Les 1ères S du lycée Fermat arrivent à l’université lundi matin, le 15 mai, au beau milieu des partiels qui occupent une grande partie des étudiants. Ils ne sont pas là pour passer un examen mais plutôt pour s’initier à la recherche en mathématiques dans le cadre d’un stage Hippocampe. Leurs thèmes de réflexion seront la topologie et la notion de distance. Ils sont loin de deviner ce qui les attend !
Les mathématiciens qui travaillent dans le domaine
de la topologie, littéralement « étude d’un lieu », sont intéressés par des propriétés que possèdent un espace et qui ne changent pas lorsque l’espace se déforme continûment. L’un des premiers problèmes de topologie est celui des sept ponts de Königsberg. L’image ci-contre montre un plan de la ville de Königsberg et met en valeur sept de ces ponts. On se demande s’il est possible de traverser toute la ville en passant par tous les ponts, une seule fois. La réponse à cette question ne dépend pas de l’emplacement précis des ponts, ni de la forme exacte de la rivière et c’est en ce sens que c’est une question de topologie.
La question de la mesure de longueurs est plus ancienne car utilisée par les géomètres pour arpenter les terres agricoles dès 3000 avant J.C. en Egypte ancienne. Avoir une notion de distance permet de faire une comparaison plus fine des figures que l’on souhaite étudier mais c’est une notion qui est plus contraignante et qui n’est donc pas adapter à tous les problèmes. De nos jours, la notion de distance apparaît dans des domaines très variés, et plus uniquement pour mesurer la Terre. Les élèves du lycée Fermat ont vu qu’elle pouvait être utile pour comparer des degrés d’amitié dans un cercle d’amis ou des ressemblances entre deux images.
La première demi-journée de recherche a été frustrante. Il a fallu comprendre le problème avant même de pouvoir commencer à chercher à y répondre. Mais les choses se sont débloquées petit à petit et à la fin du deuxième jour, chaque groupe d’élèves avaient finalement trouvé des résultats à présenter à ses camarades. Le troisième jour, il ne restait aux chercheurs en herbe plus qu’à préparer de jolis posters pour ensuite présenter leurs découvertes aux membres de l’institut de mathématiques.
Les doctorants, les chercheurs, les enseignants-chercheurs et même certains participants de la conférence internationale qui avait lieu la même semaine, ont pu écouter les élèves de 1ère S leur parler de :
- la formule d’Euler, reliant les nombres de sommets, d’arêtes et de faces d’un polyèdre (ou d’un graphe),
- du problème de relier trois maisons à l’eau, au gaz et à l’électricité sans risque,
- des surprises qui apparaissent lorsque l’on fait de la géométrie sur la Terre, comme le fait que la somme des angles dans un triangle ne vaut pas 180°,
- de cercle qui ne sont pas des cercles,
- de graphe que l’on ne veut pas dessiner mais que l’on veut quand même comprendre,
- et d’images qui se ressemblent peut-être.
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- Formule d’Euler
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- Formule d’Euler
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- Les maisons et les ressources
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- L’ours
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- Les angles sur la Terre
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- La puce et les cercles
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- Les liens d’amitié
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- Le GPS
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- Les sept différences
On modélise le site internet des stages hippocampe par un graphe dont les sommets sont les pages et les arêtes correspondent aux liens qui permettent de passer d’une page à l’autre. On suppose que les arêtes sont de longueur 1. Pouvez-vous donner la distance maximale entre deux pages internet du site ?