Lycée Fermat (Toulouse) – Noeuds et compagnie

Les 30 novembre, 1er et 2 décembre, les élèves de 1ère S du lycée Fermat de Toulouse sont venus à l’institut de mathématiques de l’université de Toulouse. Ils étaient motivés pour s’attaquer au défi qui les attendait : les noeuds, les tresses et les entrelacs.

Noeud

Un noeud est une ficelle fermée dans l’espace. On considère que deux noeuds sont les mêmes si on peut bouger la ficelle pour passer de l’un à l’autre. Attention : il est interdit de couper la ficelle et de la recoller. Une question difficile sur les noeuds est de savoir si un noeud se déforme en une boucle simple (juste un cercle). On dit alors que le noeud est trivial. À votre avis, le noeud sur la photo est-il trivial ?

Après trois jours de réflexion, les élèves du lycée Fermat sont maintenant des spécialistes en herbes des noeuds et des tresses. Ils ont présenté aux membres de l’institut de mathématiques des posters sur les sujets suivants :

• la résolution des points doubles,
• les entrelacs,
• le coloriage d’un noeud,
• les diagrammes de noeud et
• les tresses.

Certains élèves se sont posés la question de fabriquer un entrelacs (un ensemble de noeuds entrelacés) vérifiant la propriété suivante : tous les noeuds sont accrochés, mais si l’on retire un des noeuds (n’importe lequel), alors tous les noeuds se retrouvent détachés. Un tel exemple d’entrelacs (avec trois fils) est donné par les anneaux Borroméens. La famille italienne, les Borromeo, utilisait ces anneaux pour symboliser leur force lorsqu’ils étaient unis. Saurez-vous relier ces anneaux au problème suivant ? La professeure de mathématiques des élèves de première S du lycée Fermat souhaite attacher tous ses élèves  à des barreaux avec une grande chaine, de façon à ce qu’ils ne puissent pas partir en vacances avant la fin des cours. La chaine est accrochée à tous les élèves, elle est ensuite entourée autour des différents barreaux et attachée à nouveau aux élèves. La professeure de mathématiques décide de donner une chance aux élèves, elle va scier un barreau (c’est elle qui choisit le barreau et non les élèves). Les élèves enroulent eux-même la chaine autour des différents barreaux, pouvez-vous les aider à être libérés lorsque la professeure sciera un barreau (bien sûr, il faut que la chaine soit au moins attachée à un barreau, sinon la professeure décidera d’attacher elle-même les élèves) ? Le jeu en vaut la chandelle : s’ils sont libres, les élèves partiront en vacances un jour plus tôt !