Hippocampe maths

Les 1ères S du lycée Fermat arrivent à l’université lundi matin, le 15 mai, au beau milieu des partiels qui occupent une grande partie des étudiants. Ils ne sont pas là pour passer un examen mais plutôt pour s’initier à la recherche en mathématiques dans le cadre d’un stage Hippocampe. Leurs thèmes de réflexion seront la topologie et la notion de distance. Ils sont loin de deviner ce qui les attend !

Les mathématiciens qui travaillent dans le domaine de la topologie, littéralement “étude d’un lieu”, sont intéressés par des propriétés que possèdent un espace et qui ne changent pas lorsque l’espace se déforme continûment. L’un des premiers problèmes de topologie est celui des sept ponts de Königsberg. L’image ci-contre montre un plan de la ville de Königsberg et met en valeur sept de ces ponts. On se demande s’il est possible de traverser toute la ville en passant par tous les ponts, une seule fois. La réponse à cette question ne dépend pas de l’emplacement précis des ponts, ni de la forme exacte de la rivière et c’est en ce sens que c’est une question de topologie.

La question de la mesure de longueurs est plus ancienne car utilisée par les géomètres pour arpenter les terres agricoles dès 3000 avant J.C. en Egypte ancienne. Avoir une notion de distance permet de faire une comparaison plus fine des figures que l’on souhaite étudier mais c’est une notion qui est plus contraignante et qui n’est donc pas adapter à tous les problèmes. De nos jours, la notion de distance apparaît dans des domaines très variés, et plus uniquement pour mesurer la Terre. Les élèves du lycée Fermat ont vu qu’elle pouvait être utile pour comparer des degrés d’amitié dans un cercle d’amis ou des ressemblances entre deux images.

La première demi-journée de recherche a été frustrante. Il a fallu comprendre le problème avant même de pouvoir commencer à chercher à y répondre. Mais les choses se sont débloquées petit à petit et à la fin du deuxième jour, chaque groupe d’élèves avaient finalement trouvé des résultats à présenter à ses camarades. Le troisième jour, il ne restait aux chercheurs en herbe plus qu’à préparer de jolis posters pour ensuite présenter leurs découvertes aux membres de l’institut de mathématiques.

Les doctorants, les chercheurs, les enseignants-chercheurs et même certains participants de la conférence internationale qui avait lieu la même semaine, ont pu écouter les élèves de 1ère S leur parler de :

• la formule d’Euler, reliant les nombres de sommets, d’arêtes et de faces d’un polyèdre (ou d’un graphe),
• du problème de relier trois maisons à l’eau, au gaz et à l’électricité sans risque,
• des surprises qui apparaissent lorsque l’on fait de la géométrie sur la Terre, comme le fait que la somme des angles dans un triangle ne vaut pas 180°,
• de cercle qui ne sont pas des cercles,
• de graphe que l’on ne veut pas dessiner mais que l’on veut quand même comprendre,
• et d’images qui se ressemblent peut-être.

On modélise le site internet des stages hippocampe par un graphe dont les sommets sont les pages et les arêtes correspondent aux liens qui permettent de passer d’une page à l’autre. On suppose que les arêtes sont de longueur 1. Pouvez-vous donner la distance maximale entre deux pages internet du site ?

19 avril 2017.  Un autobus transportant trente-cinq jeunes gens d’une classe de 1ère S et quelques-uns de leurs professeurs, en provenance de Caussade, s’arrête à l’Université Paul Sabatier. Les uns sont élèves et les autres enseignants du lycée Claude Nougaro de cette ville. Ces élèves viennent s’initier pendant trois jours à la recherche en mathématiques sous la férule d’un enseignant-chercheur. Deux doctorants sont là également pour les soutenir pendant ces journées dans leur travail de recherche.

Les apprentis chercheurs découvrent rapidement quel sera leur thème de recherche : les coniques.
Voilà qui est (presque) nouveau pour ces élèves ! Certes, ils ont travaillé au lycée avec des paraboles, en tant que représentations de fonctions de degré 2. Ils ont aussi rencontré en seconde quelques hyperboles, représentations de fonctions homographiques. Mais l’étude plus approfondie des propriétés des coniques a disparu des programmes de lycée, et en particulier l’étude des ellipses.
Tout commence par des définitions, et voici celles qui leur sont données pour ellipses et hyperboles. Elles concernent la distance des points de la conique à leurs foyers. La somme des distances d’un point de l’ellipse à ses deux foyers est constante. Pour l’hyperbole, c’est la différence de ces deux distances qui est constante.

Hyperbole en rouge

Au travail ! Un peu de géométrie dans l’espace pour commencer. Partant des définitions ci-dessus, il va falloir étudier la section d’un cône par un plan, et montrer que, suivant l’inclinaison de ce plan cette section peut parfois être une ellipse… ,

parfois une hyperbole…

Toujours selon l’inclinaison du plan, l’intersection avec le cône peut aussi être une parabole. Les élèves n’auront pas à étudier ce cas.

La voilà, l’origine du mot “conique” !

Pour arriver à prouver ces résultats, les élèves vont devoir démontrer quelques propriétés géométriques des cercles et triangles, pour certaines quelque peu oubliées… Ils ont besoin de bissectrices pour obtenir le cercle inscrit dans un triangle, utilisent des tangentes à un cercle, ou encore le théorème de Pythagore pour montrer des égalités de longueur…

Une autre manière d’aborder ellipses et hyperboles : les définir au moyen d’équations après avoir choisi le repère dans lequel travailler. Voilà encore une occasion d’utiliser le théorème de Pythagore, et en avant pour les calculs !

Déterminer une expression du cosinus d’un angle quelconque dans un triangle se révèle nécessaire pour aborder ensuite les  propriétés importantes de réflexion dans une ellipse et dans une parabole. Un groupe d’élèves est à la recherche de cette expression et doit pour cela utiliser des notions récemment vues en classe, notions de trigonométrie, de vecteurs directeurs de droites. Ils rencontrent même au passage la propriété d’Al Kashi, généralisation du théorème de Pythagore à un triangle quelconque.

Réflexivité dans l’ellipse

Un autre groupe aborde la propriété de réflexivité dans une ellipse. Cette propriété importante nous dit que si un rayon passe par l’un des foyers de l’ellipse, alors il passera par l’autre foyer après avoir été réfléchi par l’ellipse.
Une propriété bien utile en optique : plaçons une source lumineuse sur l’un des deux foyers, après reflexion les rayons lumineux se concentreront sur l’autre foyer.
Ou bien en acoustique : dans un lieu de forme elliptique, un son même faible émis de l’un des foyers est bien perçu par une personne se trouvant à l’emplacement de l’autre foyer. Cette propriété est connue depuis des siècles.

Chambre à écho

Des salles de l’abbaye de La Chaise Dieu pouvaient ainsi servir à la confession des lépreux, sans que le confesseur ait besoin d’approcher ces derniers. Les chuchotements émis par le lépreux à l’endroit d’un foyer étaient clairement perçus par le confesseur placé en l’autre foyer, et pas ailleurs…

Dans le métro parisien aussi, deux personnes situées aux deux foyers de la voûte elliptique peuvent converser d’un quai à l’autre sans être entendues.

Réflexivité dans la parabole

Pour démontrer la propriété de réflexivité d’une parabole, comme pour démontrer celle de l’ellipse,  les élèves se lancent dans de longs calculs dans le but d’établir des égalités d’angles. Ces égalités  permettront ensuite d’utiliser la loi de Snell-Descartes et de prouver qu’un rayon parallèle à l’axe de la parabole se réfléchit sur son foyer.
Cette propriété a de multiples applications, à commencer  par l’existence des antennes paraboliques. Il s’agit en fait de paraboloïdes, obtenus par révolution d’une parabole autour de son axe. Un paraboloïde peut être un émetteur aussi bien qu’un récepteur. Les rayons parallèles à l’axe sont concentrés au point focal. Réciproquement, des rayons émis depuis ce point focal sont renvoyés en un faisceau de rayons parallèles. Cette double fonctionnalité permet d’utiliser des paraboloïdes comme relais hertziens dans des régions accidentées où la télévision et la téléphonie mobile ne passeraient pas.

Les coniques nous concernent de bien des manières… sans oublier notre Terre qui décrit dans l’espace une ellipse dont un des foyers est le Soleil. Sans oublier les orbites variées des comètes. Orbites elliptiques pour celles qui repassent de manière prévisible sous nos yeux… ou ceux de nos descendants. Paraboliques, hyperboliques pour d’autres, qui ne reviendront jamais…

Vendredi, début d’après-midi. La matinée a été consacrée à la fabrication de posters. Les élèves accrochent maintenant les posters dans le hall du bâtiment de mathématiques. Enseignants-chercheurs et doctorants ne vont pas tarder à venir lire leurs travaux, et leur poser des questions à ce sujet…
Place aux travaux des élèves :

Allez, encore deux petites questions ! Saurez-vous retrouver et expliquer la méthode dite “méthode du jardinier” pour tracer une ellipse ?
Et saurez-vous trouver une méthode analogue pour tracer une hyperbole ?

Les élèves du lycée Nougaro ont aussi fait parlé d’eux et du stage hippocampe dans la presse ici.

Le mercredi 25 janvier, les 30 élèves d’une classe de terminale S du lycée Saint-Exupéry arrivent à l’Université Paul Sabatier pour participer à un stage Hippocampe. Ils viennent s’initier pendant trois jours aux joies et aux difficultés de la recherche. Leur professeur de mathématiques, un enseignant-chercheur et trois doctorants sont là pour les aider si besoin dans ce travail.

Le thème du stage paraît familier à première vue : les distances. Mais quand le plus court chemin d’un point à un autre n’est pas la ligne droite, tout se complique !

 Traçons des ensembles de points  tous situés à la même distance d’un point donné. Nous obtenons des courbes appelées courbes “d’isodistance”. Dans le cas classique, comme sur la figure ci-contre, ces ensembles sont des cercles. Les élèves ont obtenu la médiatrice de deux points donnés (tracée en rouge), par la méthode du “Fast Marching”.

Mais si les courbes d’isodistance ne sont pas des cercles, comme par exemple les courbes de relief en montagne, la médiatrice n’est plus une droite. Sur la figure ci-contre, les élèves ont indiqué les courbes situées aux mêmes distances 1, 2, 3… de chacun de deux points donnés A et B. Quand deux courbes portant le même numéro ont un ou plusieurs points en commun, nous obtenons des points de la médiatrice.

D’autre part, les élèves se sont appliqué à montrer que le chemin le plus court pour aller du point A au point B (chemin tracé sur la figure) passe par les points de tangence de deux courbes d’isodistance.

Imaginons maintenant que nous nous déplaçons dans une ville quadrillée de rues rectilignes et perpendiculaires les unes aux autres, entourant des pâtés d’immeubles. Les élèves ont utilisé des feuilles de papier quadrillé pour modéliser la situation. Ils ont cherché et tracé les courbes d’isodistance sur ces grilles cartésiennes où il n’est possible de se positionner que sur les lignes des quadrillages. Ces courbes d’isodistance sont des points situés sur des carrés (on ne peut pas se déplacer sur les diagonales du quadrillage, chaque petit carré représentant un “immeuble”).
Avec cette contrainte, saurez-vous dire si le point appelé D sur la figure ci-contre est plus près de A ou de B ?

Délimitées en vert : cellules de Voronoï pour 4 points

Revenons à nos médiatrices. Étant donnés deux points dans le plan, la droite qui est à égale distance de ces deux points, la médiatrice, divise le plan en deux régions, chacune de ces régions contenant les points qui sont plus proches de l’un des points choisis au départ que de l’autre. Lorsqu’on ajoute des points, le même principe s’applique, et on obtient des cellules contenant les points plus proches de l’un des points fixés que de tous les autres. L’ensemble de ces cellules forment un diagramme de Voronoï dans le plan.

Cellules de Voronoï et triangulation de Delaunay avec 9 points

Les élèves vont ensuite tracer la triangulation de Delaunay : il s’agit de former un pavage (“partition”) de la surface délimitée par les points donnés à l’aide de triangles, de manière à ce que le cercle circonscrit à chacun de ces triangles ne contienne aucun autre des points donnés au départ.

On montre que, parmi toutes les triangulations possibles, celle de Delaunay maximise les plus petits angles. De cette manière, elle donne les triangles les moins aplatis possibles.

Sur la figure de gauche, il s’agit d’une triangulation de Delaunay pour 4 points.  Par contre, à droite, le 4ème point appartient aux cercles circonscrits aux triangles, il ne s’agit pas d’une triangulation de Delaunay.

Pour un nombre important de points, l’utilisation d’algorithmes devient nécessaire autant pour la construction de plus courts chemins que pour celle de cellules de Voronoï et de triangulations de Delaunay. Ce fut l’occasion pour les élèves de bâtir certains algorithmes.

Il existe de nombreuses applications à ces notions : déplacements de robots, étude de l’évolution de cellules cancéreuses, détermination de frontières sous-marines entre pays voisins, modélisation de réseaux téléphoniques, étude de la croissance des plantes…

On a même montré que le motif de la robe des girafes réticulées correspond avec une approximation satisfaisante à des cellules de Voronoï, explications à l’appui…

Après un travail intense, passionnant et souvent passionné, le dernier jour du stage a été consacré à la confection de posters.  Les élèves ont ainsi exposé leurs résultats et les membres de l’institut de mathématiques ont pu leur poser des questions au sujet :

• des plus courts chemins et de l’inégalité triangulaire,
• de déplacements dans les grilles cartésiennes,
• des graphes,
• de la triangulation de Delaunay,
• du trajet d’un rayon lumineux dans une fibre,
• du principe de Fermat.

Et à propos de triangles…

• Sauriez-vous inscrire un triangle équilatéral dans un carré de façon symétrique par rapport à une des diagonales de ce carré ?
• Et sauriez-vous construire un carré circonscrit de façon symétrique autour d’un triangle équilatéral ?

Mardi 10 janvier 2017. Depuis la veille l’eau a envahi la station de métro de Saint-Agne. Chacun arrive comme il peut à l’Université Paul Sabatier, qui à pied, qui en bus à travers les embouteillages… C’est donc avec un peu de retard que les élèves de 1°S du lycée Françoise de Tournefeuille accompagnés de leurs professeurs arrivent pour participer à leur stage Hippocampe. Un enseignant-chercheur les attend pour leur expliquer les bases de leur thème de recherche  : les permutations sur des ensembles finis.

Il s’agit pour eux d’une découverte. Permutations et dénombrements ont disparu depuis quelques années des programmes du lycée. Comment compter le nombre de façons d’ordonner les éléments d’un ensemble ?
Il n’est pas difficile de voir qu’il y a 2 façons de le faire lorsque l’ensemble a deux éléments, et qu’il y en a 6 pour un ensemble de trois éléments.

Ce sont les permutations de ces ensembles. Les élèves découvrent ainsi les factorielles : le calcul 3 x 2 x 1 qui permet de compter le nombre de permutations d’un ensemble à 3 éléments se note : 3! (factorielle 3).

Et ainsi de suite… Le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments est égal à
n x (n-1) x (n-2) x … x 2 x 1 = n!

Notation d’un cycle de trois éléments

Ils découvrent ensuite les transpositions, permutations très simples qui échangent deux éléments de l’ensemble en laissant les autres invariants. Puis les cycles, ou permutations circulaires, qui font “tourner” certains éléments en laissant les autres invariants.
Une transposition est un cycle de deux éléments.

Prenons un exemple. Faisons agir sur l’ensemble de 5 éléments
{a, b, c, d, e} la permutation notée  : (a, b, c) (d, e).
Voyez ci-contre ce que nous obtenons au fur et à mesure :
a, b et c tournent entre eux, d et e  font de même. Nous constatons qu’il nous faut faire agir 6 fois de suite la permutation pour que tous les éléments retrouvent leur place d’origine. La période de cette permutation est égale à 6.

Les élèves apprennent aussi que toutes les permutations d’un ensemble fini peuvent se décomposer en un produit de cycles.

Il existe des utilisations amusantes de la théorie des permutations.
Le jeu de Taquin consiste, en utilisant la case laissée libre, à déplacer les petites plaques coulissantes d’un cadre (comme celui qui figure ci-contre) pour ranger les nombres dans l’ordre croissant. Par exemple, dans le cas de la figure ci-contre, il faudrait réussir en faisant coulisser les cases à inverser les places de 14 et 15. L’étude des permutations permet de montrer que cela est impossible.

C’est également une étude de permutations qui peut nous permettre de connaître le nombre de configurations possibles du fameux Rubik’s Cube. Ce nombre est considérable, plus de 43 milliards de milliards !

Les élèves se sont complètement pris au jeu de la recherche, même si les questions posées étaient difficiles, même si la fatigue se faisait parfois sentir en fin de journée ! Le dernier après-midi du stage, ils ont exposé les posters qu’ils avaient réalisé  le matin même pour résumer leur travail. Les enseignants-chercheurs de l’institut de mathématiques ont pu leur poser des questions sur :

• l’étude des profils d’une permutation
• un puzzle avec deux cycles emboîtés
• une étude d’addition et de multiplication en rapport avec l’arithmétique
• la recherche de la plus longue période possible pour les permutations d’un ensemble donné
• une étude des dérangements
• la période moyenne d’un point.

Considérons les nombres de 1 à 2018 rangés dans l’ordre croissant. Parmi les permutations proposées ci-dessous, saurez-vous dire lesquelles, répétées, permettent de ranger les nombres dans l’ordre inverse ?

1. On peut permuter entre eux deux nombres arbitraires.
2. On peut permuter entre eux deux nombres voisins.
3. On peut permuter entre eux deux nombres à condition qu’ils ne soient séparés que par un seul nombre.
4. On peut permuter deux nombres à condition qu’entre eux il y ait exactement deux nombres.
5. On peut choisir trois nombres et appliquer entre eux une permutation circulaire.

Ce mardi 13 décembre au matin, un bus arrive à l’Université Paul Sabatier. Il amène 34 élèves de 1°S du lycée Raymond Savignac, partis très tôt de Villefranche de Rouergue, accompagnés de leurs enseignants. Trois jeunes élèves, accomplissant leur stage de 3ème, sont déjà sur place depuis la veille. Tous vont s’initier pendant trois jours à la recherche en mathématiques, avec l’aide d’enseignants-chercheurs et de doctorants de l’Université. Ils découvrent ce matin-là qu’ils vont avoir à  réfléchir sur les fractions continues, thème complètement nouveau pour eux.

Mais de quoi s’agit-il ?

Parlons un peu des nombres. Il y a ceux que l’on peut écrire de manière exacte sous forme décimale, comme 1,5. Ce sont les nombres décimaux.
Il y a  ceux qui sont le quotient de deux nombres entiers : ce sont les nombres rationnels, comme [latex]\large\frac{18}{35}[/latex], mais aussi comme 1,5 qui est égal à $latex\large\frac{3}{2}$ [latex]\large\frac{18}{35}[/latex], mais aussi comme 1,5 qui est égal à [latex]\large\frac{3}{2}[/latex].
Nous pouvons approcher la valeur de [latex]\large\frac{18}{35}[/latex] au moyen d’une écriture décimale :
[latex]\large\frac{18}{35}[/latex] ≈ 0,5142857 142857 142857.  Si nous continuons la division, la suite de chiffres 142857 se répétera  à l’infini. Cette suite de chiffres est appelée la période du nombre rationnel.
Et puis, il y a les nombres que l’on ne peut pas écrire sous forme de quotient d’entiers. Ce sont les irrationnels, dont le célèbre nombre  π, mais aussi comme √2 par exemple.

Nous pouvons approcher la valeur de π au moyen d’un nombre décimal : π≈3,1415926 par exemple.
Les fractions continues constituent une autre manière d’approcher la valeur d’un nombre, en quelque sorte une alternative à une écriture décimale.
Par exemple : π= 3+0,1415926… Or 0,1415926… =  [latex]\large\frac{1}{7,062513…}[/latex]
Donc : π = 3 + [latex]\large\frac{1}{7,062513…}[/latex].  Dans une première approximation, en négligeant 0,062513…,

nous obtenons donc : π≈ 3 + [latex]\large\frac{1}{7}[/latex].
En étant plus exigeants, nous pouvons voir que 0,062513… = [latex]\large\frac{1}{15,99659…}[/latex]
et donc écrire :
π = 3 + [latex]\large\frac{1}{7,062513…}[/latex]
= 3 + [latex]\large\frac{1}{7+\frac{1}{15,99659…}}[/latex].
Dans une deuxième
approximation, nous obtenons donc :
π≈ 3 + [latex]\large\frac{1}{7+\frac{1}{16}}[/latex]

Et ainsi de suite… nous empilerons les fractions à l’infini, cela ne s’arrêtera jamais !

De manière générale, n’importe quel nombre réel peut être écrit sous la forme d’une fraction continue. Pour éviter de remplir des pages de fractions (comme ci-contre !), on note plus simplement :
.

Pendant trois jours, avec passion, patience ou impatience, les élèves se sont creusé la tête pour explorer ces différentes notions et les propriétés des fractions continues. Et ce fut souvent difficile !
La dernière demi-journée, ils ont présenté les posters qu’ils avaient confectionné aux membres de l’institut de mathématiques qui ont ainsi pu leur poser des questions sur :

• l’irrationalité de la racine carrée de 2,
• les nombres rationnels et les fractions continues,
• la convergence des fractions continues,
• l’efficacité de cette convergence,
• la précision de l’approximation pour un nombre irrationnel,
• et une approximation de la racine carrée de 2.

Une blague de matheux :

Combien faut-il de mathématiciens pour changer une ampoule ? 
Réponse : 0,9999999…

(Les trois petits points signifient que la suite de 9 se poursuit jusqu’à l’infini).

Sauriez-vous expliquer cette réponse ?

Lundi matin, les élèves de seconde du lycée Pierre d’Aragon de Muret sont arrivés à l’université Paul Sabatier pour un stage d’initiation à la recherche, appelé stage hippocampe. Ils allaient pendant trois journées marathon réfléchir sur les noeuds et les entrelacs. C’est un sujet délicat sur lequel il peut être utile de s’emmêler les pinceaux !

Regardons un peu ce qui se cache derrière le mot peu courant : entrelacs. Un exemple d’entrelacs est donné par les anneaux sur la photo ci-contre. Cet entrelacs est apparu il y a bien longtemps à plusieurs moments de l’histoire. On les appelle parfois les anneaux Borroméens en référence à la famille italienne des Borromeo qui les utilisaient en décoration de ses armoiries. Un entrelacs est un enchevêtrement de plusieurs cordes fermées de façon à ce qu’il n’y ait pas de bout. Un noeud est le cas où l’entrelacs ne possède qu’une corde.

Lorsque l’entrelacs considéré est formé de cordes non nouées entre elles ou individuellement, on parle de l’entrelacs trivial. En déformant les cordes d’un entrelacs mais sans les couper, on peut chercher à savoir s’il est trivial ou non. Par exemple, les anneaux Borroméens forment-ils un entrelacs trivial ? De façon général, comment être certain qu’un entrelacs n’est pas trivial ? En effet, il est parfois possible de démêler des sacs de noeuds ! Lorsqu’il n’y a qu’une seule corde, la question devient : comment savoir si un noeud est le noeud trivial ? C’est une des premières questions que l’on peut se poser sur les noeuds et les entrelacs et on ne sait toujours pas donner une réponse complète.

Après de longues heures de réflexion, les élèves du lycée Pierre d’Aragon ont préparé des posters pour présenter leurs trouvailles. En allant leur poser des questions, les membres de l’institut de mathématiques ont entendu parler :

• d’entrelacs brunniens (ou anneaux Borroméens),
• du noeud trivial et de ses représentations,
• de tresses,
• ou encore d’invariants pour distinguer les entrelacs de l’entrelacs trivial.

Dans à peine plus de deux mois auront lieu les jeux olympiques de Rio. Les cinq anneaux olympiques forment un entrelacs. Est-ce l’entrelacs trivial ? Les anneaux olympiques peuvent faire penser aux entrelacs brunniens. Cependant, est-ce que ces entrelacs sont les mêmes et si non, comment peut-on les distinguer ?

Le stage hippocampe, d’initiation à la recherche pour les lycéens, accueille cette semaine les élèves de première S du lycée Françoise de Tournefeuille. Après un court trajet en bus, les élèves arrivent à l’université où ils découvrent le thème : géométries. Le “s” à la fin est important. Les élèves ne se sont pas contenter de faire de la géométrie comme Euclide en a fait 300 ans avant J.C.. Ils ont aussi découvert et réfléchi sur les autres géométries inventées par les mathématiciens depuis : géométrie sphérique, géométrie hyperbolique, géométrie projective…

Jetons un coup d’oeil à la géométrie sphérique en se plaçant sur la Terre : disons que vous partez du pôle Nord, parcourez ensuite un quart du globe de façon à atteindre l’équateur, déplacez-vous ensuite vers l’Est de façon à parcourir à nouveau un quart du globe et finissez en remontant vers le pôle Nord. En regardant les angles définis par les tangentes des courbes tracées sur la Terre, on remarque que le triangle obtenu possède trois angles droits. Bizarre. N’avez-vous pas appris que la somme des angles d’un triangle doit être égale à 180° ?

Pour étudier les triangles, les carrés ou les autres formes dessinées sur la sphère, il faut donc travailler avec des résultats différents et modifier son intuition. Il est aussi possible de définir une géométrie dans laquelle la somme des angles d’un triangle est inférieur à 180°. Elle s’appelle la géométrie hyperbolique. Elle peut paraître artificielle mais elle est tout aussi utile que les autres, si ce n’est plus. Pour vous en convaincre, jetez un coup d’oeil aux vidéos vulgarisées sur la relativité proposées par Lê sur son blog. La douzième vidéo porte sur la géométrie hyperbolique.

Le géomètre mesure aussi des distances. On a presque tous entendu parler de la distance euclidienne qui se calcule en prenant la racine carrée de la somme des carrées des coordonnées (ouf !).  Elle nous permet de mesurer des distances dans le plan mais ne convient plus sur la sphère ou en géométrie hyperbolique. Mais ce ne sont pas les seuls exemples d’espaces avec distance (le terme mathématique est “espace métrique”). En effet, lorsqu’on se promène sur la Terre en voiture ou en train, on ne peut pas toujours suivre les ligne droite de la sphère car on est contraint par les routes et les voies ferrées. On peut alors définir tout un tas de distances en fonction des problèmes que l’on considère.

Pendant les trois jours du stage, les élèves du lycée Françoise ont cherché à démêler les droites euclidiennes des droites sphériques ou des droites hyperboliques et ça n’a pas été facile ! Ils ont finalement écrits de beaux posters sur les sujets suivants :

• la formule d’Euler,
• les solides de Platon,
• le jeux Double,
• les ours,
• New York et Paris,
• la géométrie hyperbolique,
• les arbres métriques, et
• la comparaison de photos en noir et blanc.

Comme on le voit sur la première photo, il est possible de tracer un triangle ayant trois angles droits sur la sphère. Savez-vous tracer un carré dont la somme des angles vaut 3π ? Vous avez le long weekend pour trouver la solution !

Cette semaine, les élèves de première S du lycée Nougaro de Caussade sont venus à l’institut de mathématiques de Toulouse pour effectuer un stage hippocampe. Accompagnés par leurs professeurs, ils se sont essayés à la recherche sur le thème des télécommunications.

On croise souvent des antennes téléphoniques lorsqu’on se promène dans la nature. Comment choisit-on de les placer à un endroit plutôt qu’à un autre ? Où faut-il placer l’antenne suivante ? Les paramètres techniques de l’antenne rentrent en jeu pour nous donner la portée de chaque antenne mais il faut aussi prendre en compte le fait que la portée de l’antenne dépend de la densité de la population.

Pendant trois jours, les lycéens du lycée Nougaro ont réfléchi aux meilleures solutions pour résoudre ce problème de communication. Certains ont supposé que les antennes couvraient une surface circulaire, d’autres ont envisagé qu’elles couvraient une surface ayant la forme d’une ellipse et les derniers ont même envisagé des formes biscornues.

Heureusement, pour reposer leurs neurones, les lycéens ont profité de leurs soirées à Toulouse pour visiter le centre ville et pour aller voir au théâtre la Cantatrice Chauve, qui se coiffe toujours de la même façon. Ont-ils cherché à paver le décor à carreaux avec les gros fauteuils de façon à améliorer la communication entre les personnages ?

Mercredi, c’était déjà le moment de présenter leur travaux aux membres de l’institut de mathématiques. Ils ont donc fait un circuit de posters pour les plaisirs des curieux qui ne comprenaient pas pourquoi leur téléphone ne capte pas toujours aussi bien qu’ils le souhaiteraient. Ces derniers connaissent maintenant les solutions à proposer à leur opérateur téléphonique pour améliorer la situation !

Les ondes téléphoniques peuvent se superposées et, dans l’idéal, la zone de couverture qu’elles définissent doit comporter le moins de trous possibles. Supposons maintenant que vous voulez ranger des oranges dans un camion pour les emmener de Valencia à Toulouse. Cette fois-ci, les oranges ne peuvent plus se chevaucher et elles occupent de l’espace et non une surface. Saurez-vous les ranger de façon à en mettre le plus possible dans le camion ? Disons que le camion possède un espace rectangulaire de 10m*2m*3m et qu’une orange fait 8cm de diamètre, combien pouvez-vous mettre d’oranges dans le camion ? Si l’espace disponible dans le camion n’est plus rectangulaire mais cylindrique, est-ce que vous mettrez plus, moins ou autant d’oranges dans le même volume ?

Les élèves de première S du lycée Saint-Sernin sont venus à l’institut de mathématiques de Toulouse les 9, 10 et 11 mars pour participer à un stage hippocampe, d’initiation à la recherche.  Le sujet de la semaine était bien mystérieux : les nombres (ir)rationnels et les fractions continues.

Un nombre rationnel est une fraction, par exemple 3/4. Par opposition, un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas se mettre sous la forme d’une fraction de deux nombres entiers. Les premiers exemples de nombres irrationnels auxquels on peut penser sont √2 ou π. Il n’est pas forcément évident de montrer qu’ils sont irrationnels mais c’est un bon exercice de s’essayer sur √2.

Une manière de décrire un nombre est d’utiliser sa décomposition décimale. Cependant, il arrive que cette décomposition soit infinie. C’est le cas pour les nombre irrationnel mais aussi pour certains nombres rationnels comme 1/3 ou 2/7. Dans ce stage, les élèves du lycée Saint-Sernin ont découvert une autre façon de décrire les nombres : à l’aide des fractions continues.

Il est facile de comprendre comment fonctionnent les fractions continue sur les nombres rationnels. Si vous cherchez la fraction continue associée au nombre 9/5, il vous suffit de dessiner un carré de 9 par 5. Retirer ensuite le plus grand carré possible : ici, ce sera un carré de 5*5. Réitérer cette opération : le prochain carré sera de 4*4. Pour les quatre prochaines étapes, vous trouverez des carrés de taille 1*1. La fraction continue associée à 9/5 est donc 1+1/(1+4). À vous : pouvez-vous donner la fraction continue associée à la fraction 8/5 ?

Passons maintenant aux nombres irrationnels et basons-nous sur la même idée. Considérons un rectangle de côtés 1 et π. Le plus grand carré que l’on peut retirer de ce rectangle est un carré de taille 1*1, et on pourra en retirer 3 de cette taille. En continuant comme précédemment, on trouve alors la fraction continue associée à π. Les fractions continues permettent d’approcher très efficacement les nombres par des fractions.

Pendant trois jours, les premières S de Saint-Sernin ont formalisé et étudié plus en détail la notion de fraction continue. Ils ont ensuite préparé des posters pour les présenter aux membres de l’institut de mathématiques sur les sujets suivants :

• convergence des fractions continues ;
• monotonie de cette convergence ;
• qualité de l’approximation donnée par une fraction continue ;
• l’incommensurabilité de la diagonale ;
• la périodicité dans les développements décimaux ou en fraction continue.

Pour aller plus loin : supposer acquis le résultat de John Wallis suivant

π/2 = 2*∏(1-1/(2i+1)²),

où le produit ∏ est sur tous les i≥1. En déduire la fraction continue associée à 4/π. Vous serez alors surpris de découvrir une formule très simple donnant une très bonne approximation du nombre irrationnel 4/π.

Les élèves de terminale S du lycée Berthelot de Toulouse sont venus cette semaine à l’institut de mathématiques de l’université Paul Sabatier. Ils étaient là dans le but d’effectuer un stage d’initiation à la recherche sur le thème des valeurs extrêmes et plus particulièrement sur les données des crues et des débits de la Loire et de la Garonne.

Barrage de Villerest

La gestion de l’eau est importante pour éviter les inondations ou les pénuries. On met parfois en place des barrages sur les fleuves ou les rivières dans le but de réguler le débit du cours d’eau. À l’aide des données de débits d’un cours d’eau à un endroit fixé et à des intervalles de temps réguliers, peut-on analyser l’influence de la mise en place d’un barrage ? Quels sont les modèles mathématiques les plus pertinents pour obtenir des informations intéressantes ?

Les élèves du lycée Berthelot ont planché sur ces questions pendant trois jours et ils ont présenté leurs solutions aux membres de l’institut de mathématiques à l’aide de posters sur les sujets suivants :

• influence d’un barrage,
• choix du modèle de modélisation et
• liens entre les débits de différentes stations de la Loire ou de la Garonne.