Lycée Raymond Savignac (Villefranche de Rouergue) – Fractions continues

Ce mardi 13 décembre au matin, un bus arrive à l’Université Paul Sabatier. Il amène 34 élèves de 1°S du lycée Raymond Savignac, partis très tôt de Villefranche de Rouergue, accompagnés de leurs enseignants. Trois jeunes élèves, accomplissant leur stage de 3ème, sont déjà sur place depuis la veille. Tous vont s’initier pendant trois jours à la recherche en mathématiques, avec l’aide d’enseignants-chercheurs et de doctorants de l’Université. Ils découvrent ce matin-là qu’ils vont avoir à  réfléchir sur les fractions continues, thème complètement nouveau pour eux.

Mais de quoi s’agit-il ?

Parlons un peu des nombres. Il y a ceux que l’on peut écrire de manière exacte sous forme décimale, comme 1,5. Ce sont les nombres décimaux.
Il y a  ceux qui sont le quotient de deux nombres entiers : ce sont les nombres rationnels, comme \(\large\frac{18}{35}\), mais aussi comme 1,5 qui est égal à $latex\large\frac{3}{2}$ \(\large\frac{18}{35}\), mais aussi comme 1,5 qui est égal à \(\large\frac{3}{2}\).
Nous pouvons approcher la valeur de \(\large\frac{18}{35}\) au moyen d’une écriture décimale :
\(\large\frac{18}{35}\) ≈ 0,5142857 142857 142857.  Si nous continuons la division, la suite de chiffres 142857 se répétera  à l’infini. Cette suite de chiffres est appelée la période du nombre rationnel.
Et puis, il y a les nombres que l’on ne peut pas écrire sous forme de quotient d’entiers. Ce sont les irrationnels, dont le célèbre nombre  π, mais aussi comme √2 par exemple.

Nous pouvons approcher la valeur de π au moyen d’un nombre décimal : π≈3,1415926 par exemple.
Les fractions continues constituent une autre manière d’approcher la valeur d’un nombre, en quelque sorte une alternative à une écriture décimale.
Par exemple : π= 3+0,1415926… Or 0,1415926… =  \(\large\frac{1}{7,062513…}\)
Donc : π = 3 + \(\large\frac{1}{7,062513…}\).  Dans une première approximation, en négligeant 0,062513…,

nous obtenons donc : π≈ 3 + \(\large\frac{1}{7}\).
En étant plus exigeants, nous pouvons voir que 0,062513… = \(\large\frac{1}{15,99659…}\)
et donc écrire :
π = 3 + \(\large\frac{1}{7,062513…}\)
= 3 + \(\large\frac{1}{7+\frac{1}{15,99659…}}\).
Dans une deuxième
approximation, nous obtenons donc :
π≈ 3 + \(\large\frac{1}{7+\frac{1}{16}}\)

Et ainsi de suite… nous empilerons les fractions à l’infini, cela ne s’arrêtera jamais !

De manière générale, n’importe quel nombre réel peut être écrit sous la forme d’une fraction continue. Pour éviter de remplir des pages de fractions (comme ci-contre !), on note plus simplement :
.

Pendant trois jours, avec passion, patience ou impatience, les élèves se sont creusé la tête pour explorer ces différentes notions et les propriétés des fractions continues. Et ce fut souvent difficile !
La dernière demi-journée, ils ont présenté les posters qu’ils avaient confectionné aux membres de l’institut de mathématiques qui ont ainsi pu leur poser des questions sur :

• l’irrationalité de la racine carrée de 2,
• les nombres rationnels et les fractions continues,
• la convergence des fractions continues,
• l’efficacité de cette convergence,
• la précision de l’approximation pour un nombre irrationnel,
• et une approximation de la racine carrée de 2.

Une blague de matheux :

Combien faut-il de mathématiciens pour changer une ampoule ? 
Réponse : 0,9999999…

(Les trois petits points signifient que la suite de 9 se poursuit jusqu’à l’infini).

Sauriez-vous expliquer cette réponse ?