Hippocampe maths

Cette semaine, ce sont les élèves de 1ère S du lycée Victor Hugo de Colomiers qui sont venus s’initier à la recherche à l’institut de mathématiques de l’université Paul Sabatier. Ils étaient ravis lorsqu’ils ont pris le bus en direction de l’université ! Leur thème de recherche les attendait : ce sera les nombres complexes.

Deux fonctions polynomiales

Les nombres complexes ont été introduits pour comprendre les zéros des polynômes. Sur le dessin à gauche, on voit le graphe de deux fonctions polynomiales de degré 3. Un exemple de telle fonction est donnée par l’application qui à un réel x associe le réel x³+x. Essayer de tracer cette fonction : pour x = 0, elle vaut 0³+0 = 0 ; pour x=1, elle vaut 1³+1 = 2 ; pour x=2, elle vaut 2³+2 = 10… et ainsi de suite. Sur le dessin, on voit que la courbe jaune coupe trois fois l’axe horizontal. Par contre, la courbe orange ne le coupe qu’une fois. Les nombres complexes permettent de comprendre ce que le dessin ne montre pas : les deux autres points où la courbe coupe l’axe horizontal.

Cercle trigonométrique et nombres complexes

Dans les formules de Gerolamo Cardano et de Raphaël Bombelli, il y avait une quantité impossible : √-1. Connaissez-vous un nombre qui élevé au carré donne -1 ? S’il n’existe pas encore, ce n’est pas grave, on va le définir et l’appeler i. On aura alors i² = -1. Mais attention, il n’est pas le seul, on a aussi (-i)² = -1. Comment comprendre ce nombre ? Le dessin sur la droite va nous aider. Lorsque l’on part de 1, on peut arriver à -1 en faisant une rotation d’angle 180º et de centre 0. Une autre façon de faire, si on n’est pas sportif, est de commencer par une rotation de 90° et de centre 0, de faire une pause, puis de continuer avec une rotation de 90° de centre 0. Au final, on aura fait une rotation d’angle 180° et de centre 0. Voilà notre représentation géométrique de i, il correspond à une rotation d’angle 90° et de centre 0. Si on répète cette opération deux fois, on tombera sur -1.

Pendant trois jours, les élèves de Colomiers se sont creusés les méninges sur des questions abstraites à propos des nombres complexes. Ils ont ensuite présenté leurs travaux aux membres de l’institut de mathématiques à l’aide de posters sur les sujets suivants :

• les propriétés des nombres complexes,
• les relations entre les coefficients d’un polynôme et ses racines,
• les liens entre les nombres complexes et la trigonométrie,
• la méthode de Cardano et
• la résolution d’équations polynomiales de degré 3 particulières.

Les vacances de Noël approchent. Avez-vous suffisamment bien travailler ?

La route des vacances

La professeure de la classe des 1ères S du lycée Victor Hugo veut empêcher ses élèves de partir en vacances. Pour cela, elle a installé des murs en orange sur la photo à gauche. La professeur est en 0 et les élèves en 1. Comment à l’aide de transformations obtenues avec les nombres complexes (et les nombres réels), les élèves peuvent-ils sortir de la classe en -1 et partir en vacances ? Aide : les nombres réels permettent de faire des déplacements sur les droites passant par 0 : par exemple, le nombre réel 2 permet de passer de 1 à 2 (on appelle ces transformations des homothéties) ; les nombres complexes qui sont sur le cercle jaune permettent de faire des déplacements sur le cercle centré en zéro et de rayon notre distance à 0 : par exemple, si on est en 1, le nombre complexe i permet de faire un quart de tour pour se trouver en i. Ceci étant dit, vous n’avez pas le droit passer en i car il y a un mur !

Les 30 novembre, 1er et 2 décembre, les élèves de 1ère S du lycée Fermat de Toulouse sont venus à l’institut de mathématiques de l’université de Toulouse. Ils étaient motivés pour s’attaquer au défi qui les attendait : les noeuds, les tresses et les entrelacs.

Noeud

Un noeud est une ficelle fermée dans l’espace. On considère que deux noeuds sont les mêmes si on peut bouger la ficelle pour passer de l’un à l’autre. Attention : il est interdit de couper la ficelle et de la recoller. Une question difficile sur les noeuds est de savoir si un noeud se déforme en une boucle simple (juste un cercle). On dit alors que le noeud est trivial. À votre avis, le noeud sur la photo est-il trivial ?

Après trois jours de réflexion, les élèves du lycée Fermat sont maintenant des spécialistes en herbes des noeuds et des tresses. Ils ont présenté aux membres de l’institut de mathématiques des posters sur les sujets suivants :

• la résolution des points doubles,
• les entrelacs,
• le coloriage d’un noeud,
• les diagrammes de noeud et
• les tresses.

Certains élèves se sont posés la question de fabriquer un entrelacs (un ensemble de noeuds entrelacés) vérifiant la propriété suivante : tous les noeuds sont accrochés, mais si l’on retire un des noeuds (n’importe lequel), alors tous les noeuds se retrouvent détachés. Un tel exemple d’entrelacs (avec trois fils) est donné par les anneaux Borroméens. La famille italienne, les Borromeo, utilisait ces anneaux pour symboliser leur force lorsqu’ils étaient unis. Saurez-vous relier ces anneaux au problème suivant ? La professeure de mathématiques des élèves de première S du lycée Fermat souhaite attacher tous ses élèves  à des barreaux avec une grande chaine, de façon à ce qu’ils ne puissent pas partir en vacances avant la fin des cours. La chaine est accrochée à tous les élèves, elle est ensuite entourée autour des différents barreaux et attachée à nouveau aux élèves. La professeure de mathématiques décide de donner une chance aux élèves, elle va scier un barreau (c’est elle qui choisit le barreau et non les élèves). Les élèves enroulent eux-même la chaine autour des différents barreaux, pouvez-vous les aider à être libérés lorsque la professeure sciera un barreau (bien sûr, il faut que la chaine soit au moins attachée à un barreau, sinon la professeure décidera d’attacher elle-même les élèves) ? Le jeu en vaut la chandelle : s’ils sont libres, les élèves partiront en vacances un jour plus tôt !

Le premier stage Hippocampe de l’année 2015-2016 a permis aux 1ère S du lycée Jules Michelet de découvrir la recherche pendant 3 jours – les 2, 3 et 4 novembre. Après de longs trajets en bus, ils ont été accueilli à l’institut de mathématiques où on leur a présenté leur thème de recherche : les permutations et le dénombrement.

Quelles sont ces permutations ?

Tout d’abord, qu’est-ce qu’une permutation ? C’est un mot qui exprime l’idée d’un réarrangement de plusieurs objets. La photo sur le côté montre une permutation des chiffres de 1 à 5 et une permutation des lettres de HIPPOCAMPE (il y a une petite ambiguité du fait que certaines lettres apparaissent plusieurs fois mais les flèches lèvent l’ambiguité). On est habitué à croiser des permutations : dans les carrés magiques, les carrés latins, les sudokus, au Scrabble, quand on change de place en classe ou dans le bus, … Sait-on cependant tout sur elles ?

Il est certain qu’après 3 jours de stages, les élèves du lycée Jules Michelet en savent plus qu’avant leur arrivée à l’université. Ils ont présenté aux membres de l’institut de mathématiques des posters sur les sujets suivants :

• les dérangements (des permutations qui bougent tous les éléments),
• un système générateur de toutes les permutations,
• un puzzle avec des billes,
• des liens entre permutations et arithmétique,
• le profil des permutations (les cycles qui apparaissent dans une permutation),
• le temps moyen de retour suite à l’itération d’une permutation et
• le temps maximal pour ranger les objets après l’itération d’une permutation.

Pour vous amuser, voilà pour finir un problème qui utilise les permutations. Le professeur de mathématiques de la classe de 1ère S du lycée Jules Michelet fait une proposition à ses élèves pour supprimer le cours de mathématiques juste avant les vacances. Là voici : les 34 élèves sont dans une salle, dans la salle d’à côté, il y a 34 casiers, contenant chacun le nom d’un élève de la classe (chaque nom revient exactement une fois bien sûr), à côté, il y a une troisième salle. À tour de rôle, les élèves vont aller dans la salle aux casiers et ouvrir un par un les 17 casiers. Si l’élève trouve son nom parmi les 17 casiers, il referme les casiers sans les modifier, il va dans la troisième salle. Sinon, le cours aura lieu. À la fin, si tous les élèves sont dans la troisième salle (c’est-à-dire qu’ils ont trouvé leur nom en ouvrant 17 casiers), le cours est supprimé ! En réfléchissant un petit peu, vous aurez l’impression qu’il y a une chance sur 2^34 de supprimer le cours (soit 0,000000006% environ), ce qui est très peu… Mais en utilisant les permutations et en réfléchissant encore plus, vous arriverez à plus de 30% de chance de faire annuler le cours. À vous de jouer !

Les secondes – option sport – du lycée Raymond Naves sont venus ces 8, 9 et 10 juin à l’université Paul Sabatier de Toulouse. Plein d’énergie, ils ont été accueillis  à l’institut de mathématiques où on leur a présenté leur thème de recherche pour les trois jours : ils réfléchiront sur des jeux combinatoires.

Deux tas de craies

Par exemple, faites plusieurs tas d’allumettes et trouvez un joueur pour vous affronter.  Chacun leur tour, les deux joueurs peuvent choisir dans leur tas favori autant d’allumettes qu’il le souhaite et les retirer. Le perdant est celui qui prend la dernière allumette du dernier tas. Pouvez trouver une solution pour gagner à tous les coups ? S’il n’y a qu’un tas, c’est facile ! Mais s’il y a deux tas, c’est tout de suite plus compliqué. Et que se passe-t-il s’il y a 3, 4, 5, … tas ?

Au bout de trois jours, les élèves de Raymond Naves sont devenus redoutables et ils sont prêts à affronter n’importe quel adversaire. Enfin attention, lorsqu’il y a beaucoup d’allumettes ou que les données du problème sont grandes, il faut parfois encore réfléchir !

Ils ont présenté leurs résultats auprès des membres de l’institut de mathématiques. Ils avaient préparé des posters sur les jeux suivants :

• le jeu de Fort Boyard,
• le jeu de Conway,
• le jeu de la dame,
• le jeu de Nim et
• le jeu de Chomp.

Lundi, 9h : les élèves du lycée Saint-Sernin arrivent à l’université Paul Sabatier de Toulouse. Leur professeur de mathématiques les emmène à l’institut de mathématiques où un enseignant-chercheur et trois doctorants sont là pour les accueillir. Le sujet sur lequel les élèves vont se casser la tête pendant trois jours est dévoilé : ce sera les tresses et les entrelacs.

Un sac de noeuds est là, il ne reste plus qu’à démêler les fils et à les ré-emmêler. Et ensuite, que peut-on faire avec toutes ces ficelles ? On définit la somme de deux noeuds en les mettant l’un à la suite de l’autre. De la même façon, on obtient le produit de deux tresses. Est-ce que la somme et le produit se comportent de la même façon que la somme et le produit des entiers pour lesquels on a :

• a + b = b + a et a . b = b . a, quels que soient les entiers a et b,
• (a + b) + c = a + (b + c) et (a . b) . c = a . (b . c), quels que soient les entiers a, b et c ?

Le noeud de trèfle et une tresse

Lorsque l’on dessine un noeud ou une tresse sur un tableau, on fait un choix de projection. Plusieurs dessins peuvent provenir du même noeud ou de la même tresse. Essayez par exemple de dessiner la tresse à droite avec uniquement un croisement.

À l’aide de ces dessins, appelés diagrammes de noeud, on cherche à voir si deux noeuds sont différents. Êtes-vous vraiment certains que le noeud de trèfle ne peut pas se démêler ?

Trois jours plus tard, les élèves de Saint-Sernin ont encore plein de questions mais aussi beaucoup de réponses. Ils les ont expliquées dans des posters qu’ils ont présentés aux membres de l’institut de mathématiques. Les thèmes étudiés étaient les suivants :

• somme de deux noeuds,
• produit de deux tresses,
• mouvements de Reidemeister,
• invariants de noeuds et tresses,
• l’implémentation des noeuds dans un ordinateur et la recherche d’algorithme de comparaison de noeuds,
• nombre d’entrelacements et
• un problème de miroirs (que fait ce thème ici ? la réponse est à chercher du côté des groupes de Coxeter…).

Les élèves du lycée Saint-Joseph de Toulouse sont venus à l’université Paul Sabatier avec leur professeure de mathématiques pour découvrir le travail de chercheur. Guidés par un membre de l’institut de mathématiques et par des doctorants, ils ont réfléchi à la notion de dimension et à des concepts reliés.

Tout le monde connaît les dimensions 1, 2 et 3 qui sont associées à une droite, un plan et à l’espace. Mais qu’en est-il des dimensions supérieures ? Comment les formaliser mathématiquement et existe-t-il une interprétation dans la vie de tous les jours ? Une solution mathématique a été proposée par un groupe d’élèves et ils ont même réussi à définir des dimensions non entières associées à des fractales ! Pendant ce temps, un autre groupe a interprété la dimension 4 comme l’espace-temps. Saurez-vous donner un exemple de votre quotidien qui se modélise à l’aide de la dimension 5 ?

Le stage de trois jours s’est conclu par la création de posters sur lesquels on peut découvrir le bilan de leurs fructueuses recherches. Ils les ont présenté avec beaucoup d’entrain et d’aisance aux enseignants et chercheurs de l’institut de mathématiques. Chaque poster raconte une problématique différente et ouvre vers des questions que les trois jours n’ont pas suffi à résoudre… À vous de les aider, voilà les thèmes :

• reconstruction d’un scanner à l’aide d’une densité de matière (les matrices),
• section du cube par un plan,
• construction d’un très grand pont sans colle,
• projection de la Terre sur un plan,
• création de labyrinthes,
• lire des lettres dans un cube,
• dimension fractale et
• squelette d’un (hyper)cube.

Du 7 au 9 avril, les élèves du lycée Savignac de Villefranche de Rouergue sont venus avec leurs professeurs à l’institut de mathématiques de Toulouse pour faire une initiation à la recherche. Encadrés par des membres de l’institut et des étudiants, ils ont travaillé sur la notion de plus court chemin pour se déplacer d’un point à un autre. On a utilisé le mot “court” mais on pourrait très bien utiliser le mot “rapide”.

Ce problème peut sembler facile puisqu’on a tous appris que le plus court chemin d’un point à un autre est la ligne droite ! Cependant, pour que ce résultat soit vrai, il faut être dans une situation très simple, disons dans une prairie dégagée. Il existe de nombreux cas intéressants pour lesquels le résultat n’est plus vrai. Par exemple, qu’en est-il lorsque le milieu dans lequel on se déplace change (passage de l’air à l’eau, autoroute ou route nationale, …) ou lorsqu’il contient des obstacles (une montagne, un lac ou un immeuble) ? On peut aussi se demander quel est le chemin le plus rapide lorsque l’on se déplace dans le ciel en avion.

À l’issue des trois jours, les élèves du lycée Savignac ont présenté leur recherche à l’aide de poster aux membres de l’institut et aux chercheurs présents pour une conférence sur le cancer. Les différents posters portaient sur :

• les courbes d’isodistance,
• la notion de chemin le plus court dans un graphe,
• le problème du changement de milieu, et
• sur le découpage d’une surface à l’aide de la construction de médiatrices : en triangles et en ensembles de points les plus proches d’un point donné.

L’institut de mathématiques de Toulouse a accueilli les élèves du lycée Nougaro de Caussade les 30, 31 mars et 1er avril. Ils étaient accompagnés par deux professeurs de mathématiques et un professeur de français et se sont cassés la tête sur des jeux très simples à expliquer mais dont les stratégies gagnantes sont bien compliquées à trouver.

Ces jeunes chercheuses et chercheurs en herbe étaient plein d’entrain et très motivés. Il en résulte qu’il était particulièrement difficile de gagner contre eux à la fin des trois jours !

Comme il faut toujours lier l’utile à l’agréable, les soirées aussi ont étaient mises à profit. Les élèves du lycée Nougaro ont visité le centre ville de Toulouse et ils ont écouté et regardé la pièce Ulysse au théâtre du Pavé.

Les jeux combinatoires sur lesquels ils ont réfléchi étaient :

• le jeu de Nim,
• le jeu de Fort-Boyard,
• le jeu de Grundy,
• le jeu de Chomp,
• le jeu du poisson,
• le jeu de la dame et
• le jeu de Conway.

Les élèves du lycée Bagatelle de Saint-Gaudens sont venus à l’institut de Mathématiques de Toulouse les 26, 27 et 28 janvier 2015. Ils ont réfléchi sur la notion de dimension, sous l’oeil bienveillant de leurs professeurs, dont Jean-Michel Lasportes. Sur place, le stage était organisé par Xavier Bressaud, aidé par les doctorants Florent Chevrou, Raphaël Bouyrie et Shiraz Moumen.

Après une journée de recherche, les élèves sont allés imprimer en 3D leurs découvertes au FabLab. Ils ont ensuite préparé des posters qui portaient sur :

• l’équilibre,
• les labyrinthes,
• les projections en dimension 2 d’un objet de l’espace (radios par exemple),
• les coupes en dimensions 2 d’un objet de l’espace (impression 3D, ballon de rugby) et
• les fractales.

Les 12, 13 et 14 novembre, les élèves du lycée Rive Gauche ont travaillé sur la notion de groupe et sur ses liens avec la géométrie. Ils étaient accompagnés par leurs professeurs Sébastien Lacam et Jean-Christophe San Saturnino et ont été reçu à l’université par Joan Millès, Laura Brillon, Anne Lonjou et Bastien Rossetti.

Les posters portaient sur :

• la formule d’Euler,
• les permutations,
• les symétries des polygones et des polyèdres et
• les pavages.

C’était un thème difficile mais il a très bien été traité par les élèves qui ont su s’investir pour surmonter le côté abstrait du sujet.

Un bilan de l’expérience, réalisé par les professeurs et leurs élèves, est disponible ici.