Hippocampe maths

Cette semaine, les élèves de première S du lycée Nougaro de Caussade sont venus à l’institut de mathématiques de Toulouse pour effectuer un stage hippocampe. Accompagnés par leurs professeurs, ils se sont essayés à la recherche sur le thème des télécommunications.

On croise souvent des antennes téléphoniques lorsqu’on se promène dans la nature. Comment choisit-on de les placer à un endroit plutôt qu’à un autre ? Où faut-il placer l’antenne suivante ? Les paramètres techniques de l’antenne rentrent en jeu pour nous donner la portée de chaque antenne mais il faut aussi prendre en compte le fait que la portée de l’antenne dépend de la densité de la population.

Pendant trois jours, les lycéens du lycée Nougaro ont réfléchi aux meilleures solutions pour résoudre ce problème de communication. Certains ont supposé que les antennes couvraient une surface circulaire, d’autres ont envisagé qu’elles couvraient une surface ayant la forme d’une ellipse et les derniers ont même envisagé des formes biscornues.

Heureusement, pour reposer leurs neurones, les lycéens ont profité de leurs soirées à Toulouse pour visiter le centre ville et pour aller voir au théâtre la Cantatrice Chauve, qui se coiffe toujours de la même façon. Ont-ils cherché à paver le décor à carreaux avec les gros fauteuils de façon à améliorer la communication entre les personnages ?

Mercredi, c’était déjà le moment de présenter leur travaux aux membres de l’institut de mathématiques. Ils ont donc fait un circuit de posters pour les plaisirs des curieux qui ne comprenaient pas pourquoi leur téléphone ne capte pas toujours aussi bien qu’ils le souhaiteraient. Ces derniers connaissent maintenant les solutions à proposer à leur opérateur téléphonique pour améliorer la situation !

Les ondes téléphoniques peuvent se superposées et, dans l’idéal, la zone de couverture qu’elles définissent doit comporter le moins de trous possibles. Supposons maintenant que vous voulez ranger des oranges dans un camion pour les emmener de Valencia à Toulouse. Cette fois-ci, les oranges ne peuvent plus se chevaucher et elles occupent de l’espace et non une surface. Saurez-vous les ranger de façon à en mettre le plus possible dans le camion ? Disons que le camion possède un espace rectangulaire de 10m*2m*3m et qu’une orange fait 8cm de diamètre, combien pouvez-vous mettre d’oranges dans le camion ? Si l’espace disponible dans le camion n’est plus rectangulaire mais cylindrique, est-ce que vous mettrez plus, moins ou autant d’oranges dans le même volume ?

Les élèves de première S du lycée Saint-Sernin sont venus à l’institut de mathématiques de Toulouse les 9, 10 et 11 mars pour participer à un stage hippocampe, d’initiation à la recherche.  Le sujet de la semaine était bien mystérieux : les nombres (ir)rationnels et les fractions continues.

Un nombre rationnel est une fraction, par exemple 3/4. Par opposition, un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas se mettre sous la forme d’une fraction de deux nombres entiers. Les premiers exemples de nombres irrationnels auxquels on peut penser sont √2 ou π. Il n’est pas forcément évident de montrer qu’ils sont irrationnels mais c’est un bon exercice de s’essayer sur √2.

Une manière de décrire un nombre est d’utiliser sa décomposition décimale. Cependant, il arrive que cette décomposition soit infinie. C’est le cas pour les nombre irrationnel mais aussi pour certains nombres rationnels comme 1/3 ou 2/7. Dans ce stage, les élèves du lycée Saint-Sernin ont découvert une autre façon de décrire les nombres : à l’aide des fractions continues.

Il est facile de comprendre comment fonctionnent les fractions continue sur les nombres rationnels. Si vous cherchez la fraction continue associée au nombre 9/5, il vous suffit de dessiner un carré de 9 par 5. Retirer ensuite le plus grand carré possible : ici, ce sera un carré de 5*5. Réitérer cette opération : le prochain carré sera de 4*4. Pour les quatre prochaines étapes, vous trouverez des carrés de taille 1*1. La fraction continue associée à 9/5 est donc 1+1/(1+4). À vous : pouvez-vous donner la fraction continue associée à la fraction 8/5 ?

Passons maintenant aux nombres irrationnels et basons-nous sur la même idée. Considérons un rectangle de côtés 1 et π. Le plus grand carré que l’on peut retirer de ce rectangle est un carré de taille 1*1, et on pourra en retirer 3 de cette taille. En continuant comme précédemment, on trouve alors la fraction continue associée à π. Les fractions continues permettent d’approcher très efficacement les nombres par des fractions.

Pendant trois jours, les premières S de Saint-Sernin ont formalisé et étudié plus en détail la notion de fraction continue. Ils ont ensuite préparé des posters pour les présenter aux membres de l’institut de mathématiques sur les sujets suivants :

• convergence des fractions continues ;
• monotonie de cette convergence ;
• qualité de l’approximation donnée par une fraction continue ;
• l’incommensurabilité de la diagonale ;
• la périodicité dans les développements décimaux ou en fraction continue.

Pour aller plus loin : supposer acquis le résultat de John Wallis suivant

π/2 = 2*∏(1-1/(2i+1)²),

où le produit ∏ est sur tous les i≥1. En déduire la fraction continue associée à 4/π. Vous serez alors surpris de découvrir une formule très simple donnant une très bonne approximation du nombre irrationnel 4/π.