Soit \( K = \QQ(\sqrt{10}) \) et \( A \) l’algèbre de quaternions sur \( K \) ramifiée en la place infinie liée au plongement \( \sqrt{10} \mapsto -\sqrt{10} \) et en la place finie correspondant à l’idéal \( (7) \). Le but de cet exposé est de démontrer les faits suivants, énoncés dans les exposé précédents :

• Il existe dans \( A \) deux ordres maximaux \( \mathcal O_1 \) et \( \mathcal O_2 \) qui ne sont pas conjugués par un élément de \( A ^\times \) ;
• Les surfaces hyperboliques \( \Gamma(\mathcal O_1) \bs \HH^2 \) et \( \Gamma(\mathcal O_2) \bs \HH^2 \) sont isospectrales.

1) Spectre du laplacien, spectre des longueurs et extensions quadratiques

La formule des traces de Selberg

Un cas particulier de la formule des traces de Selberg est l’énoncé suivant.

Théorème : Pour tout \( t > 0 \) il existe \( I_t >0 \) et une fonction \( h_t : (0, +\infty ) \to \RR \) telle que pour toute surface hyperbolique compacte \( S \), si \( \mathcal P \) désigne l’ensemble des géodésiques primitives sur \( S \) et \( \lambda_0=0 < \lambda_1 \le \ldots \le \lambda_n \le \ldots \) sont les valeurs propres du Laplacien de \( S \), en désignant par \( \ell(\gamma) \) la longueur de la courbe \( \gamma \) on a l'égalité :
\[
\sum_{n \ge 0} e^{-t\lambda_n} = \vol(S) I_t + \sum_{\gamma \in \mathcal P} \ell(\gamma) \sum_{k \ge 1} h_t \left( |k|\ell(\gamma) \right).
\]
De plus les deux côtés de l'égalité sont finis.

Comme le sous-espace engendré par les fonctions \( \lambda \mapsto e^{-t\lambda},\, t\in (0,+\infty) \) est dense (pour la topologie de la convergence uniforme sur les compacts) dans \( C^\infty(\RR) \) il suit que la connaissance du spectre des longueurs \( \ell(\gamma),\, \gamma \in \mathcal P \) suffit pour déterminer le spectre de \( S \).

Par le théorème d’uniformisation on peut écrire \( S = \Gamma \bs \HH^2 \) où \( \Gamma \) est un sous-groupe discret, sans torsion du groupe \( \PSL_2(\RR) \) des isométries directes de \( \HH^2 \) (identifié au demi-plan supérieur). Le spectre des longueurs est alors lui-même déterminé par les classes de conjugaison de \( \Gamma \) de la manière suivante : un élément \( \gamma \in\Gamma \setminus \{ \mathrm{Id} \} \) peut d’écrire
\[
\gamma = g \left( \begin{array}{cc} e^{\ell/2} & 0 \\ 0 & e^{-\ell/2} \end{array} \right) g^{-1}
\]
pour un \( g\in \PSL_2(\RR) \). La projection de la géodésique \( g\cdot (0, + \infty) \subset \HH^2 \) dans \( S \) est alors une géodésique fermée, de longueur \( \ell \) si \( \gamma \) est primitif. On voit que \( \ell \) est déterminé par \( \tr(\gamma) = 2\cosh(\ell) \). Toute géodésique fermée sur \( S \) est obtenue de cette manière ; de plus deux éléments primitifs \( \gamma, \gamma’ \in\Gamma \) déterminent la même géodésique si et seulement si \( \gamma’ \) est conjugué dans \( \Gamma \) à \( \gamma \) ou \( \gamma^{-1} \).

Plongement d’ordres quadratiques et surfaces arithmétiques

Dans la suite \( K \) est un corps de nombres totalement réel et \( R_K \) son anneau des entiers.

Définition : Soit \( B \) une \( K \)-algèbre. Un \( R_k\)-ordre (on dira souvent juste « ordre » dans la suite) de \( B \) est un sous-\( R_K \)-module de \( B \) finiment engendré, engendrant \( B \) sur \( K \), et qui est un sous-anneau de \( B \).

Un ordre quadratique est un ordre dans une extension quadratique de \( K \).

Soit \( A \) une algèbre de quaternions sur \( K \) ramifiée à toutes les places infinies de \( K \) sauf une ; on suppose de plus que \( A^\times \) ne contient pas d’élément d’ordre fini autre que \( -1 \). Soit \( \mathcal O \) un ordre de \( A \) et \( \Gamma(\mathcal O) \subset \PSL_2(\RR) \) le groupe fuchsien associé.

Soit \( \gamma \in \Gamma(\mathcal O) \setminus \{ \mathrm{Id} \} \) un élément primitif et \( a \in \mathcal O^1 \) une préimage. La sous-algèbre \( L = K(a) \) engendrée par \( a \) est une extension quadratique de \( K \), et \( \Omega = L \cap \mathcal O \) est un ordre de \( L \). On va montrer que \( \Omega \) détermine uniquement la longueur de la géodésique fermée associée à \( \gamma \). D’après le paragraphe précédent il suffit de montrer que \( \Omega \) détermine \( \tr(a) \) au signe près (où \( \tr \) désigne la trace dans l’algèbre de quaternions \( A \)).

Comme \( a \in \mathcal O^1 \) on a :
\[
a \in \Omega^1 := \{ b \in \Omega :\: b\bar b = 1 \}
\]
(où \( \bar\cdot \) désigne l’automorphisme de Galois non-trivial de l’extension quadratique \( L/K \)). Le groupe abélien \( \Omega^1 \) est d’indice fini dans \( R_L^1 \) ; comme \( L \hookrightarrow A \) et \( A \) ramifie à toutes les places réelles de \( K \) sauf une, le rang du groupe abélien \( R_L^1 \), qui est égal à la différence des rangs de \( R_L^\times \) et \( R_K^\times \), est égal à un par le théorème des unités de Dirichlet. Comme \( L \hookrightarrow A \) on a aussi que le seul élément de torsion de \( \Omega^1 \) est \( -1 \), et il suit que \( a \) est un générateur de \( \Omega^1 \), et donc que \( \tr(a) = a + \bar a \) est bien déterminé (au signe près) par \( \Omega \).

Si \( \Omega \subset L \) est un ordre quadratique, \( \iota :\: \Omega \to A \) un plongement et \( \mathcal O \) un ordre de \( A \) on dit que \( \iota \) est optimal pour \( \mathcal O \) si \( \Omega = \left( K \cdot \iota(\Omega) \right) \cap \mathcal O \). D’après ce qui précède on a le résultat suivant :

Proposition : Le spectre des longueurs d’une surface arithmétique \( S = \Gamma(\mathcal O) \bs \HH^2 \) est déterminé par les classes de conjugaison (par \( \mathcal O^1 \)) des plongements optimaux pour \( \mathcal O \) d’ordres quadratiques dans \( A \).

On remarque que l’on peut facilement remplacer « plongements optimaux » dans le résultat ci-dessus par « plongements » : en effet, le nombre de plongements optimaux d’un ordre donné est déterminé par le nombre de plongements de tous les ordres qui le contiennent.

Le théorème à démontrer est donc une conséquence du résultat algébrique suivant.

Théorème A : Soient \( \Omega \) un ordre quadratique, \( A \) une algèbre de quaternions non-ramifiée en au moins une place infinie et ramifiée en au moins une place finie. Si \( \mathcal O_1,\, \mathcal O_2 \) sont des ordres maximaux dans \( A \) alors les nombres de classes de conjugaisons de plongements de \( \Omega \) dans \( \mathcal O_i \) sont les mêmes.

On va décrire une démonstration de ce théorème due à Ted Chinburg et Eduardo Friedman. Ce faisant on décrira les classes de conjugaison d’ordres maximaux et la preuve de l’autre résultat utilisé par Vignéras.

Remarques :

1. La condition sur \( A \) donnée dans le théorème n’est pas strictement nécéssaire mais la conclusion n’est pas vraie en générale (une version plus fine donne une condition nécéssaire et suffisante sur le couple \( A, L \) pour que \( \Omega \) se plonge dans tous les ordres maximaux).
2. On peut établir des formules « explicites » pour le nombre de plongements optimaux.

2) Principes locaux-globaux

Localisation

Dans la suite on notera \( K \) est un corps de nombres, \( A \) une algèbre de quaternions sur \( K \) et \( \mathcal O \subset A \) un ordre. Si \( v \) est une valuation de \( K \) on abréviera \( A_v = A\otimes_K K_v \), et si \( v \) est non-archimédienne (on notera parfois \( V_f \) l’ensemble des places finies de \( K \)) on note \( R_v = \{ x\in K_v :\: v(x) \le 1 \} \) (l’adhérence de \( R_K \) dans \( K_v \)) et \( \mathcal O_v = \mathcal O \otimes_{R_K} R_v \). Ce processus de localisation vérifie les propriétés suivantes :

• Si \( \mathcal O,\, \mathcal O’ \) sont deux ordres de \( A \) alors pour presque toute \( v \) on a \( \mathcal O_v = \mathcal O_v’ \).
• Un ordre \( \mathcal O \) est maximal si et seulement si \( \mathcal O_v \) est maximal pour toute place finie \( v \).

On peut donc décrire un ordre maximal de \( A \) en spécifiant pour chaque place finie un ordre maximal de \( A_v \). La description locale des ordres maximaux est de plus extrêmement simple.

Théorème : Soit \( v \) une place finie de \( K \).

Approximation forte

Une conséquence du paragraphe précédent est que si \( \mathcal O \) et \( \mathcal O’ \) sont deux ordres maximaux de \( A \) il existe une collection \( g_v \in A_v^\times \) pour \( v \in V_f\) telle que \( g_v = \mathrm{Id} \) pour presque toute \( v \) et \( \mathcal O_v’ = g_v \mathcal O_v g_v^{-1} \). En général \( \mathcal O \) et \( \mathcal O’ \) ne sont dependant pas conjugués dans \( A \), c’est-à-dire qu’il n’existe pas de choix des \( g_v \) et de \( \gamma \in A^\times \) tel que \( \gamma \in g_v\mathcal O_v^\times \) pour toute \( v \). C’est le cas si \( n(g_v) = 1 \) pour toute \( v \), d’après le théorème d’approximation forte pour le groupe algébrique \( A^1 \). L’énoncé précis est le suivant.

Théorème : Soient \( S \subset V_f \) un sous-ensemble fini et \( g_v \in A_v^1, \, v \in S \). Il existe un \( \gamma \in A^1 \) tel que :

Si \( A \) n’est pas ramifiée en \( \fp \) et si \( \mathcal O_\fp,\, \mathcal O_\fp’ \) sont deux ordres maximaux de \( A_\fp \) on a :
\[
\left| \mathcal O_\fp / \left( \mathcal O_\fp \cap \mathcal O_\fp’ \right) \right| = \left| \mathcal O_\fp / \left( \mathcal O_\fp \cap \mathcal O_\fp’ \right) \right| = |\fp|^n
\]
pour un entier \( n\ge 0 \). On définit la distance \( d(\mathcal O_\fp, \mathcal O_\fp’) = n \) entre les deux ordres. On peut démontrer facilement qu’il existe toujours un \( g_\fp \in A_\fp^1 \) tel que \( d(\mathcal O_\fp, g_\fp \mathcal O_\fp’ g_v^{-1}) \le 1 \). De plus, deux idéaux à distance 1 de \( \mathcal O_v \) sont conjugués par un élémént de \( \mathcal O_v^1 \).

Un exemple important pour le reste de l’exposé est le suivant : on suppose que \( \mathcal O_v = M_2(R_v) \), si \( \mathcal O’ \) est un autre ordre maximal de \( A \) il existe \( a \in A^1 \) tel que \( (a \mathcal O’ a^{-1} )_v = M_2(R_v) \) ou
\[
\begin{array}{ll}
(a \mathcal O’ a^{-1} )_v &= t_v M_2(R_v) t_v^{-1} \\
&= \left\{ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) :\: a, b, c, d \in R_v,\, v(b) \le q_v^{-1}, v(c) \le q_v \right\}
\end{array}
\]
Ici \( q_v = \min(v(x): v(x) > 1) \), \( t_v = \left( \begin{array}{cc} \pi_v & 0 \\ 0 & \pi_v^{-1} \end{array} \right) \), où \( \pi_v \in R_v \) est un élément tel que \( v(\pi_v) = q_v \).

Classes de conjugaison d’ordres maximaux

Si on fixe un ordre maximal \( \mathcal O \) et si \( S \) est un ensemble fini de places finies on a donc une application bien définie de \( \{0,1\}^S \) dans l’ensemble des classes de conjugaison d’ordres maximaux de \( A \). On peut trouver un tel ensemble \( S \) de sorte que cette application soit une bijection, come décrit par le théorème suivant, qui est essentiellement une conséquence du théorème d’approximation forte. Si \( R \) est un sous-ensemble des places réelles de \( K \) on note \( \mathcal P_R \) l’ensemble des idéaux fractionnaires de \( K \) qui soient principaux, engendré par un élément de \( K \) positif à toutes les places de \( R \).

Théorème : Soit \( S(A) \subset V_f \) un sous-ensemble d’idéaux premiers tel que :

Alors les classes de conjugaison d’idéaux maximaux de \( A \) sont en bijection avec \( \{0,1\}^{S(A)} \) via l’application ci-dessus.

Ces conditions imposent que \( S(A) \) est fini (à cause de la finitude du groupe de classes de \( K \)), en fait que :
\[
n_2(h_K) \le |S(A)| \le n_2(h_K) + |\ram_\infty(A)|
\]
où \( h_K \) est le nombre de classes de \( K \) et \( n_2 \) est la 2-valuation sur \( \ZZ \). Une conséquence du théorème est en particulier la suivante : si \( h_K \) est pair et \( A \) n’est ramifiée en aucun idéal d’ordre pair dans le groupe de classes alors il existe au moins deux classes de conjugaison d’ordres maximaux dans \( A \). Le groupe de classes de \( K = \QQ(\sqrt{10}) \) est d’ordre \( 2 \), et il suit immédiatement que l’algèbre de quaternions \( A/K \) ramifiée en l’idéal principal \( (7) \) contient deux ordres maximaux non-conjugués.

3) Classes de conjugaisons de plongements

La démonstration de Chinburg et Friedman du théorème A repose sur un raffinement du résultat de classification des ordres maximaux donné dans le paragraphe précédent. La preuve de ce dernier est hors de notre portée, on se contentera de le citer comme suit :

Lemme : Soit \( L/K \) une extension quadratique telle que \( L \hookrightarrow A \). On peut choisir l’ensemble \( S(A) \) dans le théorème ci-dessus tel que \( L \otimes K_\fp \cong K_\fp \times K_\fp \) pour tout \( \fp \in S(A) \).

Une fois ceci accepté la démonstration procède sans heurt. Pour \( \mathcal O \) un ordre de \( A \) et \( \Omega \) un ordre quadratique on note \( \mathcal E(\Omega, \mathcal O) \) l’ensembles des classes de conjugaison par \( \mathcal O^1 \) des plongements de \( \Omega \) dans \( \mathcal O \). Etant donnés \( \mathcal O, \mathcal O’ \) deux ordres maximaux dans \( A \) on va construire une bijection de \( \mathcal E(\Omega, \mathcal O) \) vers \( \mathcal E(\Omega, \mathcal O’) \).

Soit \( \iota \) un représentant d’une classe dans \( \mathcal E(\Omega, \mathcal O) \). Quitte à conjuguer \( \mathcal O’ \) par un élément de \( A^1 \) on peut supposer que \( \mathcal O_\fq = \mathcal O_\fq’ \) pour \( \fq \not\in S(A) \). Soit \( \fp \in S(A) \). D’après le lemme ci-dessus il existe un isomorphisme \( \phi_\fp :\: A_\fp \overset{\sim}{\rightarrow} M_2(K_\fp) \) tel que \( \phi_\fp(\mathcal O_\fp) = M_2(R_\fp) \) et
\[
\phi_\fp(\iota \Omega) \subset \left( \begin{array}{cc} R_\fp & 0 \\ 0 & R_\fp \end{array} \right).
\]
Il existe aussi un \( g_\fp \in \SL_2(K_\fp) \) tel que :
\[
g_\fp \phi_\fp(\mathcal O_\fp’) g_\fp^{-1} = \left\{ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) :\: a, d \in R_\fp,\, b \in \fp R_\fp,\, c \in \fp^{-1} R_\fp \right\}
\]
de sorte que \( \phi_\fp(\iota \Omega) \subset g_\fp \phi_\fp(\mathcal O_\fp’) g_\fp^{-1} \). Par le théorème d’approximation forte pour \( A^1 \) il existe un \( a \in A^1 \) tel que \( \phi_\fp(a) \in g_\fp \phi(\mathcal O_\fp^1) g_\fp^{-1} \) pour \( v \in S(A) \) et \( a \in \mathcal O_v^1 \) sinon. On associe alors à la classe de \( \iota \) dans \( \mathcal E(\Omega, \mathcal O) \) celle de \( \mathrm{int}(a) \circ \iota \) dans \( \mathcal E(\Omega, \mathcal O’) \) (où \( \mathrm{int}(a) \) est l’automorphisme de \( A \) induit par la conjugaison par \( a \)).

Il est facile de vérifier que cette application est bien définie ; il suit immédiatement que c’est une bijection puisqu’on peut renverser les rôles de \( \mathcal O \) et \( \mathcal O’ \).

Références

Le contenu de l’exposé provient en grande partie du livre :

• Colin MacLachlan et Alan Reid, The arithmetic of hyperbolic 3–manifolds, Springer GTM 2003.

Le théorème de plongement sous la forme ci-dessus est apparu dans l’article :

• Ted Chinburg, Eduardo Friedman, An embedding theorem for quaternion algebras, JLMS 60, 1999.

Le chapitre 8 du livre :

• Nicolas Bergeron, Le spectre des surfaces hyperboliques, EDP éditions/CNRS 2010.

contient une exposition détaillée du matériel ci-dessus (et un peu plus) dans le cas plus élémentaire des algèbres de quaternions sur \( \QQ \).

(Suite de l’exposé précédent).

Valuations \( \fp \)-adiques

Soit \( K \) un corps de nombres, et soit \( \fp \) un idéal premier dans l’anneau des entiers \( R_K \) (un idéal est dit premier s’il ne peut pas s’écrire comme le produit de deux idéaux plus grands ; par exemple, si \( K = \QQ(\sqrt{10}) \) on a \( R_K = \ZZ[\sqrt{10}] \) et l’idéal principal \( (7) = 7 R_K \) est premier). L’anneau \( R_K \) n’est pas forcément factoriel (il ne l’est pas pour \( K = \QQ(\sqrt{10}) \)), mais on a quand même une factorisation unique pour les idéaux.

Proposition : Si \( x \in R_K \) il existe une unique collection d’entiers positifs \( n_\fp(x) \) pour \( \fp \) un idéal premier de \( R_K \), tels que l’on ait : \( (x) = \prod_\fp \fp^{n_\fp(x)} \).

On fixe un idéal premier \( \fp \) de \( R_K \) et un nombre réel \( 0 < c < 1 \) (on normalise usuellement par \( c = |R_K/\fp|^{-1} \)). Pour \( x \in R_K \), si \( x \not= 0 \) on définit la valuation \( \fp \)-adique de \( x \) par :
\[
v_\fp(x) = c^{n_\fp(x)}
\]
et on pose \( v_\fp(0) = 0 \). On étend cette valuation à \( K \) en posant \( v_\fp(x/y) = v_\fp(x) – v_\fp(y) \) pour \( x, y \in K, \, y \not= 0 \).

Les valuations \( \fp \)-adiques construites ci-dessus représentent (à équivalence près) toutes les valuations non-archimédiennes du corps de nombres \( K \). Avec les valuations archimédiennes provenant des plongements \( K \hookrightarrow \CC \) on a donc toutes les valuations.

Complétions

Si \( v \) est une valuation sur un corps de nombres \( K \), on peut définir une distance sur ce dernier par \( d_v(x,y) = v(x – y) \). On note alors \( K_v \) la complétion de \( K \) pour \( d_v \), c’est un corps valué complet.

Exemples :

• Si \( v \) est la valuation provenant d’un plogement \( \sigma :\: K \hookrightarrow \CC \) on a \( K_v \cong \RR, \CC\) selon que \( \sigma(K) \subset \RR \) ou non ;
• Si \( K = \QQ \) et \( v \) est la valuation associée à un nombre premier \( p \) alors \( K_v = \QQ_p \), le corps des nombres \( p \)-adiques.

Si \( v \) est la valuation non-archimédienne associée à un idéal premier \( \fp \) on notera souvent \( K_\fp := K_v \).

Une place de \( K \) est une classe d’équivalence de valuations de \( K \). On dit qu’une place est finie si les valuations associées sont non-archimédiennes, et infinie si elles sont archimédiennes (les place infinies de \( K \) corrrespondent donc aux plongements \( K \hookrightarrow \CC \) à conjugaison complexe près).

Principe local-global pour les algèbres de quaternions

La classification des algèbres de quaternions sur les corps \( \fp \)-adiques est semblable à celle des algèbres réelles :

Théorème : Soit \( K \) un corps de nombres et \( \fp \) un idéal premier de \( R_K \). Il existe une unique (à isomorphisme près) une unique algèbre de quaternions à division sur \( K_\fp \).

En conséquence une algèbre de quaternions \( A \) sur \( K_\fp \) est isomorphe soit à cette dernière, soit à \( M_2(K_\fp) \).

Définition : Soit \( A \) une algèbre de quaternions sur un corps de nombres \( K \) et \( v \) une valuation (ou place). Si \( A_v := A \otimes K_v \) est une algèbre à division on dit que \( A \) est ramifiée en \( v \) ; sinon on dit que \( A \) est scindée en \( v \).

Théorème : Soit \( A \) une algèbre de quaternions sur \( K \). Le nombre de places de \( K \) auxquelles \( A \) est ramifiée est fini, et son cardinal est pair.

On note :

• \( \ram(A) \) l’ensemble des places de \( K \) où \( A \) ramifie ;
• \( \ram_\infty(A) \) l’ensemble des places infinies où \( A \) ramifie ;
• \( \ram_f(A) = \ram(A) \setminus \ram_\infty(A) \).

On voit que les algèbres de quaternions utilisées pour construire les groupe fuchsiens arithmétiques sont celles pour lesquelles \( \ram_\infty(A) \) contient toutes les places infinies de \( K \) sauf une.

Le principe local-global pour les algèbres de quaternions sur les corps de nombres est le théorème de classement suivant.

Théorème : Soient \( A, A’ \) deux algèbres de quaternions sur \( K \). Elles sont isomorphes si et seulement si \( \ram(A) = \ram(A’) \).

Si \( S \) est une ensemble fini de places de \( K \) de cardinal pair il existe une algèbre de quaternions \( A \) sur \( K \) telle que \( \ram(A) = S \).

Une conséquence du théorème est que \( \ram(A) = \emptyset \) implique que \( A \cong M_2(K) \). En particulier, si \( \mathcal O \) est un ordre dans \( A \) alors \( \Gamma(\mathcal O \) est un groupe fuchsien cocompact si et seulement si \( \ram(A) \not= \emptyset \).

La construction de Vignéras, fin

On peut enfin finir de décrire la construction de Vignéras de surfaces hyperboliques isospectrales. Soit \( K = \QQ(\sqrt{10}) \) ; soit \( A \) l’algèbre de quaternions qui soit ramifiée en la place infinie de \( K \) correspondant au plongement \( \sqrt{10} \mapsto -\sqrt{10} \) (de sorte que les ordres de \( A \) donnent des groupes fuchsiens), et en la place finie correspondant à l’idéal premier \( (7) \). On rappelle que :

1. Comme \( \ram(A) \not= \emptyset \), pour n’importe quel ordre \( \mathcal O \subset A \) l’orbifold \( \Gamma(\mathcal O) \bs \HH^2 \) est compact.
2. On peut montrer qu’il existe deux ordres maximaux \( \mathcal O_1, \mathcal O_2 \) dans \( A \) qui ne soient pas conjugués par un élément de \( A^\times \) (on peut en fait calculer le nombres de classes de conjugaisons d’idéaux maximaux). Les orbifolds \( \Gamma(\mathcal O_i) \bs \HH^2 \) ne sont donc pas isométriques l’une à l’autre, par la proposition vue la semaine dernière.
3. D’après le théorème énoncé la semaine dernière les orbifolds \( \Gamma(\mathcal O_i) \bs \HH^2 \) sont isospectrales l’une à l’autre.

Il reste à montrer que \( \Gamma(\mathcal O_i) \bs \HH^2 \) sont des surfaces, autrement dit que les groupes fuchsiens \( \Gamma(\mathcal O_i) \) ne contiennent pas d’élément de torsion. On a vu la semaine dernière que le choix de \( K = \QQ(\sqrt{10}) \) implique que \( A^\times \) ne contient pas d’élément d’ordre fini différent de \( 2,3,4 \) et \( 6 \) ; il reste à montrer que le choix de \( A \) ci-dessus interdit les éléments d’ordres \( 3,4 \) et \( 6 \).

On avait aussi montré que pour ce faire il est suffisant que l’on n’aie pas de plongement des corps quadratiques imaginaires \( \QQ(\sqrt{-1}), \, \QQ(\sqrt{-3}) \) dans \( A \). Cette condition se vérifie localement à l’aide du critère suivant :

Théorème : Soit \( L/K \) une extension quadratique. Pour une algèbre de quaternions \( A/K \) les conditions suivantes sont équivalentes :

Soit \( L = K(\sqrt{-1}) = \QQ(\sqrt{10},\sqrt{-1}) \). A la place infinie où \( A \) ramifie on a \( L\otimes K \cong \CC\). Il faut donc vérifier la condition 3. ci-dessus à la place finie, i.e. montrer que l’on a \( K_7 \otimes L \cong K_7 \times K_7 \).

Soit \( \fq \) l’idéal \( (7) = 7 R_L \). Il y a trois possibilités vis-à-vis de sa factorisation sur \( L \) en idéaux premiers :

1. \( \fq = \fp \bar\fp \) pour des idéaux premiers \( \fp, \bar \fp \) distincts ;
2. \( \fq = \fp^2 \) pour un idéal premier \( \fp \) ;
3. \( \fq \) lui-même est premier.

Dans les cas ii. et iii. on a respectivement \( L \otimes K_7 \cong L_\fp,\, L_\fq \). Il faut donc montrer que l’on est dans le cas i. : on a alors \( L_\fp \cong L_{\bar \fp} \cong K_7 \) et
\[
L \otimes K_7 \cong L_\fp \times L_{\bar \fp} \cong K_7 \times K_7.
\]
Sur \( L \) on a la factorisation :
\[
(7) = \left((\sqrt{10}/2 – 1)\sqrt{-1} + \sqrt{10}/2 + 1 \right) \cdot \left( (\sqrt{10}/2 + 1)\sqrt{-1} + \sqrt{10}/2 – 1) \right)
\]
et on peut vérifier les deux idéaux premiers à droite sont distincts. On ne peut donc pas avoir \( K(\sqrt{-1}) \hookrightarrow A \) et il suit que \( A^\times \) ne contient pas d’élément d’ordre \( 4 \).

De la même manière, si \( M = K(\sqrt{-3}) \) on a la factorisation sur \( M \) suivante :
\[
(7) = \left( -3\sqrt{-3}/2 – 1/2 \right) \cdot \left( 3\sqrt{-3}/2 – 1/2 \right)
\]
qui montre que l’on a \( M \otimes K_7 \cong K_7 \times K_7 \) et donc que \( M \) ne se plonge pas dans \( A \), soit encore que \( A ^\times \) ne contient pas d’élément d’ordre \( 3 \) ou \( 6 \).

Références (pour les trois exposés)

Une référence couvrant tout le contenu exposé (et beaucoup plus) est :

• Colin MacLachlan et Alan Reid, The arithmetic of hyperbolic 3–manifolds, Springer GTM 2003.

L’article originel de Vignéras a été repris et corrigé dans un livre écrit peu après, les références exactes sont :

• Marie-France Vignéras, Variétés riemanniennes isospectrales et non isométriques, Annals of Mathematics 112, 1980.
• Marie-France Vignéras, Arithmétique des algèbres de quaternions, Springer Lecture Notes 800, 1980.

Le genre des surfaces construites par Vignéras n’est pas raisonnable (supérieur à \( 10^5 \) ) ; une amélioration quantitative de sa construction est donnée dans :

• Ben Linowitz, John Voight, Small isospectral and nonisometric orbifolds of dimension 2 and 3, Mathematische Zeitschrift 281 (2015), http://arxiv.org/abs/1408.2001.

On va expliquer (d’après Marie-France Vignéras) comment la construction de surfaces hyperboliques de la semaine dernière permet d’obtenir des paires de surfaces isospectrales. On cherche donc :

• Un corps de nombres totalement réel \( K \) ;
• Une algèbre de quaternions \( A \) sur \( K \) (ramifiée à toutes les places réelles sauf une) ;
• Des ordres (qui seront maximaux) \( \mathcal O_1, \mathcal O_2 \) dans \( A \) ;

tels que :

1. \( \Gamma(\mathcal O_i) \bs \HH^2 \) soient des surfaces hyperboliques compactes ;
2. Elles soient isospectrales ;
3. Elles ne soient pas isométriques.

Le point 2. est une conséquence du théorème suivant (que l’on n’expliquera pas ici) :

Théorème : Soient \( \mathcal O_1,\mathcal O_2 \) deux ordres maximaux dans une même algèbre de quaternions, que l’on suppose ramifiée à au moins une place finie. Les orbifolds \( \Gamma(\mathcal O_i) \bs \HH^2 \) sont isospectraux.

Le point 3. est une conséquence du critère suivant si l’on choisit des ordres maximaux \( \mathcal O_1, \mathcal O_2 \) qui ne soient pas conjugués par un élément de \( A^\times \) (on admet pour le moment que ceci est possible).

Proposition : Les orbifolds \( \Gamma(\mathcal O_1) \bs \HH^2, \Gamma(\mathcal O_2) \bs \HH^2 \) sont isométriques si et seulement s’il existe \( a \in A^\times \) tel que \( \mathcal O_2 = a \mathcal O_1 a^{-1} \).

Démonstration : Dans la suite on considère que \( A \subset M_2(\RR) \) via l’isomorphisme \( A\otimes\RR \cong M_2(\RR) \). \( \Gamma(\mathcal O_1) \bs \HH^2, \Gamma(\mathcal O_2) \bs \HH^2 \) sont isométriques si et seulement si il existe un \( g \in \PGL_2(\RR) \) tel que \( g \Gamma(\mathcal O_1) g^{-1} = \Gamma(\mathcal O_2) \) ; si \( \tilde g \) est un relevé de \( g \) dans \( \mathrm{GL}_2(\RR) \) alors on a \( \tilde g \mathcal O_1 \tilde g^{-1} = \mathcal O_2 \). Il faut donc voir que \( g \) est dans l’image \( \mathrm P A^\times \) de \( A^\times \) dans \( \PGL_2(\RR) \).
Pour ce faire on peut utiliser le théorème de Skolem–Noether, qui affirme que tout automorphisme de \( A \) est intérieur (i.e. la conjugaison par un élément de \( A^\times \)). En effet, en l’appliquant à l’automorphisme induit par la conjugaison par \( \tilde g \) on obtient immédiatement que \( g \in \mathrm P A^\times \). ■

Il reste à traiter le point 1. La compacité des quotients ne dépend que de ce que \( A \) soit une algèbre à division ou non ; en particulier, si \( K \not= \QQ \) c’est toujours le cas.

Le fait que \( \Gamma(\mathcal O) \bs \HH^2 \) soit une surface (et non un orbifold) suit de ce que \( \Gamma(\mathcal O) \) ne contient pas d’élément de torsion. Ceci est équivalent à ce que \( \mathcal O \) ne contienne pas d’élément de norme \( 1 \) d’ordre fini autre que \( -1 \) ; autrement dit, pour tout \( n \ge 3 \) il n’y a pas de \( x \in A \) tel que \( x^n = 1 \) et \( n(x) = 1 \).

Commençons montrer que pour \( n\not= 3,4,6 \) on peut choisir \( K \) tel que pour toute algèbre de quaternions \( A \) sur \( K \) ceci soit vérifié (on remarque que l’algèbre \( M_2(K) \) contient toujours des éléments d’ordre 4 et 6).

En effet, soit \( x \) tel que \( x^n = 1 \) ; quitte a multiplier \( x \) par \( -1 \) on peut supposer que \( n \) est pair, \( n = 2m \). Les facteurs irréductibles sur \( \RR \) du polynôme \( (X^{2m} – 1) / (X^2 – 1) \) sont les \( X^2 – 2\cos(k\pi/m) X + 1 \) et \( X^2 – 2\cos(k\pi/2m) X – 1 \) avec \( k \) impair. Il suit que \( x^2 – 2\cos(k\pi/m) x + 1 = 0\) pour un \( k \) premier à \( m \), quitte à remplacer \( x \) par une puissance on peut supposer que \( x^2 – 2\cos(\pi/m) x + 1 = 0 \). Il suit que \( \tr(x) = 2\cos(\pi/m) \) et donc que \( \cos(\pi/m) \in K \). On a \( m >3 \) et donc \( \cos(\pi/m) \not\in \QQ \), il existe donc une infinité de corps \( K \) tels que \( \forall m \ge 4, \, \cos(\pi/m) \not\in K \). On peut vérifier en particulier que \( K = \QQ(\sqrt{10}) \) convient.

Il reste à traiter les cas où \( n = 3,4 \). On veut trouver une algèbre \( A \) sur \( K = \QQ(\sqrt{10}) \) telle que les corps \( \QQ(e^{2i\pi/3}) \cong \QQ(\sqrt{-3}), \, \QQ(e^{i\pi/2}) \cong \QQ(\sqrt{-1}) \) ne se plongent pas dans \( A \). Pour ce faire on va utiliser des techniques locales, on aura besoin de la théorie des complétions non-archimédiennes de \( K \).

Valuations des corps de nombres

Définitions : Soit \( K \) un corps. Une valuations sur \( K \) est une applications \( v :\: K \to \RR_+ \) vérifiant les propriétés suivantes :

1. Pour tout \( x \in K,\, x\not= 0 \) on a \( v(x) > 0 \) ;
2. Pour touts \( x, y \in K \) on a \( v(xy) = v(x)v(y) \) ;
3. Pour touts \( x, y \in K \) on a \( v(x + y) \le v(x) + v(y) \).

(On peut remplacer 1. par \( v(1) = 1 \).)

On dit que deux valuations \( v, v’ \) sur \( K \) sont équivalentes, noté \( v \sim v’ \), s’il existe un \( a > 0 \) tel que \( \forall x\in K : \: v'(x) = v(x)^a \).

On dit que \( v \) est non-archimédienne (ou ultramétrique) si elle vérifie la propriété suivante plus forte que 3. ci-dessus) :

• Pour touts \( x, y \in K \) on a \( v(x + y) \le \max(v(x), v(y)) \).

On dit que \( v \) est archimédienne sinon.

Si \( K \) est un corps de nombres alors à équivalence près toutes ses valuations archimédiennes sont obtenues via un plongement \( \sigma :\: K \hookrightarrow \CC \) (la valuation associée à \( \sigma \) est définie simplement par \( v(x) = |\sigma(x)|\) où \( |\cdot| \) est la valeur absolue usuelle sur \( \CC \)). Deux telles valuations sont équivalentes si et seulement si les plongements sont conjugués.

Les valuations non-archimédiennes d’un corps de nombres \( K \) se construisent à partir des idéaux premiers de \( R_K \). On donne ici l’exemple de \( K = \QQ \).

Si \( p \in \mathbb N \) est un nombre premier et \( x \in \ZZ \) on peut définir \( n_p(x) \) comme le plus grand entier \( n \) tel que \( p^n \) divise \( x \) (avec la convention que \( n_p(0) = \infty \). On étend \( n_p \) à \( \QQ \) en posant \( n_p(x/y) = n_p(x) – n_p(y) \), et on définit enfin la fonction \( v_p \) sur \( \QQ \) par :
\[
v_p(x) = p^{-n_p(x)}.
\]
Alors \( v_p \) est une valuation non-archimédienne de \( \QQ \), et \( v_p \sim v_{p’} \) si et seulement si \( p = p’ \). De plus toute valuation non-archimédienne sur \( \QQ \) est équivalente à l’une des \( v_p \).

Groupes Fuchsiens arithmétiques

On rappelle que si \( \Gamma\subset\PSL_2(\RR) \) est un sous-groupe discret, sans torsion et cocompact alors le quotient \( \Gamma \backslash \HH^2 \) est une surface hyperbolique (si \( \Gamma \) contient de la torsion on a en plus des singularités coniques). Ici on va construire des exemples explicites de tels sous-groupes \( \Gamma \).

Algèbres de quaternions

Dans toute cette section \( K \) est un corps (commutatif). On supposera que sa caractéristique est différente de 2.

Définition : Une algèbre de quaternions sur \( K \) est une \( K \)-algèbre \( A \) (associative, avec unité) telle que :

1. \( \dim_K(A) = 4 \) ;
2. \( A \) est simple (i.e. tout idéal bilatère de \( A \) est égal à \( 0 \) ou à \( A \) elle-même) ;
3. Le centre \( Z(A) \) est égal à \( K \cdot 1_A \).

On dit aussi que \( A \) est une algèbre centrale simple de dimension 4 sur \( K \).

On peut donner une description plus explicite : si \( A \) est une algèbre de quaternions sur \( K \) il existe une \( K \)-base \( (1_A = 1, i, j, k) \) de \( A \) vérifiant \( i^2, j^2 \in K^\times = K^\times \cdot 1 \) et \( ij = -ji = k \). Si \( i^2 = a, j^2 = b \) on notera :
\[
A \cong \hilbert{a}{b}{K}.
\]
Cette notation n’est pas unique, par exemple
\[
\hilbert{a}{b}{K} \cong \hilbert{b}{a}{K} \cong \hilbert{-ab}{b}{K} \ldots
\]
et pour tout \( t \in K^\times \) on a \( \hilbert{a}{b}{K} \cong \hilbert{t^2a}{b}{K} \).

Exemples :

• L’algèbre de matrices \( M_2(K) \) est une algèbre de quaternions sur \( K \) ; on a \( M_2(K) \cong \hilbert{1}{1}{K} \). Sur un corps algébriquement clos c’est la seule algèbre de quaternions (à isomorphisme près).
• L’algèbre \( \mathcal H \cong \hilbert{-1}{-1}{\RR} \) est appelée algèbre des quaternions de Hamilton.
• La sous-algèbre de \( M_2 \left( K(\sqrt a) \right) \) engendrée par les matrices :
  \[
  \left(\begin{array}{cc} \sqrt{a} & 0 \\ 0 & -\sqrt{a} \end{array}\right), \quad \left( \begin{array}{cc} 0 & b \\ 1 & 0 \end{array}\right)
  \]
  est une algèbre de quaternions de symbole de Hilbert \( \hilbert{a}{b}{K} \) (en particulier, si \( a\) est un carré on a \( \hilbert{a}{b}{K} \cong M_2(K) \)).

Définition : Soit \( A \cong \hilbert{a}{b}{K}\). Soit \( x = x_0 + x_1 i + x_2 j + x_3 k \in A \), on définit son conjugué
\[
\bar x = x_0 – (x_1 i + x_2 j + x_3 k),
\]
puis sa trace et norme réduites par :
\[
\tr(x) = x + \bar x = 2x_0,
\]
\[
n(x) = x \cdot \bar x = x_0^2 + a x_1^2 + b x_2^2 – ab x_3^2.
\]

On remarque que via le plongement \( \phi : A \hookrightarrow M_2(K(\sqrt a)) \) défini plus haut on a \( \tr(x) = \tr(\phi(x)), \, n(x) = \det(\phi(x)) \). En particulier ceci implique :

Théorème : Si \( A \) n’est pas une algèbre à division alors \( A \cong M_2(K) \).

Pour \( K = \RR \) il est facile de voir que les seules algèbres de quaternions sont \( \mathcal H \) (l’unique algèbre de quaternions à division) et \( M_2(\RR) \).

Ordres des algèbres de quaternions

Dans la suite on suppose que \( K \) est un corps de nombres, c’est-à-dire une extension finie de \( \QQ \). Un élément \( t \in K \) est entier (sur \( \ZZ \)) si il existe un polynôme \( P(X) = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \ldots \in \ZZ[X] \) tel que \( P(t) = 0 \). L’ensemble de ces éléments forme un sous-anneau de \( K \) (l’anneau des entiers de \( K \)), que l’on notera ici \( R_K \).

Un exemple impôrtant pour la suite est celui où \( K \) est un corps quadratique réel, \( K = \QQ(\sqrt d) \) avec \( d > 0 \) un entier sans facteur carré. L’anneau des entiers est alors :

• \( R_K = \ZZ[\sqrt d] \) si \( d = 2,3 \pmod{4} \) ;
• \( R_K = \ZZ\left[ \frac{1 + \sqrt d} 2 \right] \) si \( d = 1 \pmod{4} \).

En effet, si on note \( \overline{x + y\sqrt d} = x – y\sqrt d \), et pour \( x\in K \) on pose \( \tr(x) = x + \bar x \) et \( n(x) = x\bar x \), le polynôme minimal de \( x \) sur \( \QQ \) est \( X^2 – \tr(x)\cdot X + n(x) \) et \( x \) est donc entier si et seulement si \( \tr(x),n(x) \in \ZZ \). Il est alors facile de vérifier que les entiers sont ceux de la forme ci-dessus.

Définition : Soit \( A \) une algèbre de quaternions sur \( K \). Par analogie avec le cas des corps quadratiques on dit qu’un élément \( x \in A \) est entier si \( \tr(x), n(x) \in R_K \).

Contrairement à ce qui se passe dans le cas commutatif l’ensemble des entiers de \( A \) ne forme pas un sous-anneau (par exemples, si \( A = M_2(\QQ) \) et on considère
\[
x = \left( \begin{array}{cc} 1/2 & -3 \\ 1/4 & 1/2 \end{array} \right), \quad y = \left( \begin{array}{cc} 0 & 5 \\ 1/5 & 0 \end{array} \right)
\]
on voit immédiatement qu’aucun de \( x + y, xy \) n’est entier).

Définition : Un ordre \( \mathcal O \) de \( A \) est (définitions équivalentes) :

• un sous-anneau de \( A \) dont tous les éléments sont entiers, contenant \( A \) et tel que \( K\mathcal O = A \).
• un sous-\( R_K \)-module de \( A \) de type fini stable par multiplication, contenant \( 1 \) et tel que \( K\mathcal O = A \).

Exemples : :

• Si \( A \cong \hilbert{a}{b}{K} \) avec \(a,b \in R_K \) alors \( \ZZ[i,j] \) est un ordre de \( A \) ;
• \( M_2(\ZZ) \) est un ordre de \( M_2(\QQ) \).

Un ordre est dit maximal s’il n’est pas contenu strictement dans un autre ordre. Le lemme de Zorn implique facilement l’existence d’ordres maximaux.

Groupes fuchsiens arithmétiques

A partir de maintenant on impose que le corps \( K \) soit totalement réel : c’est-à-dire que si \( \sigma_1, \ldots, \sigma_r \) sont tous les plongements \( K \to \CC \) (il est facile de voir qu’il n’en existe qu’un nombre fini) alors on a \( \sigma_i(K) \subset \RR \) pour \( i = 1, \ldots, r \). Par exemple on voit immédiatement que les corps quadratiques réels sont totalement réels.

Soit \( A \cong \hilbert{a}{b}{K} \) une algèbre de quaternions sur \( K \) telle que :
\[
\hilbert{\sigma_1(a)}{\sigma_1(b)}{\RR} \cong M_2(\RR)
\]
et
\[
\forall i = 2, \ldots, r : \: \hilbert{\sigma_i(a)}{\sigma_i(b)}{\RR} \cong \mathcal H
\]
(on dit que \( A \) est ramifiée en \( \sigma_2, \ldots, \sigma_r \)).

Théorème : Soit \( \mathcal O \) un ordre de \( A \) et soit :
\[
\mathcal O^1 = \{ x\in\mathcal O : \: n(x) = 1 \}.
\]
On fixe un isomorphisme \( \phi : \: \hilbert{\sigma_1(a)}{\sigma_1(b)}{\RR} \overset{\sim}{\rightarrow} M_2(\RR) \). Alors le sous-groupe :
\[
\Gamma(\mathcal O) = \phi\left( \mathcal O^1 \right) / \{ \pm 1 \} \subset \PSL_2(\RR)
\]
est un réseau. Il est cocompact si et seulement si \( A \) est une algèbre à division.

Remarques :

• Si on change l’isomorphisme \( \phi \) on obtient des groupes conjugués.
• Si \( \mathcal O, \mathcal O’\) sont deux ordres dans \( A \) alors les sous-groupes \( \Gamma = \Gamma(\mathcal O) \) et \( \Gamma’ = \Gamma(\mathcal O’) \) sont commensurables, c’est-à-dire que \( \Gamma/(\Gamma \cap \Gamma’) \) et \( \Gamma’/(\Gamma \cap \Gamma’) \) sont finis.

Définition : Un sous-groupe \( \Gamma \le \PSL_2(\RR) \) est un groupe fuchsien arithmétique s’il existe \( A, \phi, \mathcal O \) comme ci-dessus tel que \( \Gamma(\mathcal O) \) soit commensurable à \( \Gamma \).

On remarque que si \( K \not= \QQ \) alors \( A \) est nécéssairement une algèbre à division (puisque \( A \otimes_{\sigma_2} \RR \) est une algèbre à division). Si \( \Gamma \) est un groupe fuchsien arithmétique non-cocompact il est donc commensurable à \( \PSL_2(\ZZ) \).

NB. Les notes ci-après diffèrent légèrement de l’exposé oral qui en a été tiré.

Dans cet exposé (sauf mention du contraire) toutes les variétés sont fermées, et supposées munies d’une métrique riemannienne ; on garde les notations des exposés précédents et on notera en plus \( \sigma(M) \) le spectre de l’extension \( L^2 \) du laplacien de \( M \). Deux variétés \( M_1 \) et \( M_2 \) sont dites isospectrales si \( \sigma(M_1) = \sigma(M_2) \). On utilisera parfois le terme ‘isospectral’ pour signifier ‘isospectral, non-isométrique’.

1) Retour sur le spectre et la géométrie

Une question de base en géométrie spectrale est la suivante : quels invariants géométriques globaux sont déterminés par \( \sigma(M) \). On a vu dans les exposés de Jean-Marc que c’est le cas pour :

• le volume \( \vol(M) \) ;
• le spectre des longueurs \( \mathcal L(M) \) de \( M \) (au moins pour \( M \) « générique ») ;
• …

Il n’est en fait pas évident que la réponse à la question suivante :

Question : Est-ce-que \( \sigma(M) = \sigma(M’) \) implique que \( M’ \) soit isométrique à \( M \)?

soit négative. Le premier contre-exemple a été donné par John Milnor en 1964, il s’agit de deux tores plats en dimension 16, disons \( T_1 = \RR^{16}/\Lambda_1 \) et \( T_2 = \RR^{16}/\Lambda_2 \), tels que
\[
\{ \|v\|^2 :\: v\in\Lambda_1 \} = \{ \|v\|^2 :\: v\in\Lambda_2 \}
\]
ce qui implique (via la description explicite des valeurs propres, ou via la formule de Poisson) que \( T_1 \) et \( T_2 \) sont isospectraux. En revanche on vérifie que les réseaux \( \Lambda_1 \) et \( \Lambda_2 \) ne sont pas isométriques l’un à l’autre et il suit que \( T_1,\, T_2 \) ne le sont pas non plus.

Il existe cependant des variétés qui sont déterminées par leur spectre : par exemple (S. Tanno, 1973) si une variété est isospectrale à la sphère de dimension \( n, \, 1\le n\le 6 \) alors elle lui est isométrique. Il existe d’autres exemples, mais en général de telles vériétés restent mystérieuses (par exemple on ne sait pas si ce comportement est « générique »). On s’intéresse donc à des versions plus vagues de la question ci-dessus, en particulier à la description qualitative des ensembles isospectraux :
\[
\{ N : \sigma(N) = \sigma(M) \}
\]
et à la construction d’exemples de variétés isospectrales non isométriques entre elles. On peut aussi s’intéresser à ces questions en restreignant l’ensemble des variétés auxquelles on s’intéresse, par exemple en prescrivant la géométrie locale.

2) Compacité des ensembles isospectraux

Une question ouverte est la suivante : étant donnée \( M \), son en ensemble isospectral est-il compact? La compacité est entendu au sens de la convergence \( C^\infty \) des métriques riemanniennes.

Théorème (Osgood–Phillips–Sarnak) : Les ensembles isospectraux de surfaces sont compacts.

La preuve est analytique et difficile (il est cependant plus facile de voir que pour des surfaces l’isospectralité implique le difféomorphisme, ce qui est faux en dimensions supérieures). Un résultat plus facile, dû à H. McKean, est le suivant : un ensemble isospectral de surfaces hyperboliques est fini (ici hyperbolique veut dire à courbures sectionelles constante \( -1 \)).

En dimensions supérieures il n’y a que des résultats partiels :

• les ensembles isospectraux dans une classe conforme de métriques sur une variété de dimension 3 sont compacts (Brooks–Perry–Yang, Chang–Yang) ;
• les ensembles isospectraux de variétés à courbures sectionelles \( < 0 \) ou à courbure de Ricci \( \ge C \) (pour un \( C\in\RR \) donné) sont compacts (Anderson, Brooks–Perry–Petersen).

Une question ouverte est la suivante : est-ce-que les ensembles isospectraux de varuétés à courbure négative sont finis? Guillemin–Kazhdan montrent que ces variétés n’ont pas de déformations isospectrales (en général de telles déformations peuvent exister, par exemple sur des groupes de Lie nilpotents).

3) La méthode de Sunada

Si \( G \) est un groupe fini on dit que deux sous-groupes \( H_1,\, H_2 \le G \) sont presque conjugués si pour toute classe de conjugaison \( c \) de \( G \) on a
\[
|c \cap H_1| = |c \cap H_2|.
\]
La méthode de Sunada (1985) repose sur l’observation suivante.

Proposition : Si \( M \) est une variété sur laquelle \( G \) agit librement et \( H_1, H_2 \) sont deux sous-groupes presque conjugués de \( G \) alors les variétés \( H_1 \bs M \) et \( H_2 \bs M \) sont isospectrales.

Démonstration : On note \( M_i = H_i \bs M \). On a \( \sigma(M_i) \subset \sigma(M) \) pour \( i= 1,2 \), il faut montrer que pour \( \lambda \in \sigma(M) \) les multiplicités \( m_1(\lambda), m_2(\lambda) \) pour \( M_1 \) et \( M_2 \) sont les mêmes (éventuellement nulles). Soit \( V = \ker(\Delta_M – \lambda) \) ; \( G \) agit sur \( C^\infty(M) \) (par précomposition) et comme l’action sur \( M \) est par isométries il commute au Laplacien et préserve donc ses espaces propres. On a alors \( m_i(\lambda) = \dim V^{H_i} \) (où \( V^H \) désigne le sous-espace de \( V \) fixé par tous les éléments de \( H \)).

On identifiera dans la suite un élément \( g\in G \) et son image dans \( \mathrm{End}(V) \). La projection orthogonale (pour le produit scalaire \( L^2 \) sur \( V \)) sur \( V^H \) est alors réalisée par la somme :
\[
\pi_H = \frac 1{|H|} \sum_{h\in H} h
\]
et il suit que \( \dim V^H = \tr \pi_H \). Le résultat suit donc si l’on montre que \( \tr \pi_{H_1} = \tr \pi_{H2} \). Cette dernière égalité est une conséquence immédiate de la presque conjugaison de \( H_1 \) et \( H_2 \) puique \( \tr g \) est constante sur les classes de conjugaison de \( G \). ■

Il est facile de trouver des groupes \( G, H_1, H_2 \) comme dans l’énoncé ci-dessus (cf. le paragraphe suivant). Pour trouver une \( M \) en pratique on part d’une variété \( \overline M = \Gamma \bs X \) où \( X \) est le revêtement universel de \( \overline M \) et d’une surjection \( \phi :\: \Gamma \to G \), on prend alors \( M = \ker(\phi) \bs X \). Pour construire des variétés isospectrales non-isométriques il faut encore vérifier que les groupes \( \Gamma_i = \phi^{-1}(H_i) \) ne sont pas conjugés l’un à l’autre dans \( \mathrm{isom}(X) \) Noter qu’en général il ne suffit pas qu’ils ne soient pas conjugués dans \( \Gamma \), autrement dit que \( H_1 \) et \( H_2 \) ne soient pas conjugués dans \( G \).

Les groupes finis simples donnent de nombreux exemples de groupes \( G, H_1, H_2 \). Un exemple explicite est le suivant : \(G = \mathrm{SL}_3(\ZZ/2) \) et
\[
H_1 = \left( \begin{array}{ccc}
1 & * & * \\ 0 & * & * \\ 0 & * & *
\end{array} \right), \quad
H_2 = \left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\ * & * & * \\ * & * & *
\end{array} \right).
\]
Les groupes \( H_1, H_2 \) sont presque conjugués dans \( G \) (parce qu’ils sont transposés l’un de l’autre) mais on peut vérifier qu’ils ne sont pas conjugués par un élément de \( \SL_3(\ZZ/2) \).

Exemple : surfaces de Riemann isospectrales

La méthode de Sunada est un outil très versatil qui s’applique à de nombreux cadres. Le plus simple est peut-être celui des surfaces ; un exemple d’application est le suivant : si \( G \) est le groupe fini défini ci-dessus et \( S \) une surface de genre 2 alors on a une surjection \( \Gamma := \pi_1(S) \to G \). En effet, \( \Gamma \) a la présentation
\[
\Gamma = \langle a_1,b_1, a_2,b_2 \, | \, a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}a_2b_2a_2^{-1}b_2^{-1} \rangle
\]
et on peut donc définir une surjection de \( \Gamma \) sur le groupe libre à deux générateurs \( a_1, a_2 \) par \( b_1, b_2\mapsto 1 \). D’autre part le groupe \( G \) est engendré par les deux éléments suivants (Brooks) :
\[
A = \left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0
\end{array}\right),
B = \left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1
\end{array}\right)
\]
et on peut donc définir un morphisme surjectif \( \pi: \Gamma \to G \) par \( \pi(a_1) = A,\, \pi(a_2) = B,\, \pi(b_1) = \pi(b_2) = 1\).

Soient \( H_1, H_2\le G \) sont les groupes presque conjugués mais pas conjugués dans \( G \) définis ci-dessus, et soient \( \Gamma_i = \pi^{-1}(H_i) \) qui sont donc des sous-groupes d’indice fini de \( \Gamma \). Soit \( \widetilde S \) le revêtement universel de \( S \), de sorte que \( S = \Gamma \backslash\ \widetilde S \). Soient enfin \( S_i = \Gamma_i \backslash \widetilde S \), des revêtements finis de \( S \).

Si \( S \) est munie d’une métrique riemannienne alors on peut la relever en des métriques sur les \( S_i \), et par la proposition ci-dessus \( S_1 \) est alors isospectrale à \( S_2 \). Il faut maintenant trouver une métrique qui impose en plus que \( S_1, S_2 \) ne soient pas isométriques.

On ne considèrera dans la suite que des métriques hyperboliques sur \( S \). En fait une telle métrique donne presque toujours des \( S_1 \) et \( S_2 \) non-isométriques. Pour le démontrer on utilise le résultat suivant, conséquence de travaux de Margulis et d’arguments plus élémentaires : si une métrique hyperbolique non-arithmétique sur \( S \) n’a pas d’isométries non-triviales alors deux sous-groupes d’indice fini \(\Gamma’, \Gamma » \) dans \( \Gamma \) sont conjugués dans \( \mathrm{isom}(\HH^2) \) si et seulement s’ils sont conjugués dans \( \Gamma \). Comme il n’y a qu’un nombre fini de surfaces hyperboliques arithmétiques d’un genre donné, et que les variétés admettant des isométries non-triviales forment un fermé d’intérieur vide dans l’espace de modules (de dimension \( 6g – 6 \)) il suit qu’une métrique comme dans l’énoncé ci-dessus existe bien et que les revêtements \( S_1, S_2 \) ne sont pas isométriques pour celle-ci.

On a donc obtenu des exemples de surfaces hyperboliques isospectrales nonisométriques de genre \( d + 1 = 8\) (ici \( d = |G/H_1| = |G/H_2| = |\mathbb{P}^2(\ZZ/2)| = 7\) est le degré des revêtements \( S_i \to S \)).

Ensembles isospectraux de grande taille

On peut utiliser la construction de Sunada pour démontrer des résultats quantitatifs sur la taille des ensembles isospectraux. Par exemple P. Buser montre qu’il existe une sous-variété de dimension \( > 0 \) de l’espace de modules de surfaces hyperbolique en genre \( \ge 4 \) dont tous les éléments ont une surface hyperbolique isospectrale (ceci suit aussi de la construction ci-dessus). D. MacReynolds applique la construction de Sunada aux variétés hyperboliques de dimension supérieure pour montrer qu’il existe des ensembles isospectraux de taille \( v^{C\log v} \) de telles variétés ayant volume \( v \) (pour les surfaces ce résultat est dû à Brooks–Gornet–Gustafson).

4) Variétés localement symétriques isospectrales

Une variété riemannienne \( M \) est dite localement symétrique si pour tout point \( x \in M \) il existe une isométrie d’une voisinage de \( x \) fixant \( x \) et qui renverse les géodésiques passant par \( x \). En pratique on utilise souvent la description algébrique suivante (due à Elie Cartan) de tels espaces : une telle variété se décompose localement en facteurs irréductibles, on ne considèrera dans la suite que le cas où il n’y a qu’un seul tel facteur. Si \( M \) n’est pas plate il existe alors un groupe de Lie simple \( G \) et un sous-groupe compact \( K \subset G \) tels que \( M \) soit localement isométrique à \( G/K \) muni d’une métrique \( G \)-invariante (une telle métrique est unique à un facteur réel \( >0 \) près : en effet la représentation \( K \to \mathrm{GL}(T_e(G/K)) \) est irréductible). Dans la suite on ne considèrera que le cas où \( G \) est non-compact : le groupe \( K \) est alors forcément un sous-groupe compact maximal (unique à conjugaison près dans \( G \)). On notera dans la suite \( X = G/K \) (appelé l’espace symétrique associé à \( G \)).

Comme \( G/K \) est simplement connexe on a alors (si \( M \) est complète, en particulier si elle est compacte) une isométrie \( M \cong \Gamma \bs X \) où \( \Gamma \subset G \) est un sous-groupe discret, sans torsion. En effet ces conditions sont équivalentes à ce que l’action de \( \Gamma \) sur \( X \) soit libre—\( \Gamma \) n’intersecte aucun conjugué de \( K \)—et proprement discontinue : pour tout \( x \in X \) et tout sous-ensemble compact \( D \ni x \) l’ensemble \( \{ g\in\Gamma:\: gD \cap D \not= \emptyset \} \) soit fini. Ces deux conditions réunies sont équivalentes à ce que pour tout \( x\in X \) il existe un voisinage \( U \) de \( x \) tel que \( gU \cap U = \emptyset \) pour tout \( g \in \Gamma – \{e\} \), i.e. le quotient \( \Gamma\bs X \) est une variété localement isométrique à \( X \). Enfin \( M \) est compacte si et seulement si \( \Gamma\bs G \) est compact, et de volume fini si et seulement si ce dernier est de volume fini pour la mesure qui s’accorde localement à la mesure de Haar de \( G \). On dit alors que \( \Gamma \) est un réseau de \( G \). On appelera souvent \( X \)-variété, une variété localement isométrique à \( X \).

Exemples d’espaces symétriques:

• Si \( G = \PSL_2(\RR),\, K = \PSO(2) \) alors \( X \) est isométrique au plan hyperbolique \( \HH^2 \), l’unique surface riemannienne complète, simplement connexe et de courbure sectionelle constamment égale à \( -1 \).
• On a \( \PSL_2(\RR) \cong \SO(2,1)^\circ \) ; plus généralement, si \( G = \SO(n, 1)^\circ, \, K = \SO(n)\) alors \( X \) est isométrique à l’espace hyperbolique \( \HH^n \) de dimension \( n \).

Exemples de réseaux :

• Le sous-groupe \( \PSL_2(\ZZ) \subset \PSL_2(\RR) \) est un réseau non-cocompact. Il contient des éléments de torsion, mais le sous-groupe
  \[
  \Gamma(2) = \left\{ \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right) \in \PSL_2(\ZZ) : a,d = 1 \pmod{2}, \, b,c = 0 \pmod{2} \right\}
  \]
  est sans torsion. Le quotient \( \Gamma(2) \bs \HH^2 \) est difféomorphe à la sphère moins trois points.
• Construire des réseaux cocompacts de \( \PSL_2(\RR) \) est plus compliqué (les exposés suivants expliqueront une construction générale). La construction dans le groupe isomorphe \( \SO(2,1) \) est plus simple à expliquer : par exemple, si \( q \) est la forme quadratique défine sur \( \RR^3 \) par :
  \[
  q(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + x_2^2 – 3x_3^2
  \]
  alors le sous-groupe discret \( \SL_3(\ZZ) \cap \SO(q) \) est un réseau cocompact dans \( \SO(q) \cong \SO(2,1) \) (Le point important est que \( q \) n’aie pas de zéro non-trivial dans \( \ZZ^3 \)).

On peut alors se poser la question suivante : étant donné un espace symétrique \( X \) et une \( X \)-variété compacte \( M \), quel est la srtucture de l’ensemble des \( X \)-variétés isospectrales à \( M \)? La première observation est la suivante :

Fait : Les ensembles de variétés localement symétriques isospectrales sont finis

Pour \( X = \HH^2 \) on a énoncé ce fait plus haut ; dans les autres cas il y a en fait au plus un nombre fini de variétés de volume donné (ce dernier résultat est bien connu mais relativement difficile à prouver).

On a vu plus haut que la méthode de Sunada permet de construire de nombreux ensembles isospectraux de \( X \)-variétés pour n’importe quel \( X \) ; pour certains espaces localement symétriques on dispose en plus des constructions arithmétiques :

• En dimensions 2 et 3, Marie-France Vignéras (1980) a construit des paires de variétés hyperboliques isospectrales qui ne sont pas des revêtements d’une même variété.
• Si \( X = \SL_3(\RR) / \SO(3)\) (un espace de dimension 5) alors Lubotzky–Samuels–Vishne (2005) ont construit des quotients \( M_1, M_2 \) de \( X \) qui sont isospectraux non-isométriques et qui satisfont la propriété plus forte suivante : il n’existe pas de variété qui soit un revêtement fini à la fois de \( M_1 \) et de \( M_2 \). On dit alors que \( M_1 \) et \( M_2 \) sont non-commensurables.

La preuve de ces résultats repose sur des formules de trace, qui permettent en particulier de relier le spectre des quotients arithmétiques aux classes de conjugaison d’éléments semisimples dans les \( \QQ \)-groupes correspondants et à des données « locales » (c-à-d venant des points sur les entiers \( p \)-adiques pour \( p \) un nombre premier) pour les réseaux de congruence.

Commensurabilité

Un théorème dû à Alan Reid (qui prédate la construction de Lubotzky–Samuels–Vishne) affirme que si \( X = \HH^2 \) ou \( X = \HH^3 \) alors toute paire de \( X \)-variétés isospectrales sont en fait commensurables. Des travaux récents de G. Prasad et A. Rapinchuk étudient la généralisation de ce résulat à tous les espaces localement symétriques. Un cas particulier de leur résultats est le théorème suivant :

Théorème : Soient \( M_1, M_2 \) deux variétés hyperboliques compactes de dimension \( n \). Si \( n \not= 1 \pmod 4 \) alors \( M_1 \) et \( M_2 \) sont commensurables.

Pour tout \( n = 4m + 5 \) Prasad–Rapinchuk construisent de plus des variétés dont les spectres des longueurs sont commensurables (i.e. \( \QQ\mathcal L(M_1) = \QQ\mathcal L(M_2) \)) mais qui ne sont pas elle-mêmes commensurables. La question de construire des variétés isospectrales dans ces dimensions est encore ouverte.

Références

Survols :

• Carolyn Gordon, Survey of isospectral manifolds, in Handbook of Differential Geometry vol. I (Elsevier 2000), copie pdf ici.

Variétés plates :

• J. Conway, chapitre 2 de The sensual (quadratic) form, Carus mathematical monographs.
• Tetra and Didi, the cosmic spectral twins, Peter G. Doyle et Juan Pablo Rossetti, http://arxiv.org/abs/math/0407422v3

Compacité des ensembles isospectraux de surfaces :

• B. Osgood, R. Phillips, P. Sarnak, Extremals of determinants of Laplacians et Compact isospectral sets of metrics, J. Func. Anal. 1988.

Méthode de Sunada :

• Robert Brooks, The Sunada method. Tel Aviv Topology Conference: Rothenberg Festschrift (1998), 25–35, Contemp. Math. 231, 1999.
• Carolyn Gordon, Sunada’s Isospectrality Technique: Two Decades Later, Contemporary Mathematics Volume 484, 2009.
• D. McReynolds, Isospectral locally symmetric manifolds, http://arxiv.org/abs/math/0606540v2.

Surfaces hyperboliques :

• H.P. McKean, Selberg’s trace formula as applied to a compact Riemann surface, Comm. Math. 1982.
• Peter Buser, Geometry and spectra of compact Riemann surfaces, Birkäuser.

Espaces localement symétriques :

• P. Petersen, Chapitre 8 de Riemannian Geometry 2^d edition, Springer 2006.

Variétés arithmétiques isospectrales :

• Marie-France Vignéras, Arithmétique des algèbres de quaternions, Springer lecture notes 800.
• Alex Lubotzky, Beth Samules, Uzi Vishne, Division algebras and non-commensurable isospectral manifolds, http://arXiv.org/abs/math/0501064v1.
• Alan W. Reid, Traces, lengths, axes and commensurability, annales de Toulouse 2014 http://afst.cedram.org/afst-bin/fitem?id=AFST_2014_6_23_5_1103_0.
• Gopal Prasad, Andrei Rapinchuk, Weakly commensurable groups, with applications to differential geometry, http://arxiv.org/abs/1307.1479v2.

3) Formules de trace et spectre des longueurs

Formule de Poisson

Soit \( f \) une fonction dans l’espace de Schwartz \( \mathcal{S}(\RR) \), \( \hat f \) sa transformée de Fourier (définie par \( \hat f(t) = \frac 1 {2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{it}f(t)dt \)). La formule de Poisson est l’égalité :
\[
\sum_{k\in\ZZ} f(k) = \sum_{l\in\ZZ} \hat f(2\pi l).
\]
On remarque que :

• \( 2\pi\ZZ – \{0\} \) est l’ensemble des longueurs des géodésiques fermées du cercle \( \mathbb{T}^1 = \RR/2\pi\ZZ \) et de leurs inverses ;
• \( \{k^2 :\: k\in\ZZ \) est le spectre de l’extension autoadjointe \( P \) à \( L^2(\mathbb{T}^1) \) du Laplacien \( -d^2/d\theta^2 \) ;

Si \( f \) est on fonction paire et on écrit \( f(\lambda) = F(\lambda^2) \) le côté droit de la formule de Poisson est donc égal à \( \tr F(P) \) (où \( F(P) \) est l’opérateur obtenu à partir de \( F \) et \( P \) par calcul spectral, i.e. il est défini par \( F(P)e_j = F(\lambda_j)e_j \) sur une base hilbertienne (e_j) diagonalisant \( P \)).

On rappelle la notation :
\[
N(\lambda) = |\{ j :\: \lambda_j \le \lambda \}|.
\]
La dérivée (au sens des distributions) de \( N \) est donnée par
\[
N'(\lambda) = \sum_{j\ge 0} \delta_{\lambda_j}
\]
(où \( \delta_\lambda \) désigne la masse de Dirac en \( \lambda \)) et on peut ainsi écrire :
\[
\tr F(P) = \int_{-\infty}^{+\infty} F(\lambda) N'(\lambda) d\lambda = \int_{-\infty}^{+\infty} F(\lambda) dN(\lambda).
\]
Une conséquence de la formule de Poisson est donc que la distribution sur \( \RR \) correspondant via la transformée de Fourier à la mesure spectrale \( dN \) a son support singulier sur les longueurs des géodésiques fermées sur \( \mathbb{T}^1 \). Ce dernier énoncé reste vrai pour des variétés riemanniennes plus générales.

Formule de Selberg

Soit \( S \) une surface de Riemann compacte de genre \( g > 1 \) munie de sa métrique hyperbolique (i.e. à courbure constante \( – 1 \)). Soient \( \lambda_j, j\ge 0 \) les valeurs propres du laplacien sur \( S \), que l’on écrira sous la forme :
\[
\lambda_j = \frac 1 4 + \ell_j^2, \quad \ell_j \in [i/2, 0] \cup [0, +\infty[.
\]
Pour une fonction \( f \) convenable (i.e. dans une classe de fonctions test) la formule des traces de Selberg est alors l’égalité :
\[
\sum_{j\ge 0} f(\ell_j) = (2g – 2)\int_{-\infty}^{+\infty} \rho \tanh(\rho) f(\pi\rho) d\rho + \sum_{\gamma\in\mathcal P} \sum_{m\ge 1} \frac{\ell(\gamma)}{2\sinh(m\ell(\gamma)/2)} \hat f(m\ell(\gamma))
\]
où :

• \( \mathcal P \) est l’ensemble des géodésiques fermées de \( S \) ;
• Si \( \gamma \in \mathcal P \) on désigne par \( \ell(\gamma) \) sa longueur ;
• \( \hat f(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\rho)cos(t\rho) d\rho \).

En particulier, pour une telle surface \( S \) on voit que le spectre du laplacien et le spectre des longueurs :
\[
\mathcal L = \{ \ell(\gamma) :\: \gamma\in\mathcal P \}
\]
se déterminent mutuellement (ceci reste vrai pour une métrique « générique » sur une surface de genre supérieur, cf. Colin de Verdière).

4) Comment compter les valeurs propres/Elements de preuve de la formule de Weyl

On revient à la situation générale où \( M \) est une variété riemannienne fermée et \( \lambda_j, j\ge 0 \) le spectre de son Laplacien. On rappelle que \( N(\lambda) = |\{ j:\: \lambda_j \le \lambda \}| \). Si \( 1_I \) désigne la fonction caractéristique d’un intervalle \( I\subset\RR \) on peut écrire : \(N(\lambda) = \tr 1_{[0,\lambda]}(P) \). Comme on veut étudier les asymptotiques en \( \lambda \to +\infty \) on écrit \( \lambda = 1/h^2 \) et il vient :
\[
N(\lambda) = \tr 1_{[0,1]}(h^2 P).
\]
On veut étudier le côté droit via une formule des traces, mais la discontinuité de \( 1_{[0,1]} \) pose problème pour ce faire.

On introduit une approximation de l’unité \( \rho_\eps = \eps^{-1}\rho(\eps^{-1}\cdot), \eps>0 \) où \( \rho \) est une fonction de Schwartz sur \( \RR \) d’intégrale 1. On fixe aussi une fonction lisse, positive à support compact \( \chi \) valant 1 sur l’intervalle \( [0,1] \). Il vient alors :
\[
\begin{array}{ll}
\tr 1_{[0,1]}(h^2 P) &= \tr \left((1_[0,1] \cdot \chi)(h^2 P)\right) \\
&= \tr \left((1_[0,1]*\rho_\eps) \cdot \chi (h^2P)\right) + \tr \left(r_\eps(P)\chi(h^2 P)\right)
\end{array}
\]
où \( r_\eps \) est un terme de reste. Le premier terme ci-dessus s’écrit plus explicitement :
\[
(\rho_\eps * 1_{[0,1]})(h^2 P) = \frac 1 \eps \int_0^1 \rho\left(\frac{h^2P – \mu}{\eps} \right) d\mu
\]
et il vient par la formule d’inversion de Fourier que l’on a :
\[
\begin{array}{ll}
\rho\left(\frac{h^2P – \mu}{\eps} \right) &= \frac 1 {2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{it\left(\frac{h^2P – \mu}{\eps} \right)} \hat \rho(t) dt \\
&= \frac \eps {2\pi h} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{\frac{it} h (h^2P – \mu)} \hat \rho(t/T) dt
\end{array}
\]
où \( T = h/\eps \). On a donc besoin de :

• a) Comprendre \( e^{\frac{it}h(h^2P – \mu)} \) pour des valeurs \( t = O(T) \) ;
• b) Contrôler le reste \( r_\eps \).

Pour la partie b) on utilise aussi l’étude de \( \rho((\eps^{-1}(h^2 P – \mu)) \) : on prend une fonction \( \rho \) centrée en 0 de sorte qu’il existe un \( \delta > 0 \) tel que \( \rho(\lambda) > c \) pour \( |\lambda| \le \delta \) et encore
\[
\rho(\eps^{-1}(\lambda – \mu)) > c \text{ pour } |\lambda – \mu| < \eps\delta.
\]
Ceci permet de contrôler efficacement le reste.

On veut maintenant étudier :
\[
\tr\left( \rho\left(\frac{h^2 P – \mu}\eps \right) \chi(h^2 P) \right) = \frac \eps{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \tr\left( e^{\frac {it} h (h^2 P – \mu)} \chi(h^2 P) \right) \hat \rho(t/T) dt ;
\]
on remarque que l’opérateur \( \chi(h^2 P) e^{\frac {it} h (h^2 P – \mu)} \) est à trace vu que \( \chi(h^2 P) \) de rang fini. En particulier il a (par des théorèmes généraux) un noyau intégral \( K \), c’est à dire une fonction lisse sur \( M\times M \) telle que
\[
\chi(h^2 P) e^{\frac {it} h (h^2 P – \mu)} \phi(x) = \int_M K(x,y)f(y) d\mathrm{vol}(y).
\]
On a alors :
\[
\tr\left( \chi(h^2 P) e^{\frac {it} h (h^2 P – \mu)} \right) = \int_M K(x,x) dx.
\]
Pour les valeurs \( t = O(T) \) on a une approximation pour \( K \) de la forme suivante (\( n = \dim M \)):
\[
K(x, y) \sim h^{-\frac{3n} 2} \int_{T^*M} e^{ih^{-1}\Phi(t,x,y,z,\zeta)} A_h(t,x,y,z,\zeta) \, d(z,\zeta)
\]
(l’intégrale est prise pour la mesure naturelle sur le cotangent \( T^*M \)).

On a donc au final une expression de la forme :
\[
\tr\left(\chi(h^2 P)\rho_\eps(h^2 P) \right) \sim h^{-\frac{3n} 2} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_M \int_{T^*M} e^{\frac{i\Phi(t,x,x,\zeta)} h} A_h(t,x,x,z,\zeta) \, d(z,\zeta) \, dx \, \hat\rho(t/T) dt
\]
et le côté droit peut s’étudier à l’aide de la méthode de phase stationnaire. Cette dernière donne un développement asymptotique de la forme :
\[
\int_{\RR^d} e^{i\frac {F(Y)} h}A(Y) dY \sim h^{\frac d 2} \sum_{Y_c} \frac{e^{\frac i h F(Y_c)}} {\det(F »(Y_c)/2\pi i)^{1/2}} A(Y_c),
\]
où la somme prort sur les points critiques de la fonction \( F \) (les points où la différentielle s’annule). Dans le cas ci-dessus ces points critiques sont liés aux longueurs des géodésiques fermées sur \( M \) ; en particulier, en considérant \( h \) tel que \( T^{-1} \) soit borné et \( T < \mathrm{inj}(M) \) on peut obtenir la loi de Weyl avec le terme d'erreur \( O(\lambda^{(n-1)/2}) \).

Références

Lien avec le spectre des longueurs :

• https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~ycolver/All-Articles/73a.pdf
• https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~ycolver/All-Articles/73b.pdf
• Jacques Chazarain ; Formule de Poisson pour les variétés riemanniennes, Inventiones Math. 24 (1974), 65-82.
• J. J. Duistermaat, V. W. Guillemin ; The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacteristics, Inventiones math. 29 (1975), 39-79

Métriques aléatoires

A la fin de l’exposé la possibilté d’obtenir de meilleurs termes d’erreurs dans la formule de Weyl en moyennant sur des ensembles de métriques a été évoquée, quelques travaux sur le même thème mais dans des directions différentes.

• Y. Canzani, D. Jakobson and J. Toth. « On the distribution of propagated Schrodinger eigenfunctions. » Jour. of Spectral Theory 4 (2) (2014), 283-307.
• Y. Canzani, D. Jakobson and I. Wigman. « Scalar curvature and Q-curvature of random metrics. » Journal of Geometric Analysis, Volume 24, Issue 4 (2014), 1982-2019. DOI 10.1007/s12220-013-9406-9

(Ces articles sont disponibles sur la page web de D. Jakobson : http://www.math.mcgill.ca/jakobson/mypapers.html.)

Soit \((M^n,g)\) une variété riemannienne. On se donne une carte locale :
\[
\begin{array}{ll}
M\supset U \to \mathbb{R}^n \\
m \mapsto (x_1(m), \ldots,x_n(m))
\end{array}
\]
et on écrit la métrique en coordonnées locales dans \(U\) comme \(g = \sum_{i,j=1}^n g_{ij} dx_i dx_j\) (la matrice \(\left(g_{ij}(x)\right)_{i,j}\) est une symétrique et définie positive en tout point \(x\in M\)).

\( M \) est munie d’une forme volume qui s’écrit en coordonnées locales :
\[
d\mathrm{vol}_g = \sqrt{\bar g} dx_1\wedge\ldots\wedge dx_n
\]
(où \( \bar g = \det(g_{ij})) \). Le laplacien de \( (M,g) \) est alors l’unique opérateur différentiel \( \Delta_g \) sur \( C_0^\infty(M) \) qui vérifie
\[
-\int_M (\Delta_g \varphi)\psi d\mathrm{vol}_g = \int_M \langle \nabla_g\varphi, \nabla_g\psi\rangle d\mathrm{vol}_g
\]
pour toutes \( \varphi,\psi \in C_0^\infty(M) \). Ici \( \nabla_g \) est l’opérateur gradient associé à \( g \), défini en coordonnées locales par :
\[
\nabla_g \phi = \left(\begin{array}{ccc}
g^{11} & \ldots & g^{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
g^{n1} & \ldots & g^{nn}
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
\partial_{x_1}\phi \\
\vdots \\
\partial_{x_n}\phi
\end{array}\right)
\]
(ici \( (g^{ij}) \) est la matrice inverse de \( (g_{ij}) \)). On peut alors exprimer le laplacien en coordonnées :
\[
\begin{array}{ccc}
\Delta_g\phi &=& \frac 1{\sqrt{\bar g}} \sum_{i,j} \partial_{x_i}\left( g^{ij}\sqrt{\bar g} \partial_{x_j}\phi \right) \\
&=& \sum_{i,j} g^{ij} \partial_{x_i x_j}^2\phi + \text{termes d’ordre 1}.
\end{array}
\]
On appelle symbole principal de \( \Delta_g \) la fonction définie par
\[
p(x,\xi) = \sum_{i,j} g^{ij}(x) \xi_i \xi_j
\]
pour \( (x,\xi) \in T^*M \).

Réalisation autoadjointe

Dans la suite on considèrera un opérateur non-borné \( P \) défini sur un domaine \( D(P) \subset L^2(M,\mathrm{vol}_g) \) à valeurs dans \( L^2(M, \mathrm{vol}_g) \) qui est auto-adjoint et qui vérifie \( C_0^{\infty}(M) \subset D(P) \) et \( P|_{C_0^\infty} = \Delta_g \). La condition que \( P \) soit auto-adjoint signifie en particulier que pour toutes \( \phi,\psi \in D(P) \) on a
\[
(P\phi, \psi)_{L^2} = (\phi, P\psi)_{L^2}
\]
(c’est une conséquence de la définition du laplacien pour les fonctions lisses), et il s’y ajoute une condition de maximalité sur le domaine que l’on ne précisera pas.

Il peut exister plusieurs \( P \) ayant les propriétés ci-dessus (par exemple quand \( M \) est est l’intérieur d’une variété à bord on peut imposer des conditions de Dirichlet ou Neumann au bord qui donnent chacune une extension différente). Quand \( (M, g) \) est complète (en particulier si \( M \) est une variété fermée) l’extension auto-adjointe de \( \Delta_g \) à \( L^2(M, \mathrm{vol}_g) \)est unique.

Spectre de \( P \)

Le spectre \( \sigma(P= \) est défini comme le complémentaire dans \( \mathbb C \) de l’ensemble résolvant
\[
\rho(P) := \{ z\in\mathbb{C} :\: P – z\mathrm{Id}_{D(P)} \text{ est inversible} \},
\]
autrement dit \( \sigma(P) = \mathbb{C} – \rho(P) \). Quelques exemples :

• Si \( M = \mathbb{R}^n \) on a \( \sigma(P) = [0,+\infty[ \) ;
• Si \( M = \mathbb{T}^n := \mathbb{R}^n / (2\pi \mathbb{Z})^n \) on a \( \sigma(P) = \{ k_1^2 + \ldots + k_n^2 : (k_1,\ldots,k_n)\in\mathbb{Z}^n \} \) ;
• Si \( M = \mathbb{H}^n \) (espace hyperbolique de dimension \( n\)) on a \( \sigma(P) = [ \frac{(n-1)^2} 4, +\infty [ \) ;
• Si \( M = \mathbb{S}^n \) on a \( \sigma(P) = \{ k(k + n – 1) : k\in\mathbb{N} \} \).

En général on a le résultat suivant.

Proposition. Si \( M \) est une variété fermée alors \( \sigma(P) \) est une sous-ensemble discret infini de \( [0, +\infty [ \) et \( 0 < \dim\ker(P – \lambda\mathrm{Id}) < +\infty \) pour tout \(\lambda \in \sigma(P) \).

En pratique ceci signifie que l’on peut écrire \( \sigma(P) \) sous la forme :
\[
\sigma(P) = \{ \lambda_0 \le \lambda_1 \le \ldots \le \lambda_n \le \ldots \}
\]
avec \( \lambda_n \to +\infty \). Cette écriture sous-entend que chaque valeur propre est indiquée un nombre de fois égal à sa multiplicité \( \dim\ker(P – \lambda\mathrm{Id}) \).

Si deux opérateurs \( P,Q \) sur des espaces de Hilbert \( \mathcal H,\mathcal H’ \) sont entrelacés par une application unitaire \( U : \mathcal H \to \mathcal H’ \) (i.e. \( U \) est définie et inversible \( D(P) \to D(Q)\) et on a \( Q = U^{-1} P U \)) alors clairement \( \sigma(P) = \sigma(Q) \). En particulier, si \( F \) est une isométrie entre deux variétés riemanniennes fermées \( (M,g) \) et \( M’, g’\) alors \( U(f) = f\circ F \) vérifie les conditions ci-dessus pour les extensions auto-adjointes des laplaciens de \( M \) et \( M’ \) et il suit que ces derniers ont le même spectre.

2) Liens entre spectre et géométrie

Un premier lien entre spectre et géométrie est le fait que si \( M \) est fermée alors \( 0 \) est valeur propre de \( P \) et sa multiplicité est égale au nombre de composantes connexes de \( M \).

Y. Colin de Verdière a démontré que pour tout \( d \ge 3 \) et pour toute suite finie \( 0 = \lambda_0 \le \lambda_1 \le \ldots \le \lambda_N \) il existe une variété fermée \( M \) de dimension \( d \) telle que les \( N \) premières valeurs propres du laplacien de \( M \) soient exactement \( \lambda_1,\ldots,\lambda_n \).

Haut du spectre

On étudie les asymptotiques des grandes valeurs propres de \( P \) à travers la fonction de comptage :
\[
N(\lambda) := |\{ \lambda_j\in\sigma(P) :\: \lambda_j\le\lambda \}|
\]
(les valeurs propres sont toujours comptées avec multiplicités).

Formule de Weyl. On a
\[
N(\lambda) = \frac{\omega_n}{(2\pi)^n} \mathrm{vol}_g(M) \cdot\lambda^{\frac n 2} + R(\lambda)
\]
où \( n = \dim M \), \(\omega_n \) est le volume de la boule unité de \( \mathbb{R}^n\) et \( R(\lambda) = o(\lambda^{n/2}) \).

Les asymptotiques sur \( R(\lambda) \) peuvent être améliorées :

• En général on a \( R(\lambda) = O(\lambda^{(n-1)/2}) \) (Lévitan, Avakumovic, Hörmander).
• Si la mesure (pour la mesure de Liouville sur le fibbré tangent) des vecteurs tangents à des géodésiques périodiques est nulle alors on a \( R(\lambda) = o(\lambda^{(n-1)/2}) \) (Duistermaat–Guillemin).
• Si les courbures sectionelles de \( (M,g) \) sont toutes \( < 0 \) alors on a \( R(\lambda) = O(\lambda^{(n-1)/2})/\log(\lambda) \) (Bérard).

.

Dans le cas de la sphère de dimension \( n \) on a
\[
N(\lambda_k) = \frac 2{n!}\lambda_k^{\frac n 2} + \frac 1{(n-1)!}\lambda_k^{\frac{(n-1)} 2} + O(\lambda_k^{\frac{(n-2)} 2}
\]
ce qui prouve que les estimées du premier point ci-dessus sont optimales en général (on remarque que toutes les géodésiques de la sphère sont périodiques de période \( 2\pi \)).

Références

Livres :

• Marcel Berger, Paul Gauduchon, Edmond Mazet ; Le spectre d’une variété riemannienne, Springer LNM
• Peter Buser ; Geometry and Spectra of Compact Riemann Surfaces
  Birkhauser
• Isaac Chavel ; Eigenvalues in Riemannian Geometry,
  Academic Press
• Michael Taylor ; Partial Differential Equations II (ch. 8)
  Springer
• Maciej Zworski ; Semiclassical analysis, Graduate Studies in Math.

Surveys :

• Robert S. Strichartz ; Analysis of the Laplacian on the complete Riemannian manifold, J. Funct. Anal. 52 (1983), no. 1, 48?79.
• https://fr.wikipedia.org/wiki/Géométrie_spectrale
• https://math.berkeley.edu/~alanw/240papers03/vitocruz.pdf
• http://www.fis.puc.cl/~rbenguri/122.pdf
• http://www.emis.de/journals/SC/1996/1/pdf/smf_sem-cong_1_233-252.pdf

Video :

• (Maciej Zworski) https://www.youtube.com/watch?v=6naQjMdvaHM

Prescription du spectre :

• https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~ycolver/All-Articles/87a.pdf

Lien avec le spectre des longueurs :

• https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~ycolver/All-Articles/73a.pdf
• https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~ycolver/All-Articles/73b.pdf
• Jacques Chazarain ; Formule de Poisson pour les variétés riemanniennes, Inventiones Math. 24 (1974), 65-82.
• J. J. Duistermaat, V. W. Guillemin ; The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacteristics, Inventiones math. 29 (1975), 39-79