f(\rho\omega)~dL_g(\omega)\rho^{n – 1}~d\rho.
\]

Ergodicité

Définition : On dit que le flot géodésique est ergodique sur \( M \) si les seuls sous-ensembles boréliens de \( S^* M \) invariants par \( \Phi_H^t \) sont de mesure nulle ou pleine.

On remarque que la définition de l’ergodicité ne dépend que de la classe de la mesure de Liouville. On utilisera l’ergodicité principalement à travers le résultat suivant.

Théorème ergodique de Birkhoff : Si le flot \( \Phi^t \) est ergodique pour la mesure \( dL_g \), alors pour toute fonction \( f \in C(S^* M) \) on a :
\[
\frac 1 T \int_0^T f(\Phi^t (\omega))~dt \underset{T \to +\infty}{\to} \frac{\int_{S^* M} f~dL_g}{\vol(S^* M)}
\]
pour presque tout \( \omega \in S^* M \).

Lien entre fonctions propres et flot géodésique

Le théorème se reformule de la manière suivante : pour toute fonction \( \psi \in C(M) \) d’intégrale nulle sur \( M \) on veut démontrer qu’il existe une suite \( j_k \) de densité 1 telle que l’on ait
\[
\int_M \psi e_{j_k} \cdot \overline{e_{j_k}} d\vol_g \underset{k \to +\infty}{\to} 0.
\]
Le côté gauche est égal au produit scalaire \( \langle e_j, \psi e_j \rangle_{L^2} \), et pour démontrer le théorème de Shnirelman on prouve la limite :
\[
\frac 1 N \sum_{j=1}^N \left| \langle e_j, \psi e_j \rangle_{L^2} \right| \underset{N \to +\infty}{\to} 0.
\]

Soit \( U(t) \) l’opérateur unitaire \( e^{-it\Delta_g} \) ; vu que \( e_j \) est une fonction propre du laplacien on a :
\[
\langle e_j, \psi e_j \rangle = \langle e^{it\lambda_j} e_j, \psi e^{it\lambda_j} e_j \rangle = \langle U(t)e_j, \psi U(t) e_j \rangle
\]
et donc finalement \( \langle e_j, \psi e_j \rangle = \langle e_j, U(-t) \psi U(t) e_j \rangle \). On écrit \( \Lambda_N = h^{-2} \) et on choisit une fonction lisse \( \varphi \) approximant \( 1_{[0,1]} \), de sorte que pour tout \( j \le N \) on ait \( \varphi(-h^2\Delta_g)e_j = e_j \). Il suit que l’on a
\[
\langle e_j, \psi e_j \rangle = \langle e_j, (U(-t)\psi\varphi(-h^2 _Delta_g) U(t)) e_j \rangle.
\]
A ce moment on utilise le fait qu’il existe une application (quantification pseudo-différentielle) :
\[
\op_h : C_0^\infty(T^* M) \to \mathcal B\left( L^2(M) \right)
\]
vérifiant les égalités approchées :
\[
U(t) \op_h(a) U(-t)) = \op_h(a \circ \Phi_H^t) + O(h)
\]
et :
\[
\psi \cdot \varphi(-h^2\Delta_g) = \op_h(\psi \cdot \varphi \circ H) + O(h).
\]
(à partir d’ici ne pas faire confiance aux notes) On a \( (\psi \cdot \varphi \circ H) \circ \Phi_H^t \to 0 \) presque partout et en analysant l’interversion de limites \( T \to +\infty \) et \( N \to +\infty \) on peut parvenir à utiliser ceci pour démontrer le résultat souhaité.

Soit \( K = \QQ(\sqrt{10}) \) et \( A \) l’algèbre de quaternions sur \( K \) ramifiée en la place infinie liée au plongement \( \sqrt{10} \mapsto -\sqrt{10} \) et en la place finie correspondant à l’idéal \( (7) \). Le but de cet exposé est de démontrer les faits suivants, énoncés dans les exposé précédents :

• Il existe dans \( A \) deux ordres maximaux \( \mathcal O_1 \) et \( \mathcal O_2 \) qui ne sont pas conjugués par un élément de \( A ^\times \) ;
• Les surfaces hyperboliques \( \Gamma(\mathcal O_1) \bs \HH^2 \) et \( \Gamma(\mathcal O_2) \bs \HH^2 \) sont isospectrales.

1) Spectre du laplacien, spectre des longueurs et extensions quadratiques

La formule des traces de Selberg

Un cas particulier de la formule des traces de Selberg est l’énoncé suivant.

Théorème : Pour tout \( t > 0 \) il existe \( I_t >0 \) et une fonction \( h_t : (0, +\infty ) \to \RR \) telle que pour toute surface hyperbolique compacte \( S \), si \( \mathcal P \) désigne l’ensemble des géodésiques primitives sur \( S \) et \( \lambda_0=0 < \lambda_1 \le \ldots \le \lambda_n \le \ldots \) sont les valeurs propres du Laplacien de \( S \), en désignant par \( \ell(\gamma) \) la longueur de la courbe \( \gamma \) on a l'égalité :
\[
\sum_{n \ge 0} e^{-t\lambda_n} = \vol(S) I_t + \sum_{\gamma \in \mathcal P} \ell(\gamma) \sum_{k \ge 1} h_t \left( |k|\ell(\gamma) \right).
\]
De plus les deux côtés de l'égalité sont finis.

Comme le sous-espace engendré par les fonctions \( \lambda \mapsto e^{-t\lambda},\, t\in (0,+\infty) \) est dense (pour la topologie de la convergence uniforme sur les compacts) dans \( C^\infty(\RR) \) il suit que la connaissance du spectre des longueurs \( \ell(\gamma),\, \gamma \in \mathcal P \) suffit pour déterminer le spectre de \( S \).

Par le théorème d’uniformisation on peut écrire \( S = \Gamma \bs \HH^2 \) où \( \Gamma \) est un sous-groupe discret, sans torsion du groupe \( \PSL_2(\RR) \) des isométries directes de \( \HH^2 \) (identifié au demi-plan supérieur). Le spectre des longueurs est alors lui-même déterminé par les classes de conjugaison de \( \Gamma \) de la manière suivante : un élément \( \gamma \in\Gamma \setminus \{ \mathrm{Id} \} \) peut d’écrire
\[
\gamma = g \left( \begin{array}{cc} e^{\ell/2} & 0 \\ 0 & e^{-\ell/2} \end{array} \right) g^{-1}
\]
pour un \( g\in \PSL_2(\RR) \). La projection de la géodésique \( g\cdot (0, + \infty) \subset \HH^2 \) dans \( S \) est alors une géodésique fermée, de longueur \( \ell \) si \( \gamma \) est primitif. On voit que \( \ell \) est déterminé par \( \tr(\gamma) = 2\cosh(\ell) \). Toute géodésique fermée sur \( S \) est obtenue de cette manière ; de plus deux éléments primitifs \( \gamma, \gamma’ \in\Gamma \) déterminent la même géodésique si et seulement si \( \gamma’ \) est conjugué dans \( \Gamma \) à \( \gamma \) ou \( \gamma^{-1} \).

Plongement d’ordres quadratiques et surfaces arithmétiques

Dans la suite \( K \) est un corps de nombres totalement réel et \( R_K \) son anneau des entiers.

Définition : Soit \( B \) une \( K \)-algèbre. Un \( R_k\)-ordre (on dira souvent juste « ordre » dans la suite) de \( B \) est un sous-\( R_K \)-module de \( B \) finiment engendré, engendrant \( B \) sur \( K \), et qui est un sous-anneau de \( B \).

Un ordre quadratique est un ordre dans une extension quadratique de \( K \).

Soit \( A \) une algèbre de quaternions sur \( K \) ramifiée à toutes les places infinies de \( K \) sauf une ; on suppose de plus que \( A^\times \) ne contient pas d’élément d’ordre fini autre que \( -1 \). Soit \( \mathcal O \) un ordre de \( A \) et \( \Gamma(\mathcal O) \subset \PSL_2(\RR) \) le groupe fuchsien associé.

Soit \( \gamma \in \Gamma(\mathcal O) \setminus \{ \mathrm{Id} \} \) un élément primitif et \( a \in \mathcal O^1 \) une préimage. La sous-algèbre \( L = K(a) \) engendrée par \( a \) est une extension quadratique de \( K \), et \( \Omega = L \cap \mathcal O \) est un ordre de \( L \). On va montrer que \( \Omega \) détermine uniquement la longueur de la géodésique fermée associée à \( \gamma \). D’après le paragraphe précédent il suffit de montrer que \( \Omega \) détermine \( \tr(a) \) au signe près (où \( \tr \) désigne la trace dans l’algèbre de quaternions \( A \)).

Comme \( a \in \mathcal O^1 \) on a :
\[
a \in \Omega^1 := \{ b \in \Omega :\: b\bar b = 1 \}
\]
(où \( \bar\cdot \) désigne l’automorphisme de Galois non-trivial de l’extension quadratique \( L/K \)). Le groupe abélien \( \Omega^1 \) est d’indice fini dans \( R_L^1 \) ; comme \( L \hookrightarrow A \) et \( A \) ramifie à toutes les places réelles de \( K \) sauf une, le rang du groupe abélien \( R_L^1 \), qui est égal à la différence des rangs de \( R_L^\times \) et \( R_K^\times \), est égal à un par le théorème des unités de Dirichlet. Comme \( L \hookrightarrow A \) on a aussi que le seul élément de torsion de \( \Omega^1 \) est \( -1 \), et il suit que \( a \) est un générateur de \( \Omega^1 \), et donc que \( \tr(a) = a + \bar a \) est bien déterminé (au signe près) par \( \Omega \).

Si \( \Omega \subset L \) est un ordre quadratique, \( \iota :\: \Omega \to A \) un plongement et \( \mathcal O \) un ordre de \( A \) on dit que \( \iota \) est optimal pour \( \mathcal O \) si \( \Omega = \left( K \cdot \iota(\Omega) \right) \cap \mathcal O \). D’après ce qui précède on a le résultat suivant :

Proposition : Le spectre des longueurs d’une surface arithmétique \( S = \Gamma(\mathcal O) \bs \HH^2 \) est déterminé par les classes de conjugaison (par \( \mathcal O^1 \)) des plongements optimaux pour \( \mathcal O \) d’ordres quadratiques dans \( A \).

On remarque que l’on peut facilement remplacer « plongements optimaux » dans le résultat ci-dessus par « plongements » : en effet, le nombre de plongements optimaux d’un ordre donné est déterminé par le nombre de plongements de tous les ordres qui le contiennent.

Le théorème à démontrer est donc une conséquence du résultat algébrique suivant.

Théorème A : Soient \( \Omega \) un ordre quadratique, \( A \) une algèbre de quaternions non-ramifiée en au moins une place infinie et ramifiée en au moins une place finie. Si \( \mathcal O_1,\, \mathcal O_2 \) sont des ordres maximaux dans \( A \) alors les nombres de classes de conjugaisons de plongements de \( \Omega \) dans \( \mathcal O_i \) sont les mêmes.

On va décrire une démonstration de ce théorème due à Ted Chinburg et Eduardo Friedman. Ce faisant on décrira les classes de conjugaison d’ordres maximaux et la preuve de l’autre résultat utilisé par Vignéras.

Remarques :

1. La condition sur \( A \) donnée dans le théorème n’est pas strictement nécéssaire mais la conclusion n’est pas vraie en générale (une version plus fine donne une condition nécéssaire et suffisante sur le couple \( A, L \) pour que \( \Omega \) se plonge dans tous les ordres maximaux).
2. On peut établir des formules « explicites » pour le nombre de plongements optimaux.

2) Principes locaux-globaux

Localisation

Dans la suite on notera \( K \) est un corps de nombres, \( A \) une algèbre de quaternions sur \( K \) et \( \mathcal O \subset A \) un ordre. Si \( v \) est une valuation de \( K \) on abréviera \( A_v = A\otimes_K K_v \), et si \( v \) est non-archimédienne (on notera parfois \( V_f \) l’ensemble des places finies de \( K \)) on note \( R_v = \{ x\in K_v :\: v(x) \le 1 \} \) (l’adhérence de \( R_K \) dans \( K_v \)) et \( \mathcal O_v = \mathcal O \otimes_{R_K} R_v \). Ce processus de localisation vérifie les propriétés suivantes :

• Si \( \mathcal O,\, \mathcal O’ \) sont deux ordres de \( A \) alors pour presque toute \( v \) on a \( \mathcal O_v = \mathcal O_v’ \).
• Un ordre \( \mathcal O \) est maximal si et seulement si \( \mathcal O_v \) est maximal pour toute place finie \( v \).

On peut donc décrire un ordre maximal de \( A \) en spécifiant pour chaque place finie un ordre maximal de \( A_v \). La description locale des ordres maximaux est de plus extrêmement simple.

Théorème : Soit \( v \) une place finie de \( K \).

Approximation forte

Une conséquence du paragraphe précédent est que si \( \mathcal O \) et \( \mathcal O’ \) sont deux ordres maximaux de \( A \) il existe une collection \( g_v \in A_v^\times \) pour \( v \in V_f\) telle que \( g_v = \mathrm{Id} \) pour presque toute \( v \) et \( \mathcal O_v’ = g_v \mathcal O_v g_v^{-1} \). En général \( \mathcal O \) et \( \mathcal O’ \) ne sont dependant pas conjugués dans \( A \), c’est-à-dire qu’il n’existe pas de choix des \( g_v \) et de \( \gamma \in A^\times \) tel que \( \gamma \in g_v\mathcal O_v^\times \) pour toute \( v \). C’est le cas si \( n(g_v) = 1 \) pour toute \( v \), d’après le théorème d’approximation forte pour le groupe algébrique \( A^1 \). L’énoncé précis est le suivant.

Théorème : Soient \( S \subset V_f \) un sous-ensemble fini et \( g_v \in A_v^1, \, v \in S \). Il existe un \( \gamma \in A^1 \) tel que :

Si \( A \) n’est pas ramifiée en \( \fp \) et si \( \mathcal O_\fp,\, \mathcal O_\fp’ \) sont deux ordres maximaux de \( A_\fp \) on a :
\[
\left| \mathcal O_\fp / \left( \mathcal O_\fp \cap \mathcal O_\fp’ \right) \right| = \left| \mathcal O_\fp / \left( \mathcal O_\fp \cap \mathcal O_\fp’ \right) \right| = |\fp|^n
\]
pour un entier \( n\ge 0 \). On définit la distance \( d(\mathcal O_\fp, \mathcal O_\fp’) = n \) entre les deux ordres. On peut démontrer facilement qu’il existe toujours un \( g_\fp \in A_\fp^1 \) tel que \( d(\mathcal O_\fp, g_\fp \mathcal O_\fp’ g_v^{-1}) \le 1 \). De plus, deux idéaux à distance 1 de \( \mathcal O_v \) sont conjugués par un élémént de \( \mathcal O_v^1 \).

Un exemple important pour le reste de l’exposé est le suivant : on suppose que \( \mathcal O_v = M_2(R_v) \), si \( \mathcal O’ \) est un autre ordre maximal de \( A \) il existe \( a \in A^1 \) tel que \( (a \mathcal O’ a^{-1} )_v = M_2(R_v) \) ou
\[
\begin{array}{ll}
(a \mathcal O’ a^{-1} )_v &= t_v M_2(R_v) t_v^{-1} \\
&= \left\{ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) :\: a, b, c, d \in R_v,\, v(b) \le q_v^{-1}, v(c) \le q_v \right\}
\end{array}
\]
Ici \( q_v = \min(v(x): v(x) > 1) \), \( t_v = \left( \begin{array}{cc} \pi_v & 0 \\ 0 & \pi_v^{-1} \end{array} \right) \), où \( \pi_v \in R_v \) est un élément tel que \( v(\pi_v) = q_v \).

Classes de conjugaison d’ordres maximaux

Si on fixe un ordre maximal \( \mathcal O \) et si \( S \) est un ensemble fini de places finies on a donc une application bien définie de \( \{0,1\}^S \) dans l’ensemble des classes de conjugaison d’ordres maximaux de \( A \). On peut trouver un tel ensemble \( S \) de sorte que cette application soit une bijection, come décrit par le théorème suivant, qui est essentiellement une conséquence du théorème d’approximation forte. Si \( R \) est un sous-ensemble des places réelles de \( K \) on note \( \mathcal P_R \) l’ensemble des idéaux fractionnaires de \( K \) qui soient principaux, engendré par un élément de \( K \) positif à toutes les places de \( R \).

Théorème : Soit \( S(A) \subset V_f \) un sous-ensemble d’idéaux premiers tel que :

Alors les classes de conjugaison d’idéaux maximaux de \( A \) sont en bijection avec \( \{0,1\}^{S(A)} \) via l’application ci-dessus.

Ces conditions imposent que \( S(A) \) est fini (à cause de la finitude du groupe de classes de \( K \)), en fait que :
\[
n_2(h_K) \le |S(A)| \le n_2(h_K) + |\ram_\infty(A)|
\]
où \( h_K \) est le nombre de classes de \( K \) et \( n_2 \) est la 2-valuation sur \( \ZZ \). Une conséquence du théorème est en particulier la suivante : si \( h_K \) est pair et \( A \) n’est ramifiée en aucun idéal d’ordre pair dans le groupe de classes alors il existe au moins deux classes de conjugaison d’ordres maximaux dans \( A \). Le groupe de classes de \( K = \QQ(\sqrt{10}) \) est d’ordre \( 2 \), et il suit immédiatement que l’algèbre de quaternions \( A/K \) ramifiée en l’idéal principal \( (7) \) contient deux ordres maximaux non-conjugués.

3) Classes de conjugaisons de plongements

La démonstration de Chinburg et Friedman du théorème A repose sur un raffinement du résultat de classification des ordres maximaux donné dans le paragraphe précédent. La preuve de ce dernier est hors de notre portée, on se contentera de le citer comme suit :

Lemme : Soit \( L/K \) une extension quadratique telle que \( L \hookrightarrow A \). On peut choisir l’ensemble \( S(A) \) dans le théorème ci-dessus tel que \( L \otimes K_\fp \cong K_\fp \times K_\fp \) pour tout \( \fp \in S(A) \).

Une fois ceci accepté la démonstration procède sans heurt. Pour \( \mathcal O \) un ordre de \( A \) et \( \Omega \) un ordre quadratique on note \( \mathcal E(\Omega, \mathcal O) \) l’ensembles des classes de conjugaison par \( \mathcal O^1 \) des plongements de \( \Omega \) dans \( \mathcal O \). Etant donnés \( \mathcal O, \mathcal O’ \) deux ordres maximaux dans \( A \) on va construire une bijection de \( \mathcal E(\Omega, \mathcal O) \) vers \( \mathcal E(\Omega, \mathcal O’) \).

Soit \( \iota \) un représentant d’une classe dans \( \mathcal E(\Omega, \mathcal O) \). Quitte à conjuguer \( \mathcal O’ \) par un élément de \( A^1 \) on peut supposer que \( \mathcal O_\fq = \mathcal O_\fq’ \) pour \( \fq \not\in S(A) \). Soit \( \fp \in S(A) \). D’après le lemme ci-dessus il existe un isomorphisme \( \phi_\fp :\: A_\fp \overset{\sim}{\rightarrow} M_2(K_\fp) \) tel que \( \phi_\fp(\mathcal O_\fp) = M_2(R_\fp) \) et
\[
\phi_\fp(\iota \Omega) \subset \left( \begin{array}{cc} R_\fp & 0 \\ 0 & R_\fp \end{array} \right).
\]
Il existe aussi un \( g_\fp \in \SL_2(K_\fp) \) tel que :
\[
g_\fp \phi_\fp(\mathcal O_\fp’) g_\fp^{-1} = \left\{ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) :\: a, d \in R_\fp,\, b \in \fp R_\fp,\, c \in \fp^{-1} R_\fp \right\}
\]
de sorte que \( \phi_\fp(\iota \Omega) \subset g_\fp \phi_\fp(\mathcal O_\fp’) g_\fp^{-1} \). Par le théorème d’approximation forte pour \( A^1 \) il existe un \( a \in A^1 \) tel que \( \phi_\fp(a) \in g_\fp \phi(\mathcal O_\fp^1) g_\fp^{-1} \) pour \( v \in S(A) \) et \( a \in \mathcal O_v^1 \) sinon. On associe alors à la classe de \( \iota \) dans \( \mathcal E(\Omega, \mathcal O) \) celle de \( \mathrm{int}(a) \circ \iota \) dans \( \mathcal E(\Omega, \mathcal O’) \) (où \( \mathrm{int}(a) \) est l’automorphisme de \( A \) induit par la conjugaison par \( a \)).

Il est facile de vérifier que cette application est bien définie ; il suit immédiatement que c’est une bijection puisqu’on peut renverser les rôles de \( \mathcal O \) et \( \mathcal O’ \).

Références

Le contenu de l’exposé provient en grande partie du livre :

• Colin MacLachlan et Alan Reid, The arithmetic of hyperbolic 3–manifolds, Springer GTM 2003.

Le théorème de plongement sous la forme ci-dessus est apparu dans l’article :

• Ted Chinburg, Eduardo Friedman, An embedding theorem for quaternion algebras, JLMS 60, 1999.

Le chapitre 8 du livre :

• Nicolas Bergeron, Le spectre des surfaces hyperboliques, EDP éditions/CNRS 2010.

contient une exposition détaillée du matériel ci-dessus (et un peu plus) dans le cas plus élémentaire des algèbres de quaternions sur \( \QQ \).

(Suite de l’exposé précédent).

Valuations \( \fp \)-adiques

Soit \( K \) un corps de nombres, et soit \( \fp \) un idéal premier dans l’anneau des entiers \( R_K \) (un idéal est dit premier s’il ne peut pas s’écrire comme le produit de deux idéaux plus grands ; par exemple, si \( K = \QQ(\sqrt{10}) \) on a \( R_K = \ZZ[\sqrt{10}] \) et l’idéal principal \( (7) = 7 R_K \) est premier). L’anneau \( R_K \) n’est pas forcément factoriel (il ne l’est pas pour \( K = \QQ(\sqrt{10}) \)), mais on a quand même une factorisation unique pour les idéaux.

Proposition : Si \( x \in R_K \) il existe une unique collection d’entiers positifs \( n_\fp(x) \) pour \( \fp \) un idéal premier de \( R_K \), tels que l’on ait : \( (x) = \prod_\fp \fp^{n_\fp(x)} \).

On fixe un idéal premier \( \fp \) de \( R_K \) et un nombre réel \( 0 < c < 1 \) (on normalise usuellement par \( c = |R_K/\fp|^{-1} \)). Pour \( x \in R_K \), si \( x \not= 0 \) on définit la valuation \( \fp \)-adique de \( x \) par :
\[
v_\fp(x) = c^{n_\fp(x)}
\]
et on pose \( v_\fp(0) = 0 \). On étend cette valuation à \( K \) en posant \( v_\fp(x/y) = v_\fp(x) – v_\fp(y) \) pour \( x, y \in K, \, y \not= 0 \).

Les valuations \( \fp \)-adiques construites ci-dessus représentent (à équivalence près) toutes les valuations non-archimédiennes du corps de nombres \( K \). Avec les valuations archimédiennes provenant des plongements \( K \hookrightarrow \CC \) on a donc toutes les valuations.

Complétions

Si \( v \) est une valuation sur un corps de nombres \( K \), on peut définir une distance sur ce dernier par \( d_v(x,y) = v(x – y) \). On note alors \( K_v \) la complétion de \( K \) pour \( d_v \), c’est un corps valué complet.

Exemples :

• Si \( v \) est la valuation provenant d’un plogement \( \sigma :\: K \hookrightarrow \CC \) on a \( K_v \cong \RR, \CC\) selon que \( \sigma(K) \subset \RR \) ou non ;
• Si \( K = \QQ \) et \( v \) est la valuation associée à un nombre premier \( p \) alors \( K_v = \QQ_p \), le corps des nombres \( p \)-adiques.

Si \( v \) est la valuation non-archimédienne associée à un idéal premier \( \fp \) on notera souvent \( K_\fp := K_v \).

Une place de \( K \) est une classe d’équivalence de valuations de \( K \). On dit qu’une place est finie si les valuations associées sont non-archimédiennes, et infinie si elles sont archimédiennes (les place infinies de \( K \) corrrespondent donc aux plongements \( K \hookrightarrow \CC \) à conjugaison complexe près).

Principe local-global pour les algèbres de quaternions

La classification des algèbres de quaternions sur les corps \( \fp \)-adiques est semblable à celle des algèbres réelles :

Théorème : Soit \( K \) un corps de nombres et \( \fp \) un idéal premier de \( R_K \). Il existe une unique (à isomorphisme près) une unique algèbre de quaternions à division sur \( K_\fp \).

En conséquence une algèbre de quaternions \( A \) sur \( K_\fp \) est isomorphe soit à cette dernière, soit à \( M_2(K_\fp) \).

Définition : Soit \( A \) une algèbre de quaternions sur un corps de nombres \( K \) et \( v \) une valuation (ou place). Si \( A_v := A \otimes K_v \) est une algèbre à division on dit que \( A \) est ramifiée en \( v \) ; sinon on dit que \( A \) est scindée en \( v \).

Théorème : Soit \( A \) une algèbre de quaternions sur \( K \). Le nombre de places de \( K \) auxquelles \( A \) est ramifiée est fini, et son cardinal est pair.

On note :

• \( \ram(A) \) l’ensemble des places de \( K \) où \( A \) ramifie ;
• \( \ram_\infty(A) \) l’ensemble des places infinies où \( A \) ramifie ;
• \( \ram_f(A) = \ram(A) \setminus \ram_\infty(A) \).

On voit que les algèbres de quaternions utilisées pour construire les groupe fuchsiens arithmétiques sont celles pour lesquelles \( \ram_\infty(A) \) contient toutes les places infinies de \( K \) sauf une.

Le principe local-global pour les algèbres de quaternions sur les corps de nombres est le théorème de classement suivant.

Théorème : Soient \( A, A’ \) deux algèbres de quaternions sur \( K \). Elles sont isomorphes si et seulement si \( \ram(A) = \ram(A’) \).

Si \( S \) est une ensemble fini de places de \( K \) de cardinal pair il existe une algèbre de quaternions \( A \) sur \( K \) telle que \( \ram(A) = S \).

Une conséquence du théorème est que \( \ram(A) = \emptyset \) implique que \( A \cong M_2(K) \). En particulier, si \( \mathcal O \) est un ordre dans \( A \) alors \( \Gamma(\mathcal O \) est un groupe fuchsien cocompact si et seulement si \( \ram(A) \not= \emptyset \).

La construction de Vignéras, fin

On peut enfin finir de décrire la construction de Vignéras de surfaces hyperboliques isospectrales. Soit \( K = \QQ(\sqrt{10}) \) ; soit \( A \) l’algèbre de quaternions qui soit ramifiée en la place infinie de \( K \) correspondant au plongement \( \sqrt{10} \mapsto -\sqrt{10} \) (de sorte que les ordres de \( A \) donnent des groupes fuchsiens), et en la place finie correspondant à l’idéal premier \( (7) \). On rappelle que :

1. Comme \( \ram(A) \not= \emptyset \), pour n’importe quel ordre \( \mathcal O \subset A \) l’orbifold \( \Gamma(\mathcal O) \bs \HH^2 \) est compact.
2. On peut montrer qu’il existe deux ordres maximaux \( \mathcal O_1, \mathcal O_2 \) dans \( A \) qui ne soient pas conjugués par un élément de \( A^\times \) (on peut en fait calculer le nombres de classes de conjugaisons d’idéaux maximaux). Les orbifolds \( \Gamma(\mathcal O_i) \bs \HH^2 \) ne sont donc pas isométriques l’une à l’autre, par la proposition vue la semaine dernière.
3. D’après le théorème énoncé la semaine dernière les orbifolds \( \Gamma(\mathcal O_i) \bs \HH^2 \) sont isospectrales l’une à l’autre.

Il reste à montrer que \( \Gamma(\mathcal O_i) \bs \HH^2 \) sont des surfaces, autrement dit que les groupes fuchsiens \( \Gamma(\mathcal O_i) \) ne contiennent pas d’élément de torsion. On a vu la semaine dernière que le choix de \( K = \QQ(\sqrt{10}) \) implique que \( A^\times \) ne contient pas d’élément d’ordre fini différent de \( 2,3,4 \) et \( 6 \) ; il reste à montrer que le choix de \( A \) ci-dessus interdit les éléments d’ordres \( 3,4 \) et \( 6 \).

On avait aussi montré que pour ce faire il est suffisant que l’on n’aie pas de plongement des corps quadratiques imaginaires \( \QQ(\sqrt{-1}), \, \QQ(\sqrt{-3}) \) dans \( A \). Cette condition se vérifie localement à l’aide du critère suivant :

Théorème : Soit \( L/K \) une extension quadratique. Pour une algèbre de quaternions \( A/K \) les conditions suivantes sont équivalentes :

Soit \( L = K(\sqrt{-1}) = \QQ(\sqrt{10},\sqrt{-1}) \). A la place infinie où \( A \) ramifie on a \( L\otimes K \cong \CC\). Il faut donc vérifier la condition 3. ci-dessus à la place finie, i.e. montrer que l’on a \( K_7 \otimes L \cong K_7 \times K_7 \).

Soit \( \fq \) l’idéal \( (7) = 7 R_L \). Il y a trois possibilités vis-à-vis de sa factorisation sur \( L \) en idéaux premiers :

1. \( \fq = \fp \bar\fp \) pour des idéaux premiers \( \fp, \bar \fp \) distincts ;
2. \( \fq = \fp^2 \) pour un idéal premier \( \fp \) ;
3. \( \fq \) lui-même est premier.

Dans les cas ii. et iii. on a respectivement \( L \otimes K_7 \cong L_\fp,\, L_\fq \). Il faut donc montrer que l’on est dans le cas i. : on a alors \( L_\fp \cong L_{\bar \fp} \cong K_7 \) et
\[
L \otimes K_7 \cong L_\fp \times L_{\bar \fp} \cong K_7 \times K_7.
\]
Sur \( L \) on a la factorisation :
\[
(7) = \left((\sqrt{10}/2 – 1)\sqrt{-1} + \sqrt{10}/2 + 1 \right) \cdot \left( (\sqrt{10}/2 + 1)\sqrt{-1} + \sqrt{10}/2 – 1) \right)
\]
et on peut vérifier les deux idéaux premiers à droite sont distincts. On ne peut donc pas avoir \( K(\sqrt{-1}) \hookrightarrow A \) et il suit que \( A^\times \) ne contient pas d’élément d’ordre \( 4 \).

De la même manière, si \( M = K(\sqrt{-3}) \) on a la factorisation sur \( M \) suivante :
\[
(7) = \left( -3\sqrt{-3}/2 – 1/2 \right) \cdot \left( 3\sqrt{-3}/2 – 1/2 \right)
\]
qui montre que l’on a \( M \otimes K_7 \cong K_7 \times K_7 \) et donc que \( M \) ne se plonge pas dans \( A \), soit encore que \( A ^\times \) ne contient pas d’élément d’ordre \( 3 \) ou \( 6 \).

Références (pour les trois exposés)

Une référence couvrant tout le contenu exposé (et beaucoup plus) est :

• Colin MacLachlan et Alan Reid, The arithmetic of hyperbolic 3–manifolds, Springer GTM 2003.

L’article originel de Vignéras a été repris et corrigé dans un livre écrit peu après, les références exactes sont :

• Marie-France Vignéras, Variétés riemanniennes isospectrales et non isométriques, Annals of Mathematics 112, 1980.
• Marie-France Vignéras, Arithmétique des algèbres de quaternions, Springer Lecture Notes 800, 1980.

Le genre des surfaces construites par Vignéras n’est pas raisonnable (supérieur à \( 10^5 \) ) ; une amélioration quantitative de sa construction est donnée dans :

• Ben Linowitz, John Voight, Small isospectral and nonisometric orbifolds of dimension 2 and 3, Mathematische Zeitschrift 281 (2015), http://arxiv.org/abs/1408.2001.

On va expliquer (d’après Marie-France Vignéras) comment la construction de surfaces hyperboliques de la semaine dernière permet d’obtenir des paires de surfaces isospectrales. On cherche donc :

• Un corps de nombres totalement réel \( K \) ;
• Une algèbre de quaternions \( A \) sur \( K \) (ramifiée à toutes les places réelles sauf une) ;
• Des ordres (qui seront maximaux) \( \mathcal O_1, \mathcal O_2 \) dans \( A \) ;

tels que :

1. \( \Gamma(\mathcal O_i) \bs \HH^2 \) soient des surfaces hyperboliques compactes ;
2. Elles soient isospectrales ;
3. Elles ne soient pas isométriques.

Le point 2. est une conséquence du théorème suivant (que l’on n’expliquera pas ici) :

Théorème : Soient \( \mathcal O_1,\mathcal O_2 \) deux ordres maximaux dans une même algèbre de quaternions, que l’on suppose ramifiée à au moins une place finie. Les orbifolds \( \Gamma(\mathcal O_i) \bs \HH^2 \) sont isospectraux.

Le point 3. est une conséquence du critère suivant si l’on choisit des ordres maximaux \( \mathcal O_1, \mathcal O_2 \) qui ne soient pas conjugués par un élément de \( A^\times \) (on admet pour le moment que ceci est possible).

Proposition : Les orbifolds \( \Gamma(\mathcal O_1) \bs \HH^2, \Gamma(\mathcal O_2) \bs \HH^2 \) sont isométriques si et seulement s’il existe \( a \in A^\times \) tel que \( \mathcal O_2 = a \mathcal O_1 a^{-1} \).

Démonstration : Dans la suite on considère que \( A \subset M_2(\RR) \) via l’isomorphisme \( A\otimes\RR \cong M_2(\RR) \). \( \Gamma(\mathcal O_1) \bs \HH^2, \Gamma(\mathcal O_2) \bs \HH^2 \) sont isométriques si et seulement si il existe un \( g \in \PGL_2(\RR) \) tel que \( g \Gamma(\mathcal O_1) g^{-1} = \Gamma(\mathcal O_2) \) ; si \( \tilde g \) est un relevé de \( g \) dans \( \mathrm{GL}_2(\RR) \) alors on a \( \tilde g \mathcal O_1 \tilde g^{-1} = \mathcal O_2 \). Il faut donc voir que \( g \) est dans l’image \( \mathrm P A^\times \) de \( A^\times \) dans \( \PGL_2(\RR) \).
Pour ce faire on peut utiliser le théorème de Skolem–Noether, qui affirme que tout automorphisme de \( A \) est intérieur (i.e. la conjugaison par un élément de \( A^\times \)). En effet, en l’appliquant à l’automorphisme induit par la conjugaison par \( \tilde g \) on obtient immédiatement que \( g \in \mathrm P A^\times \). ■

Il reste à traiter le point 1. La compacité des quotients ne dépend que de ce que \( A \) soit une algèbre à division ou non ; en particulier, si \( K \not= \QQ \) c’est toujours le cas.

Le fait que \( \Gamma(\mathcal O) \bs \HH^2 \) soit une surface (et non un orbifold) suit de ce que \( \Gamma(\mathcal O) \) ne contient pas d’élément de torsion. Ceci est équivalent à ce que \( \mathcal O \) ne contienne pas d’élément de norme \( 1 \) d’ordre fini autre que \( -1 \) ; autrement dit, pour tout \( n \ge 3 \) il n’y a pas de \( x \in A \) tel que \( x^n = 1 \) et \( n(x) = 1 \).

Commençons montrer que pour \( n\not= 3,4,6 \) on peut choisir \( K \) tel que pour toute algèbre de quaternions \( A \) sur \( K \) ceci soit vérifié (on remarque que l’algèbre \( M_2(K) \) contient toujours des éléments d’ordre 4 et 6).

En effet, soit \( x \) tel que \( x^n = 1 \) ; quitte a multiplier \( x \) par \( -1 \) on peut supposer que \( n \) est pair, \( n = 2m \). Les facteurs irréductibles sur \( \RR \) du polynôme \( (X^{2m} – 1) / (X^2 – 1) \) sont les \( X^2 – 2\cos(k\pi/m) X + 1 \) et \( X^2 – 2\cos(k\pi/2m) X – 1 \) avec \( k \) impair. Il suit que \( x^2 – 2\cos(k\pi/m) x + 1 = 0\) pour un \( k \) premier à \( m \), quitte à remplacer \( x \) par une puissance on peut supposer que \( x^2 – 2\cos(\pi/m) x + 1 = 0 \). Il suit que \( \tr(x) = 2\cos(\pi/m) \) et donc que \( \cos(\pi/m) \in K \). On a \( m >3 \) et donc \( \cos(\pi/m) \not\in \QQ \), il existe donc une infinité de corps \( K \) tels que \( \forall m \ge 4, \, \cos(\pi/m) \not\in K \). On peut vérifier en particulier que \( K = \QQ(\sqrt{10}) \) convient.

Il reste à traiter les cas où \( n = 3,4 \). On veut trouver une algèbre \( A \) sur \( K = \QQ(\sqrt{10}) \) telle que les corps \( \QQ(e^{2i\pi/3}) \cong \QQ(\sqrt{-3}), \, \QQ(e^{i\pi/2}) \cong \QQ(\sqrt{-1}) \) ne se plongent pas dans \( A \). Pour ce faire on va utiliser des techniques locales, on aura besoin de la théorie des complétions non-archimédiennes de \( K \).

Valuations des corps de nombres

Définitions : Soit \( K \) un corps. Une valuations sur \( K \) est une applications \( v :\: K \to \RR_+ \) vérifiant les propriétés suivantes :

1. Pour tout \( x \in K,\, x\not= 0 \) on a \( v(x) > 0 \) ;
2. Pour touts \( x, y \in K \) on a \( v(xy) = v(x)v(y) \) ;
3. Pour touts \( x, y \in K \) on a \( v(x + y) \le v(x) + v(y) \).

(On peut remplacer 1. par \( v(1) = 1 \).)

On dit que deux valuations \( v, v’ \) sur \( K \) sont équivalentes, noté \( v \sim v’ \), s’il existe un \( a > 0 \) tel que \( \forall x\in K : \: v'(x) = v(x)^a \).

On dit que \( v \) est non-archimédienne (ou ultramétrique) si elle vérifie la propriété suivante plus forte que 3. ci-dessus) :

• Pour touts \( x, y \in K \) on a \( v(x + y) \le \max(v(x), v(y)) \).

On dit que \( v \) est archimédienne sinon.

Si \( K \) est un corps de nombres alors à équivalence près toutes ses valuations archimédiennes sont obtenues via un plongement \( \sigma :\: K \hookrightarrow \CC \) (la valuation associée à \( \sigma \) est définie simplement par \( v(x) = |\sigma(x)|\) où \( |\cdot| \) est la valeur absolue usuelle sur \( \CC \)). Deux telles valuations sont équivalentes si et seulement si les plongements sont conjugués.

Les valuations non-archimédiennes d’un corps de nombres \( K \) se construisent à partir des idéaux premiers de \( R_K \). On donne ici l’exemple de \( K = \QQ \).

Si \( p \in \mathbb N \) est un nombre premier et \( x \in \ZZ \) on peut définir \( n_p(x) \) comme le plus grand entier \( n \) tel que \( p^n \) divise \( x \) (avec la convention que \( n_p(0) = \infty \). On étend \( n_p \) à \( \QQ \) en posant \( n_p(x/y) = n_p(x) – n_p(y) \), et on définit enfin la fonction \( v_p \) sur \( \QQ \) par :
\[
v_p(x) = p^{-n_p(x)}.
\]
Alors \( v_p \) est une valuation non-archimédienne de \( \QQ \), et \( v_p \sim v_{p’} \) si et seulement si \( p = p’ \). De plus toute valuation non-archimédienne sur \( \QQ \) est équivalente à l’une des \( v_p \).