Hippocampe maths

19 avril 2017.  Un autobus transportant trente-cinq jeunes gens d’une classe de 1ère S et quelques-uns de leurs professeurs, en provenance de Caussade, s’arrête à l’Université Paul Sabatier. Les uns sont élèves et les autres enseignants du lycée Claude Nougaro de cette ville. Ces élèves viennent s’initier pendant trois jours à la recherche en mathématiques sous la férule d’un enseignant-chercheur. Deux doctorants sont là également pour les soutenir pendant ces journées dans leur travail de recherche.

Les apprentis chercheurs découvrent rapidement quel sera leur thème de recherche : les coniques.
Voilà qui est (presque) nouveau pour ces élèves ! Certes, ils ont travaillé au lycée avec des paraboles, en tant que représentations de fonctions de degré 2. Ils ont aussi rencontré en seconde quelques hyperboles, représentations de fonctions homographiques. Mais l’étude plus approfondie des propriétés des coniques a disparu des programmes de lycée, et en particulier l’étude des ellipses.
Tout commence par des définitions, et voici celles qui leur sont données pour ellipses et hyperboles. Elles concernent la distance des points de la conique à leurs foyers. La somme des distances d’un point de l’ellipse à ses deux foyers est constante. Pour l’hyperbole, c’est la différence de ces deux distances qui est constante.

Hyperbole en rouge

Au travail ! Un peu de géométrie dans l’espace pour commencer. Partant des définitions ci-dessus, il va falloir étudier la section d’un cône par un plan, et montrer que, suivant l’inclinaison de ce plan cette section peut parfois être une ellipse… ,

parfois une hyperbole…

Toujours selon l’inclinaison du plan, l’intersection avec le cône peut aussi être une parabole. Les élèves n’auront pas à étudier ce cas.

La voilà, l’origine du mot “conique” !

Pour arriver à prouver ces résultats, les élèves vont devoir démontrer quelques propriétés géométriques des cercles et triangles, pour certaines quelque peu oubliées… Ils ont besoin de bissectrices pour obtenir le cercle inscrit dans un triangle, utilisent des tangentes à un cercle, ou encore le théorème de Pythagore pour montrer des égalités de longueur…

Une autre manière d’aborder ellipses et hyperboles : les définir au moyen d’équations après avoir choisi le repère dans lequel travailler. Voilà encore une occasion d’utiliser le théorème de Pythagore, et en avant pour les calculs !

Déterminer une expression du cosinus d’un angle quelconque dans un triangle se révèle nécessaire pour aborder ensuite les  propriétés importantes de réflexion dans une ellipse et dans une parabole. Un groupe d’élèves est à la recherche de cette expression et doit pour cela utiliser des notions récemment vues en classe, notions de trigonométrie, de vecteurs directeurs de droites. Ils rencontrent même au passage la propriété d’Al Kashi, généralisation du théorème de Pythagore à un triangle quelconque.

Réflexivité dans l’ellipse

Un autre groupe aborde la propriété de réflexivité dans une ellipse. Cette propriété importante nous dit que si un rayon passe par l’un des foyers de l’ellipse, alors il passera par l’autre foyer après avoir été réfléchi par l’ellipse.
Une propriété bien utile en optique : plaçons une source lumineuse sur l’un des deux foyers, après reflexion les rayons lumineux se concentreront sur l’autre foyer.
Ou bien en acoustique : dans un lieu de forme elliptique, un son même faible émis de l’un des foyers est bien perçu par une personne se trouvant à l’emplacement de l’autre foyer. Cette propriété est connue depuis des siècles.

Chambre à écho

Des salles de l’abbaye de La Chaise Dieu pouvaient ainsi servir à la confession des lépreux, sans que le confesseur ait besoin d’approcher ces derniers. Les chuchotements émis par le lépreux à l’endroit d’un foyer étaient clairement perçus par le confesseur placé en l’autre foyer, et pas ailleurs…

Dans le métro parisien aussi, deux personnes situées aux deux foyers de la voûte elliptique peuvent converser d’un quai à l’autre sans être entendues.

Réflexivité dans la parabole

Pour démontrer la propriété de réflexivité d’une parabole, comme pour démontrer celle de l’ellipse,  les élèves se lancent dans de longs calculs dans le but d’établir des égalités d’angles. Ces égalités  permettront ensuite d’utiliser la loi de Snell-Descartes et de prouver qu’un rayon parallèle à l’axe de la parabole se réfléchit sur son foyer.
Cette propriété a de multiples applications, à commencer  par l’existence des antennes paraboliques. Il s’agit en fait de paraboloïdes, obtenus par révolution d’une parabole autour de son axe. Un paraboloïde peut être un émetteur aussi bien qu’un récepteur. Les rayons parallèles à l’axe sont concentrés au point focal. Réciproquement, des rayons émis depuis ce point focal sont renvoyés en un faisceau de rayons parallèles. Cette double fonctionnalité permet d’utiliser des paraboloïdes comme relais hertziens dans des régions accidentées où la télévision et la téléphonie mobile ne passeraient pas.

Les coniques nous concernent de bien des manières… sans oublier notre Terre qui décrit dans l’espace une ellipse dont un des foyers est le Soleil. Sans oublier les orbites variées des comètes. Orbites elliptiques pour celles qui repassent de manière prévisible sous nos yeux… ou ceux de nos descendants. Paraboliques, hyperboliques pour d’autres, qui ne reviendront jamais…

Vendredi, début d’après-midi. La matinée a été consacrée à la fabrication de posters. Les élèves accrochent maintenant les posters dans le hall du bâtiment de mathématiques. Enseignants-chercheurs et doctorants ne vont pas tarder à venir lire leurs travaux, et leur poser des questions à ce sujet…
Place aux travaux des élèves :

Allez, encore deux petites questions ! Saurez-vous retrouver et expliquer la méthode dite “méthode du jardinier” pour tracer une ellipse ?
Et saurez-vous trouver une méthode analogue pour tracer une hyperbole ?

Les élèves du lycée Nougaro ont aussi fait parlé d’eux et du stage hippocampe dans la presse ici.

Le mercredi 25 janvier, les 30 élèves d’une classe de terminale S du lycée Saint-Exupéry arrivent à l’Université Paul Sabatier pour participer à un stage Hippocampe. Ils viennent s’initier pendant trois jours aux joies et aux difficultés de la recherche. Leur professeur de mathématiques, un enseignant-chercheur et trois doctorants sont là pour les aider si besoin dans ce travail.

Le thème du stage paraît familier à première vue : les distances. Mais quand le plus court chemin d’un point à un autre n’est pas la ligne droite, tout se complique !

 Traçons des ensembles de points  tous situés à la même distance d’un point donné. Nous obtenons des courbes appelées courbes “d’isodistance”. Dans le cas classique, comme sur la figure ci-contre, ces ensembles sont des cercles. Les élèves ont obtenu la médiatrice de deux points donnés (tracée en rouge), par la méthode du “Fast Marching”.

Mais si les courbes d’isodistance ne sont pas des cercles, comme par exemple les courbes de relief en montagne, la médiatrice n’est plus une droite. Sur la figure ci-contre, les élèves ont indiqué les courbes situées aux mêmes distances 1, 2, 3… de chacun de deux points donnés A et B. Quand deux courbes portant le même numéro ont un ou plusieurs points en commun, nous obtenons des points de la médiatrice.

D’autre part, les élèves se sont appliqué à montrer que le chemin le plus court pour aller du point A au point B (chemin tracé sur la figure) passe par les points de tangence de deux courbes d’isodistance.

Imaginons maintenant que nous nous déplaçons dans une ville quadrillée de rues rectilignes et perpendiculaires les unes aux autres, entourant des pâtés d’immeubles. Les élèves ont utilisé des feuilles de papier quadrillé pour modéliser la situation. Ils ont cherché et tracé les courbes d’isodistance sur ces grilles cartésiennes où il n’est possible de se positionner que sur les lignes des quadrillages. Ces courbes d’isodistance sont des points situés sur des carrés (on ne peut pas se déplacer sur les diagonales du quadrillage, chaque petit carré représentant un “immeuble”).
Avec cette contrainte, saurez-vous dire si le point appelé D sur la figure ci-contre est plus près de A ou de B ?

Délimitées en vert : cellules de Voronoï pour 4 points

Revenons à nos médiatrices. Étant donnés deux points dans le plan, la droite qui est à égale distance de ces deux points, la médiatrice, divise le plan en deux régions, chacune de ces régions contenant les points qui sont plus proches de l’un des points choisis au départ que de l’autre. Lorsqu’on ajoute des points, le même principe s’applique, et on obtient des cellules contenant les points plus proches de l’un des points fixés que de tous les autres. L’ensemble de ces cellules forment un diagramme de Voronoï dans le plan.

Cellules de Voronoï et triangulation de Delaunay avec 9 points

Les élèves vont ensuite tracer la triangulation de Delaunay : il s’agit de former un pavage (“partition”) de la surface délimitée par les points donnés à l’aide de triangles, de manière à ce que le cercle circonscrit à chacun de ces triangles ne contienne aucun autre des points donnés au départ.

On montre que, parmi toutes les triangulations possibles, celle de Delaunay maximise les plus petits angles. De cette manière, elle donne les triangles les moins aplatis possibles.

Sur la figure de gauche, il s’agit d’une triangulation de Delaunay pour 4 points.  Par contre, à droite, le 4ème point appartient aux cercles circonscrits aux triangles, il ne s’agit pas d’une triangulation de Delaunay.

Pour un nombre important de points, l’utilisation d’algorithmes devient nécessaire autant pour la construction de plus courts chemins que pour celle de cellules de Voronoï et de triangulations de Delaunay. Ce fut l’occasion pour les élèves de bâtir certains algorithmes.

Il existe de nombreuses applications à ces notions : déplacements de robots, étude de l’évolution de cellules cancéreuses, détermination de frontières sous-marines entre pays voisins, modélisation de réseaux téléphoniques, étude de la croissance des plantes…

On a même montré que le motif de la robe des girafes réticulées correspond avec une approximation satisfaisante à des cellules de Voronoï, explications à l’appui…

Après un travail intense, passionnant et souvent passionné, le dernier jour du stage a été consacré à la confection de posters.  Les élèves ont ainsi exposé leurs résultats et les membres de l’institut de mathématiques ont pu leur poser des questions au sujet :

• des plus courts chemins et de l’inégalité triangulaire,
• de déplacements dans les grilles cartésiennes,
• des graphes,
• de la triangulation de Delaunay,
• du trajet d’un rayon lumineux dans une fibre,
• du principe de Fermat.

Et à propos de triangles…

• Sauriez-vous inscrire un triangle équilatéral dans un carré de façon symétrique par rapport à une des diagonales de ce carré ?
• Et sauriez-vous construire un carré circonscrit de façon symétrique autour d’un triangle équilatéral ?

Ce mardi 13 décembre au matin, un bus arrive à l’Université Paul Sabatier. Il amène 34 élèves de 1°S du lycée Raymond Savignac, partis très tôt de Villefranche de Rouergue, accompagnés de leurs enseignants. Trois jeunes élèves, accomplissant leur stage de 3ème, sont déjà sur place depuis la veille. Tous vont s’initier pendant trois jours à la recherche en mathématiques, avec l’aide d’enseignants-chercheurs et de doctorants de l’Université. Ils découvrent ce matin-là qu’ils vont avoir à  réfléchir sur les fractions continues, thème complètement nouveau pour eux.

Mais de quoi s’agit-il ?

Parlons un peu des nombres. Il y a ceux que l’on peut écrire de manière exacte sous forme décimale, comme 1,5. Ce sont les nombres décimaux.
Il y a  ceux qui sont le quotient de deux nombres entiers : ce sont les nombres rationnels, comme [latex]\large\frac{18}{35}[/latex], mais aussi comme 1,5 qui est égal à $latex\large\frac{3}{2}$ [latex]\large\frac{18}{35}[/latex], mais aussi comme 1,5 qui est égal à [latex]\large\frac{3}{2}[/latex].
Nous pouvons approcher la valeur de [latex]\large\frac{18}{35}[/latex] au moyen d’une écriture décimale :
[latex]\large\frac{18}{35}[/latex] ≈ 0,5142857 142857 142857.  Si nous continuons la division, la suite de chiffres 142857 se répétera  à l’infini. Cette suite de chiffres est appelée la période du nombre rationnel.
Et puis, il y a les nombres que l’on ne peut pas écrire sous forme de quotient d’entiers. Ce sont les irrationnels, dont le célèbre nombre  π, mais aussi comme √2 par exemple.

Nous pouvons approcher la valeur de π au moyen d’un nombre décimal : π≈3,1415926 par exemple.
Les fractions continues constituent une autre manière d’approcher la valeur d’un nombre, en quelque sorte une alternative à une écriture décimale.
Par exemple : π= 3+0,1415926… Or 0,1415926… =  [latex]\large\frac{1}{7,062513…}[/latex]
Donc : π = 3 + [latex]\large\frac{1}{7,062513…}[/latex].  Dans une première approximation, en négligeant 0,062513…,

nous obtenons donc : π≈ 3 + [latex]\large\frac{1}{7}[/latex].
En étant plus exigeants, nous pouvons voir que 0,062513… = [latex]\large\frac{1}{15,99659…}[/latex]
et donc écrire :
π = 3 + [latex]\large\frac{1}{7,062513…}[/latex]
= 3 + [latex]\large\frac{1}{7+\frac{1}{15,99659…}}[/latex].
Dans une deuxième
approximation, nous obtenons donc :
π≈ 3 + [latex]\large\frac{1}{7+\frac{1}{16}}[/latex]

Et ainsi de suite… nous empilerons les fractions à l’infini, cela ne s’arrêtera jamais !

De manière générale, n’importe quel nombre réel peut être écrit sous la forme d’une fraction continue. Pour éviter de remplir des pages de fractions (comme ci-contre !), on note plus simplement :
.

Pendant trois jours, avec passion, patience ou impatience, les élèves se sont creusé la tête pour explorer ces différentes notions et les propriétés des fractions continues. Et ce fut souvent difficile !
La dernière demi-journée, ils ont présenté les posters qu’ils avaient confectionné aux membres de l’institut de mathématiques qui ont ainsi pu leur poser des questions sur :

• l’irrationalité de la racine carrée de 2,
• les nombres rationnels et les fractions continues,
• la convergence des fractions continues,
• l’efficacité de cette convergence,
• la précision de l’approximation pour un nombre irrationnel,
• et une approximation de la racine carrée de 2.

Une blague de matheux :

Combien faut-il de mathématiciens pour changer une ampoule ? 
Réponse : 0,9999999…

(Les trois petits points signifient que la suite de 9 se poursuit jusqu’à l’infini).

Sauriez-vous expliquer cette réponse ?