Lycée Pierre d’Aragon (Muret) – Noeuds et entrelacs

Lundi matin, les élèves de seconde du lycée Pierre d’Aragon de Muret sont arrivés à l’université Paul Sabatier pour un stage d’initiation à la recherche, appelé stage hippocampe. Ils allaient pendant trois journées marathon réfléchir sur les noeuds et les entrelacs. C’est un sujet délicat sur lequel il peut être utile de s’emmêler les pinceaux !

Regardons un peu ce qui se cache derrière le mot peu courant : entrelacs. Un exemple d’entrelacs est donné par les anneaux sur la photo ci-contre. Cet entrelacs est apparu il y a bien longtemps à plusieurs moments de l’histoire. On les appelle parfois les anneaux Borroméens en référence à la famille italienne des Borromeo qui les utilisaient en décoration de ses armoiries. Un entrelacs est un enchevêtrement de plusieurs cordes fermées de façon à ce qu’il n’y ait pas de bout. Un noeud est le cas où l’entrelacs ne possède qu’une corde.

Lorsque l’entrelacs considéré est formé de cordes non nouées entre elles ou individuellement, on parle de l’entrelacs trivial. En déformant les cordes d’un entrelacs mais sans les couper, on peut chercher à savoir s’il est trivial ou non. Par exemple, les anneaux Borroméens forment-ils un entrelacs trivial ? De façon général, comment être certain qu’un entrelacs n’est pas trivial ? En effet, il est parfois possible de démêler des sacs de noeuds ! Lorsqu’il n’y a qu’une seule corde, la question devient : comment savoir si un noeud est le noeud trivial ? C’est une des premières questions que l’on peut se poser sur les noeuds et les entrelacs et on ne sait toujours pas donner une réponse complète.

Après de longues heures de réflexion, les élèves du lycée Pierre d’Aragon ont préparé des posters pour présenter leurs trouvailles. En allant leur poser des questions, les membres de l’institut de mathématiques ont entendu parler :

• d’entrelacs brunniens (ou anneaux Borroméens),
• du noeud trivial et de ses représentations,
• de tresses,
• ou encore d’invariants pour distinguer les entrelacs de l’entrelacs trivial.

Dans à peine plus de deux mois auront lieu les jeux olympiques de Rio. Les cinq anneaux olympiques forment un entrelacs. Est-ce l’entrelacs trivial ? Les anneaux olympiques peuvent faire penser aux entrelacs brunniens. Cependant, est-ce que ces entrelacs sont les mêmes et si non, comment peut-on les distinguer ?