Hippocampe maths

L’année 2016/2017 s’achève déjà. Il est temps de penser à l’année prochaine ! N’hésitez pas à contacter mon remplaçant à l’adresse suivante : julio.rebelo@math.univ-toulouse.fr si vous êtes intéressé. Contrairement à ce que j’ai annoncé à quelques personnes, nous devrions être en mesure d’organiser quelques stages hippocampe.

Cette année, nous avons accueilli avec plaisir les établissements suivants :

• Lycée Raymond Savignac de Villefranche de Rouergue – 13, 14 et 15 décembre 2016,
• Lycée Françoise de Tournefeuille – 10, 11 et 12 janvier 2017,
• Lycée Rive Gauche de Toulouse – 16, 17 et 18 janvier 2017,
• Lycée Saint-Exupéry de Blagnac – 25, 26 et 27 janvier 2017,
• Lycée Nougaro de Caussade – 19, 20 et 21 avril 2017,
• Lycée Fermat de Toulouse – 15, 16 et 17 mai 2017.

La présentation des posters d’un stage se déroule le dernier des trois jours de stage, c’est-à-dire en général le mercredi de 13h30 à 15h30, dans le hall du bâtiment 1R3 de l’institut de Mathématiques de Toulouse à l’université Paul Sabatier. Cette année cependant, plusieurs stages n’ont pas eu lieu les trois premiers jours de la semaine du fait des lundis fériés. Venez donc rencontrer et écouter les élèves qui vous raconteront leurs recherches avec enchantement !

Les 1ères S du lycée Fermat arrivent à l’université lundi matin, le 15 mai, au beau milieu des partiels qui occupent une grande partie des étudiants. Ils ne sont pas là pour passer un examen mais plutôt pour s’initier à la recherche en mathématiques dans le cadre d’un stage Hippocampe. Leurs thèmes de réflexion seront la topologie et la notion de distance. Ils sont loin de deviner ce qui les attend !

Les mathématiciens qui travaillent dans le domaine de la topologie, littéralement “étude d’un lieu”, sont intéressés par des propriétés que possèdent un espace et qui ne changent pas lorsque l’espace se déforme continûment. L’un des premiers problèmes de topologie est celui des sept ponts de Königsberg. L’image ci-contre montre un plan de la ville de Königsberg et met en valeur sept de ces ponts. On se demande s’il est possible de traverser toute la ville en passant par tous les ponts, une seule fois. La réponse à cette question ne dépend pas de l’emplacement précis des ponts, ni de la forme exacte de la rivière et c’est en ce sens que c’est une question de topologie.

La question de la mesure de longueurs est plus ancienne car utilisée par les géomètres pour arpenter les terres agricoles dès 3000 avant J.C. en Egypte ancienne. Avoir une notion de distance permet de faire une comparaison plus fine des figures que l’on souhaite étudier mais c’est une notion qui est plus contraignante et qui n’est donc pas adapter à tous les problèmes. De nos jours, la notion de distance apparaît dans des domaines très variés, et plus uniquement pour mesurer la Terre. Les élèves du lycée Fermat ont vu qu’elle pouvait être utile pour comparer des degrés d’amitié dans un cercle d’amis ou des ressemblances entre deux images.

La première demi-journée de recherche a été frustrante. Il a fallu comprendre le problème avant même de pouvoir commencer à chercher à y répondre. Mais les choses se sont débloquées petit à petit et à la fin du deuxième jour, chaque groupe d’élèves avaient finalement trouvé des résultats à présenter à ses camarades. Le troisième jour, il ne restait aux chercheurs en herbe plus qu’à préparer de jolis posters pour ensuite présenter leurs découvertes aux membres de l’institut de mathématiques.

Les doctorants, les chercheurs, les enseignants-chercheurs et même certains participants de la conférence internationale qui avait lieu la même semaine, ont pu écouter les élèves de 1ère S leur parler de :

• la formule d’Euler, reliant les nombres de sommets, d’arêtes et de faces d’un polyèdre (ou d’un graphe),
• du problème de relier trois maisons à l’eau, au gaz et à l’électricité sans risque,
• des surprises qui apparaissent lorsque l’on fait de la géométrie sur la Terre, comme le fait que la somme des angles dans un triangle ne vaut pas 180°,
• de cercle qui ne sont pas des cercles,
• de graphe que l’on ne veut pas dessiner mais que l’on veut quand même comprendre,
• et d’images qui se ressemblent peut-être.

On modélise le site internet des stages hippocampe par un graphe dont les sommets sont les pages et les arêtes correspondent aux liens qui permettent de passer d’une page à l’autre. On suppose que les arêtes sont de longueur 1. Pouvez-vous donner la distance maximale entre deux pages internet du site ?

Mardi 10 janvier 2017. Depuis la veille l’eau a envahi la station de métro de Saint-Agne. Chacun arrive comme il peut à l’Université Paul Sabatier, qui à pied, qui en bus à travers les embouteillages… C’est donc avec un peu de retard que les élèves de 1°S du lycée Françoise de Tournefeuille accompagnés de leurs professeurs arrivent pour participer à leur stage Hippocampe. Un enseignant-chercheur les attend pour leur expliquer les bases de leur thème de recherche  : les permutations sur des ensembles finis.

Il s’agit pour eux d’une découverte. Permutations et dénombrements ont disparu depuis quelques années des programmes du lycée. Comment compter le nombre de façons d’ordonner les éléments d’un ensemble ?
Il n’est pas difficile de voir qu’il y a 2 façons de le faire lorsque l’ensemble a deux éléments, et qu’il y en a 6 pour un ensemble de trois éléments.

Ce sont les permutations de ces ensembles. Les élèves découvrent ainsi les factorielles : le calcul 3 x 2 x 1 qui permet de compter le nombre de permutations d’un ensemble à 3 éléments se note : 3! (factorielle 3).

Et ainsi de suite… Le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments est égal à
n x (n-1) x (n-2) x … x 2 x 1 = n!

Notation d’un cycle de trois éléments

Ils découvrent ensuite les transpositions, permutations très simples qui échangent deux éléments de l’ensemble en laissant les autres invariants. Puis les cycles, ou permutations circulaires, qui font “tourner” certains éléments en laissant les autres invariants.
Une transposition est un cycle de deux éléments.

Prenons un exemple. Faisons agir sur l’ensemble de 5 éléments
{a, b, c, d, e} la permutation notée  : (a, b, c) (d, e).
Voyez ci-contre ce que nous obtenons au fur et à mesure :
a, b et c tournent entre eux, d et e  font de même. Nous constatons qu’il nous faut faire agir 6 fois de suite la permutation pour que tous les éléments retrouvent leur place d’origine. La période de cette permutation est égale à 6.

Les élèves apprennent aussi que toutes les permutations d’un ensemble fini peuvent se décomposer en un produit de cycles.

Il existe des utilisations amusantes de la théorie des permutations.
Le jeu de Taquin consiste, en utilisant la case laissée libre, à déplacer les petites plaques coulissantes d’un cadre (comme celui qui figure ci-contre) pour ranger les nombres dans l’ordre croissant. Par exemple, dans le cas de la figure ci-contre, il faudrait réussir en faisant coulisser les cases à inverser les places de 14 et 15. L’étude des permutations permet de montrer que cela est impossible.

C’est également une étude de permutations qui peut nous permettre de connaître le nombre de configurations possibles du fameux Rubik’s Cube. Ce nombre est considérable, plus de 43 milliards de milliards !

Les élèves se sont complètement pris au jeu de la recherche, même si les questions posées étaient difficiles, même si la fatigue se faisait parfois sentir en fin de journée ! Le dernier après-midi du stage, ils ont exposé les posters qu’ils avaient réalisé  le matin même pour résumer leur travail. Les enseignants-chercheurs de l’institut de mathématiques ont pu leur poser des questions sur :

• l’étude des profils d’une permutation
• un puzzle avec deux cycles emboîtés
• une étude d’addition et de multiplication en rapport avec l’arithmétique
• la recherche de la plus longue période possible pour les permutations d’un ensemble donné
• une étude des dérangements
• la période moyenne d’un point.

Considérons les nombres de 1 à 2018 rangés dans l’ordre croissant. Parmi les permutations proposées ci-dessous, saurez-vous dire lesquelles, répétées, permettent de ranger les nombres dans l’ordre inverse ?

1. On peut permuter entre eux deux nombres arbitraires.
2. On peut permuter entre eux deux nombres voisins.
3. On peut permuter entre eux deux nombres à condition qu’ils ne soient séparés que par un seul nombre.
4. On peut permuter deux nombres à condition qu’entre eux il y ait exactement deux nombres.
5. On peut choisir trois nombres et appliquer entre eux une permutation circulaire.

Lundi matin, les élèves de seconde du lycée Pierre d’Aragon de Muret sont arrivés à l’université Paul Sabatier pour un stage d’initiation à la recherche, appelé stage hippocampe. Ils allaient pendant trois journées marathon réfléchir sur les noeuds et les entrelacs. C’est un sujet délicat sur lequel il peut être utile de s’emmêler les pinceaux !

Regardons un peu ce qui se cache derrière le mot peu courant : entrelacs. Un exemple d’entrelacs est donné par les anneaux sur la photo ci-contre. Cet entrelacs est apparu il y a bien longtemps à plusieurs moments de l’histoire. On les appelle parfois les anneaux Borroméens en référence à la famille italienne des Borromeo qui les utilisaient en décoration de ses armoiries. Un entrelacs est un enchevêtrement de plusieurs cordes fermées de façon à ce qu’il n’y ait pas de bout. Un noeud est le cas où l’entrelacs ne possède qu’une corde.

Lorsque l’entrelacs considéré est formé de cordes non nouées entre elles ou individuellement, on parle de l’entrelacs trivial. En déformant les cordes d’un entrelacs mais sans les couper, on peut chercher à savoir s’il est trivial ou non. Par exemple, les anneaux Borroméens forment-ils un entrelacs trivial ? De façon général, comment être certain qu’un entrelacs n’est pas trivial ? En effet, il est parfois possible de démêler des sacs de noeuds ! Lorsqu’il n’y a qu’une seule corde, la question devient : comment savoir si un noeud est le noeud trivial ? C’est une des premières questions que l’on peut se poser sur les noeuds et les entrelacs et on ne sait toujours pas donner une réponse complète.

Après de longues heures de réflexion, les élèves du lycée Pierre d’Aragon ont préparé des posters pour présenter leurs trouvailles. En allant leur poser des questions, les membres de l’institut de mathématiques ont entendu parler :

• d’entrelacs brunniens (ou anneaux Borroméens),
• du noeud trivial et de ses représentations,
• de tresses,
• ou encore d’invariants pour distinguer les entrelacs de l’entrelacs trivial.

Dans à peine plus de deux mois auront lieu les jeux olympiques de Rio. Les cinq anneaux olympiques forment un entrelacs. Est-ce l’entrelacs trivial ? Les anneaux olympiques peuvent faire penser aux entrelacs brunniens. Cependant, est-ce que ces entrelacs sont les mêmes et si non, comment peut-on les distinguer ?

Le stage hippocampe, d’initiation à la recherche pour les lycéens, accueille cette semaine les élèves de première S du lycée Françoise de Tournefeuille. Après un court trajet en bus, les élèves arrivent à l’université où ils découvrent le thème : géométries. Le “s” à la fin est important. Les élèves ne se sont pas contenter de faire de la géométrie comme Euclide en a fait 300 ans avant J.C.. Ils ont aussi découvert et réfléchi sur les autres géométries inventées par les mathématiciens depuis : géométrie sphérique, géométrie hyperbolique, géométrie projective…

Jetons un coup d’oeil à la géométrie sphérique en se plaçant sur la Terre : disons que vous partez du pôle Nord, parcourez ensuite un quart du globe de façon à atteindre l’équateur, déplacez-vous ensuite vers l’Est de façon à parcourir à nouveau un quart du globe et finissez en remontant vers le pôle Nord. En regardant les angles définis par les tangentes des courbes tracées sur la Terre, on remarque que le triangle obtenu possède trois angles droits. Bizarre. N’avez-vous pas appris que la somme des angles d’un triangle doit être égale à 180° ?

Pour étudier les triangles, les carrés ou les autres formes dessinées sur la sphère, il faut donc travailler avec des résultats différents et modifier son intuition. Il est aussi possible de définir une géométrie dans laquelle la somme des angles d’un triangle est inférieur à 180°. Elle s’appelle la géométrie hyperbolique. Elle peut paraître artificielle mais elle est tout aussi utile que les autres, si ce n’est plus. Pour vous en convaincre, jetez un coup d’oeil aux vidéos vulgarisées sur la relativité proposées par Lê sur son blog. La douzième vidéo porte sur la géométrie hyperbolique.

Le géomètre mesure aussi des distances. On a presque tous entendu parler de la distance euclidienne qui se calcule en prenant la racine carrée de la somme des carrées des coordonnées (ouf !).  Elle nous permet de mesurer des distances dans le plan mais ne convient plus sur la sphère ou en géométrie hyperbolique. Mais ce ne sont pas les seuls exemples d’espaces avec distance (le terme mathématique est “espace métrique”). En effet, lorsqu’on se promène sur la Terre en voiture ou en train, on ne peut pas toujours suivre les ligne droite de la sphère car on est contraint par les routes et les voies ferrées. On peut alors définir tout un tas de distances en fonction des problèmes que l’on considère.

Pendant les trois jours du stage, les élèves du lycée Françoise ont cherché à démêler les droites euclidiennes des droites sphériques ou des droites hyperboliques et ça n’a pas été facile ! Ils ont finalement écrits de beaux posters sur les sujets suivants :

• la formule d’Euler,
• les solides de Platon,
• le jeux Double,
• les ours,
• New York et Paris,
• la géométrie hyperbolique,
• les arbres métriques, et
• la comparaison de photos en noir et blanc.

Comme on le voit sur la première photo, il est possible de tracer un triangle ayant trois angles droits sur la sphère. Savez-vous tracer un carré dont la somme des angles vaut 3π ? Vous avez le long weekend pour trouver la solution !

Cette semaine, les élèves de première S du lycée Nougaro de Caussade sont venus à l’institut de mathématiques de Toulouse pour effectuer un stage hippocampe. Accompagnés par leurs professeurs, ils se sont essayés à la recherche sur le thème des télécommunications.

On croise souvent des antennes téléphoniques lorsqu’on se promène dans la nature. Comment choisit-on de les placer à un endroit plutôt qu’à un autre ? Où faut-il placer l’antenne suivante ? Les paramètres techniques de l’antenne rentrent en jeu pour nous donner la portée de chaque antenne mais il faut aussi prendre en compte le fait que la portée de l’antenne dépend de la densité de la population.

Pendant trois jours, les lycéens du lycée Nougaro ont réfléchi aux meilleures solutions pour résoudre ce problème de communication. Certains ont supposé que les antennes couvraient une surface circulaire, d’autres ont envisagé qu’elles couvraient une surface ayant la forme d’une ellipse et les derniers ont même envisagé des formes biscornues.

Heureusement, pour reposer leurs neurones, les lycéens ont profité de leurs soirées à Toulouse pour visiter le centre ville et pour aller voir au théâtre la Cantatrice Chauve, qui se coiffe toujours de la même façon. Ont-ils cherché à paver le décor à carreaux avec les gros fauteuils de façon à améliorer la communication entre les personnages ?

Mercredi, c’était déjà le moment de présenter leur travaux aux membres de l’institut de mathématiques. Ils ont donc fait un circuit de posters pour les plaisirs des curieux qui ne comprenaient pas pourquoi leur téléphone ne capte pas toujours aussi bien qu’ils le souhaiteraient. Ces derniers connaissent maintenant les solutions à proposer à leur opérateur téléphonique pour améliorer la situation !

Les ondes téléphoniques peuvent se superposées et, dans l’idéal, la zone de couverture qu’elles définissent doit comporter le moins de trous possibles. Supposons maintenant que vous voulez ranger des oranges dans un camion pour les emmener de Valencia à Toulouse. Cette fois-ci, les oranges ne peuvent plus se chevaucher et elles occupent de l’espace et non une surface. Saurez-vous les ranger de façon à en mettre le plus possible dans le camion ? Disons que le camion possède un espace rectangulaire de 10m*2m*3m et qu’une orange fait 8cm de diamètre, combien pouvez-vous mettre d’oranges dans le camion ? Si l’espace disponible dans le camion n’est plus rectangulaire mais cylindrique, est-ce que vous mettrez plus, moins ou autant d’oranges dans le même volume ?

Les élèves de première S du lycée Saint-Sernin sont venus à l’institut de mathématiques de Toulouse les 9, 10 et 11 mars pour participer à un stage hippocampe, d’initiation à la recherche.  Le sujet de la semaine était bien mystérieux : les nombres (ir)rationnels et les fractions continues.

Un nombre rationnel est une fraction, par exemple 3/4. Par opposition, un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas se mettre sous la forme d’une fraction de deux nombres entiers. Les premiers exemples de nombres irrationnels auxquels on peut penser sont √2 ou π. Il n’est pas forcément évident de montrer qu’ils sont irrationnels mais c’est un bon exercice de s’essayer sur √2.

Une manière de décrire un nombre est d’utiliser sa décomposition décimale. Cependant, il arrive que cette décomposition soit infinie. C’est le cas pour les nombre irrationnel mais aussi pour certains nombres rationnels comme 1/3 ou 2/7. Dans ce stage, les élèves du lycée Saint-Sernin ont découvert une autre façon de décrire les nombres : à l’aide des fractions continues.

Il est facile de comprendre comment fonctionnent les fractions continue sur les nombres rationnels. Si vous cherchez la fraction continue associée au nombre 9/5, il vous suffit de dessiner un carré de 9 par 5. Retirer ensuite le plus grand carré possible : ici, ce sera un carré de 5*5. Réitérer cette opération : le prochain carré sera de 4*4. Pour les quatre prochaines étapes, vous trouverez des carrés de taille 1*1. La fraction continue associée à 9/5 est donc 1+1/(1+4). À vous : pouvez-vous donner la fraction continue associée à la fraction 8/5 ?

Passons maintenant aux nombres irrationnels et basons-nous sur la même idée. Considérons un rectangle de côtés 1 et π. Le plus grand carré que l’on peut retirer de ce rectangle est un carré de taille 1*1, et on pourra en retirer 3 de cette taille. En continuant comme précédemment, on trouve alors la fraction continue associée à π. Les fractions continues permettent d’approcher très efficacement les nombres par des fractions.

Pendant trois jours, les premières S de Saint-Sernin ont formalisé et étudié plus en détail la notion de fraction continue. Ils ont ensuite préparé des posters pour les présenter aux membres de l’institut de mathématiques sur les sujets suivants :

• convergence des fractions continues ;
• monotonie de cette convergence ;
• qualité de l’approximation donnée par une fraction continue ;
• l’incommensurabilité de la diagonale ;
• la périodicité dans les développements décimaux ou en fraction continue.

Pour aller plus loin : supposer acquis le résultat de John Wallis suivant

π/2 = 2*∏(1-1/(2i+1)²),

où le produit ∏ est sur tous les i≥1. En déduire la fraction continue associée à 4/π. Vous serez alors surpris de découvrir une formule très simple donnant une très bonne approximation du nombre irrationnel 4/π.

Les élèves de terminale S du lycée Berthelot de Toulouse sont venus cette semaine à l’institut de mathématiques de l’université Paul Sabatier. Ils étaient là dans le but d’effectuer un stage d’initiation à la recherche sur le thème des valeurs extrêmes et plus particulièrement sur les données des crues et des débits de la Loire et de la Garonne.

Barrage de Villerest

La gestion de l’eau est importante pour éviter les inondations ou les pénuries. On met parfois en place des barrages sur les fleuves ou les rivières dans le but de réguler le débit du cours d’eau. À l’aide des données de débits d’un cours d’eau à un endroit fixé et à des intervalles de temps réguliers, peut-on analyser l’influence de la mise en place d’un barrage ? Quels sont les modèles mathématiques les plus pertinents pour obtenir des informations intéressantes ?

Les élèves du lycée Berthelot ont planché sur ces questions pendant trois jours et ils ont présenté leurs solutions aux membres de l’institut de mathématiques à l’aide de posters sur les sujets suivants :

• influence d’un barrage,
• choix du modèle de modélisation et
• liens entre les débits de différentes stations de la Loire ou de la Garonne.

Cette semaine, ce sont les élèves de 1ère S du lycée Victor Hugo de Colomiers qui sont venus s’initier à la recherche à l’institut de mathématiques de l’université Paul Sabatier. Ils étaient ravis lorsqu’ils ont pris le bus en direction de l’université ! Leur thème de recherche les attendait : ce sera les nombres complexes.

Deux fonctions polynomiales

Les nombres complexes ont été introduits pour comprendre les zéros des polynômes. Sur le dessin à gauche, on voit le graphe de deux fonctions polynomiales de degré 3. Un exemple de telle fonction est donnée par l’application qui à un réel x associe le réel x³+x. Essayer de tracer cette fonction : pour x = 0, elle vaut 0³+0 = 0 ; pour x=1, elle vaut 1³+1 = 2 ; pour x=2, elle vaut 2³+2 = 10… et ainsi de suite. Sur le dessin, on voit que la courbe jaune coupe trois fois l’axe horizontal. Par contre, la courbe orange ne le coupe qu’une fois. Les nombres complexes permettent de comprendre ce que le dessin ne montre pas : les deux autres points où la courbe coupe l’axe horizontal.

Cercle trigonométrique et nombres complexes

Dans les formules de Gerolamo Cardano et de Raphaël Bombelli, il y avait une quantité impossible : √-1. Connaissez-vous un nombre qui élevé au carré donne -1 ? S’il n’existe pas encore, ce n’est pas grave, on va le définir et l’appeler i. On aura alors i² = -1. Mais attention, il n’est pas le seul, on a aussi (-i)² = -1. Comment comprendre ce nombre ? Le dessin sur la droite va nous aider. Lorsque l’on part de 1, on peut arriver à -1 en faisant une rotation d’angle 180º et de centre 0. Une autre façon de faire, si on n’est pas sportif, est de commencer par une rotation de 90° et de centre 0, de faire une pause, puis de continuer avec une rotation de 90° de centre 0. Au final, on aura fait une rotation d’angle 180° et de centre 0. Voilà notre représentation géométrique de i, il correspond à une rotation d’angle 90° et de centre 0. Si on répète cette opération deux fois, on tombera sur -1.

Pendant trois jours, les élèves de Colomiers se sont creusés les méninges sur des questions abstraites à propos des nombres complexes. Ils ont ensuite présenté leurs travaux aux membres de l’institut de mathématiques à l’aide de posters sur les sujets suivants :

• les propriétés des nombres complexes,
• les relations entre les coefficients d’un polynôme et ses racines,
• les liens entre les nombres complexes et la trigonométrie,
• la méthode de Cardano et
• la résolution d’équations polynomiales de degré 3 particulières.

Les vacances de Noël approchent. Avez-vous suffisamment bien travailler ?

La route des vacances

La professeure de la classe des 1ères S du lycée Victor Hugo veut empêcher ses élèves de partir en vacances. Pour cela, elle a installé des murs en orange sur la photo à gauche. La professeur est en 0 et les élèves en 1. Comment à l’aide de transformations obtenues avec les nombres complexes (et les nombres réels), les élèves peuvent-ils sortir de la classe en -1 et partir en vacances ? Aide : les nombres réels permettent de faire des déplacements sur les droites passant par 0 : par exemple, le nombre réel 2 permet de passer de 1 à 2 (on appelle ces transformations des homothéties) ; les nombres complexes qui sont sur le cercle jaune permettent de faire des déplacements sur le cercle centré en zéro et de rayon notre distance à 0 : par exemple, si on est en 1, le nombre complexe i permet de faire un quart de tour pour se trouver en i. Ceci étant dit, vous n’avez pas le droit passer en i car il y a un mur !

Les 30 novembre, 1er et 2 décembre, les élèves de 1ère S du lycée Fermat de Toulouse sont venus à l’institut de mathématiques de l’université de Toulouse. Ils étaient motivés pour s’attaquer au défi qui les attendait : les noeuds, les tresses et les entrelacs.

Noeud

Un noeud est une ficelle fermée dans l’espace. On considère que deux noeuds sont les mêmes si on peut bouger la ficelle pour passer de l’un à l’autre. Attention : il est interdit de couper la ficelle et de la recoller. Une question difficile sur les noeuds est de savoir si un noeud se déforme en une boucle simple (juste un cercle). On dit alors que le noeud est trivial. À votre avis, le noeud sur la photo est-il trivial ?

Après trois jours de réflexion, les élèves du lycée Fermat sont maintenant des spécialistes en herbes des noeuds et des tresses. Ils ont présenté aux membres de l’institut de mathématiques des posters sur les sujets suivants :

• la résolution des points doubles,
• les entrelacs,
• le coloriage d’un noeud,
• les diagrammes de noeud et
• les tresses.

Certains élèves se sont posés la question de fabriquer un entrelacs (un ensemble de noeuds entrelacés) vérifiant la propriété suivante : tous les noeuds sont accrochés, mais si l’on retire un des noeuds (n’importe lequel), alors tous les noeuds se retrouvent détachés. Un tel exemple d’entrelacs (avec trois fils) est donné par les anneaux Borroméens. La famille italienne, les Borromeo, utilisait ces anneaux pour symboliser leur force lorsqu’ils étaient unis. Saurez-vous relier ces anneaux au problème suivant ? La professeure de mathématiques des élèves de première S du lycée Fermat souhaite attacher tous ses élèves  à des barreaux avec une grande chaine, de façon à ce qu’ils ne puissent pas partir en vacances avant la fin des cours. La chaine est accrochée à tous les élèves, elle est ensuite entourée autour des différents barreaux et attachée à nouveau aux élèves. La professeure de mathématiques décide de donner une chance aux élèves, elle va scier un barreau (c’est elle qui choisit le barreau et non les élèves). Les élèves enroulent eux-même la chaine autour des différents barreaux, pouvez-vous les aider à être libérés lorsque la professeure sciera un barreau (bien sûr, il faut que la chaine soit au moins attachée à un barreau, sinon la professeure décidera d’attacher elle-même les élèves) ? Le jeu en vaut la chandelle : s’ils sont libres, les élèves partiront en vacances un jour plus tôt !