Systèmes de racines des algèbres de Lie semisimples (Jules Martel)

Dans ces notes \( F \) désigne toujours un corps de caractéristique 0, que l’on supposera de plus algébriquement clos vers la fin.

Formalisme des algèbres de Lie

Algèbres de Lie

Définition : Une algèbre de Lie sur \( F \) est un \( F \)-espace vectoriel \( L \) muni d’un crochet de Lie \( [\cdot, \cdot] \) qui est une application bilinéaire \( L \times L \to L \) qui est antisymétrique et vérifie la relation de Jacobi :
\[
[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0
\]
pour touts \( x, y, z \in L \).

On définit de manière évidente les sous-algèbres de Lie et les morphismes. Une représentation d’une algèbre de Lie \( L \) est un morphisme \( L \to \mathfrak{gl}(V) \) pour un espace vectoriel \( V \) (que l’on supposera toujours de dimension fini dans la suite).

Exemples :

  • Soit \( V \) un espace vectoriel, alors \( \mathfrak{gl}(V) = \mathrm{End}(V) \) muni du crochet \( [a, b] = ab – ba \) est une algèbre de Lie.

    Le sous-espace \( \mathfrak{sl}(V) = \{ x \in \mathfrak{gl}(V) : \mathrm{tr}(x) = 0 \} \) est une sous-algèbre de Lie.

    Si \( \dim(V) = n \) le choix d’une base de \( V \) détermine un isomorphisme \( \mathfrak{gl}(V) \cong \mathfrak{gl}_n(F) \) où \( \mathfrak{gl}_n(F) \) est l’algèbre de Lie des matrices \( n \times n \) munies du crochet évident ; de même \( \mathfrak{sl}(V) \cong \mathfrak{sl}_n(F) \) où \( \mathfrak{sl}_n(F) \) est la sous-algèbre des matrices de trace nulle.

  • D’autres sous-algèbres importantes de \( \mathfrak{gl}_n(F) \) sont \( \mathfrak{t}_n(F) \), formée des matrices triangulaires supérieures, et \( \mathfrak{n}_n(F) \), formée des matrices strictement triangulaires supérieres.

Représentation adjointe, centre, idéaux

Soit \( A \) une \( F \)-algèbre (pas forcément associative). Une dérivation de \( A \) est un endomorphisme \( \delta \in \mathrm{End}_F(A) \) qui satisfait la règle de Leibniz :
\[
\delta(ab) = a\delta(b) + \delta(a)b
\]
pour touts \( a, b \in A \). L’ensemble des dérivations est une sous-algèbre de Lie de \( \mathfrak{gl}(V) \).

Si \( L \) est une algèbre de Lie et \( x \in L \) on note \( \mathrm{ad}_x \) l’endomorphisme linéaire de \( L \) défini par \( \mathrm{ad}_x(y) = [x, y] \). L’application \( \mathrm{ad} : L \to \mathfrak{gl}(L) \) , \( x \mapsto \mathrm{ad}_x \) est un morphisme d’algèbres de Lie. On l’appelle la représentation adjointe de \( L \). On vérifie en que \( \mathrm{ad}(L) \subset \mathrm{Der}(L) \).

Le centre \( Z(L) \) de \( L \) est par définition :
\[
Z(L) = \ker(\mathrm{ad}) = \{ x \in L : \forall y \in L, [x, y] = 0 \}.
\]
On dit que \( L \) est abélienne si \( L = Z(L) \).

En général le centre est un idéal de \( L \), c’est-à-dire un sous-espace \( I \le L \) tel que \( [x, y] \in I \) pour touts \( y \in I \) et \( x \in L \) (en particulier c’est une sous-algèbre de Lie). Un autre exemple d’idéal est l’algèbre dérivée de \( L \) définie par :
\[
[L, L] = \{ [x, y] : x, y \in L\}.
\]
On dit qu’une algèbre de Lie est simple si ses seuls idéaux sont elle-même et le sous-espace nul. Par exemple \( \mathfrak{sl}(V) \) est simple (la démonstration est la même que celle de la simplicité du groupe \( \mathrm{SL}(V) \)).

Algèbres résolubles et nilpotentes

La série dérivée \( L^{(0)}, L^{(1)}, \ldots \) de \( L \) est définie par récurrence comme suit :
\[
L^{(0)} = L, L^{(i+1)} = [L^{(i)}, L^{(i)}].
\]
On dit que \( L \) est résoluble si \( L^{(i)} = 0 \) pour \( i \) assez grand. Par exemple, l’algèbre \( \mathfrak{t}_n(F) \) des matrices triangulaires supérieures est résolubles : en effet le \( i \)-ème terme de sa série dérivée est contenu dans les \( (a_{kl} \) telles que \( l \le k + i \Rightarrow a_{kl} = 0 \) donc on a \( L^{(n)} = 0 \).

On a les propriétés de stabilité suivante pour cette notion (les démonstrations sont immédiates d’après les définitions).

Proposition :

  1. Si \( L \) est résoluble alors toute sous-algèbre ou image de \( M \) est résoluble.
  2. Si \( I \) est un idéal résoluble de \( L \) et \( L/I \) est aussi résoluble alors \( L \) elle-même doit être résoluble.
  3. Si \( I, J \) sont des idéaux résolubles de \( L \) alors \( I + J \) aussi.

Il suit de la propriété 3. ci-dessus qu’une algèbre de Lie (de dimension finie) \( L \) contient un unique idéal résoluble maximal. Ce dernier est appelé radical résoluble de \( L \) et noté \( \mathrm{Rad}(L) \).

Définition : On dit que \( L \) est semisimple si l’une des conditions équivalentes suivantes est satisfaite :

  • On a \( \mathrm{Rad}(L) = 0 \) ;
  • Il n’existe pas d’idéal abélien \( I \subset L \) ;

La série centrale \( L^0, L^1, \ldots \) de \( L \) est définie par :
\[
L^0 = L, L^{i+1} = [L, L^i].
\]
On dit que \( L \) est nilpotente si \( L^i = 0 \) pour \( i \) assez grand. Par exemple l’algèbre \( \mathfrak{n}_n(F) \) est nilpotente par le même argument que celui utilisé pour démontrer que \( \mathfrak{t}_n \) est résoluble (noter que \( \mathfrak{t}_n(F) \) elle-même n’est pas nipotente, vu que \( [\mathfrak{t}_n, \mathfrak{t}_n^{(i)}] = \mathfrak{t}_n^{(i)} \) pour \( i \ge 1 \)).

La nilpotence est stable par passage aux sous-algèbres et aux images. On a de plus les propriétés importantes suivantes.

Proposition :

  1. \( L \) est nilpotente si et seulement si \( L/Z(L) \) est nilpotente.
  2. Si \( L \) est nilpotente alors\( Z(L) \not= 0 \).

Théorèmes fondamentaux

Théorème d’Engel

Si \( L \) est une algèbre de Lie nilpotente et \( x_0, \ldots, x_i \in L \) on a \( \mathrm{ad}_{x_i} \cdots \mathrm{ad}_{x_1} \in \mathrm{ad}(L^{i}) \) et cet élément est donc nul pour \( i \) assez grand. En particulier il existe un \( n \) tel que \( (\mathrm{ad}_x)^n = 0 \) pour tout \( x \in L \). Autrement dit tous les éléments d’une algèbre nilpotente sont nilpotents (au sens usuel) dans la représentation adjointe. Le théorème d’Engel est une réciproque de cet énoncé.

Théorème (Engel) : Soit \( L \) une algèbre de Lie. Si \( \mathrm{ad}_x \) est un endomorphisme nilpotent de \( L \) pour tout \( x \in L \) alors \( L \) est nilpotente.

Démonstration

\( L \) est nilpotente si et seulement si \( \mathrm{ad}(L) \) l’est. On obtient alors cet énoncé par récurrence sur \( \dim(L) \), comme conséquence du lemme d’algèbre linéaire suivant : si \( L \) est une sous-algèbre de Lie de \( \mathfrak{gl}(V) \) telle que tout \( x \in L \) est un endomorphisme nilpotent alors il existe un vecteur \( v \in V \) non-nul tel que \( xv = 0 \) pour tout \( x \in L \).

Théorème de Lie

Théorème (Lie) : On suppose que \( F \) est algébriquement clos. Soit \( L \subset \mathfrak{gl}(V) \) une sous-algèbre de Lie résoluble. Il existe un \( v \in V \), \( v \not= 0 \) tel que \( xv \in Fv \) pour tout \( x \in L \).

Démonstration

On obtient cet énoncé par récurrence sur \( \dim(L) \) ; il est évidemment vrai pour \( \dim(L) = 0, 1 \). Le point de départ de la récurrence est le lemme suivant.

Lemme 1 : Il existe un idéal \( I \subset L \) de codimension 1.

Par l’hypothèse de récurrence il existe un \( v \in V \setminus 0 \) tel que \( xv \in Fv \) pour tout \( x \in I \). Soit \( \lambda \) la forme linéaire sur \( I \) telle que \( xv = \lambda(x)v \) pour \( x \in I \). On définit un sous-espace
\[
W = \bigcap_{x \in I} \ker(x – \lambda(x))
\]
qui est non-nul puisque \( v \in W \). On a alors

Lemme 2 : \( LW \subset W \)

On peut alors conclure de la manière suivante : on écrit \( L = Fz + I \) (pour n’importe quel \( z \in L \setminus I \)) et on obtient le vecteur désiré en prenant n’importe quel vecteur propre de \( z \) dans le sous-espace stable \( W \) (c’est ici que l’hypothèse sur \( F \) est utilisée).

Démonstration des lemmes

Le lemme 2 est une conséquence à peu près immédiate de ce que \( I \) est un idéal. Le lemme 1 se démontre comme suit : l’algèbre \( L^a = L/[L, L] \) est abélienne et non-nulle. On choisit un sous-espace \( J \subset L^a \) de codimension 1 ; il suit immédiatement que \( J + [L, L] \) est un idéal de codimension 1 dans \( L \).

Conséquences

Le théorème de Lie a les corollaires immédiats suivants :

  1. Si \( L \) est une sous-algèbre résoluble de \( \mathfrak{gl}(V) \) alors il existe un drapeau de \( V \) (c’est-à-dire une suite de sous-espaces \( 0 = V_0 \subset V_1 \subset \cdots \subset V_n = V \) avec \( \dim(V_{i+1}/V_i) = 1 \)) stabilisé par \( L \) ; autrement dit \( L \) est une sous-algèbre d’un conjugué de \( \mathfrak{t}_n \). (Noter que le théorème d’Engel implique un énoncé similaire pour les sous-algèbres nilpotentes.)
  2. \( L \) est résoluble si et seulement s’il existe des sous-algèbres \( L_0 = 0 \subset \cdots \subset L_n = L \) telles que \( \dim(L_{i+1}/L_i) = 1 \) et \( L_i \) est un idéal de \( L_{i+1} \).
  3. \( L \) est résoluble si et seulement si son algèbre dérivée \( [L, L] \) est nilpotente.

Noter que le dernier point est valide même si \( F \) n’est pas algébriquement clos.

Critère de Cartan

Il suit de la caractérisation traciale des endomorphismes nilpotents, du théorème d’Engel et du dernier critère de résolubilité ci-dessus que si \( L \subset \mathfrak{gl}(V) \) vérifie que \( \mathrm{tr}(xy) = 0 \) pour tout \( x \in [L, L] \) et tout \( y \in L \) alors elle est résoluble. On obtient ainsi le critère de résolubilité suivant.

Théorème (Cartan) : Soit \( L \) une algèbre de Lie. Si \( \mathrm{tr}(\mathrm{ad}_x\mathrm{ad}_y) = 0 \) pour touts \( x \in [L,L] \) et \( y \in L \) alors \( L \) est résoluble.

Structure des algèbres de Lie semisimples

Forme de Killing

Définition : La forme de Killing d’une algèbre de Lie \( L \) est la forme bilinéaire symétrique \( K = K_L \) sur \( L \) donnée par :
\[
K(x, y) = \mathrm{tr}(\mathrm{ad}_x\mathrm{ad}_y).
\]

Les propriétés suivantes sont immédiates :

  1. On a \( K([x, y], z) = K(x, [y, z]) \) (invariance de \( K \)).
  2. Le noyau \( S = \ker(K) = \{ x \in L : K(\cdot, x) = 0\} \) est un idéal de \( L \).
  3. Si \( I \subset L \) est un idéal alors \( K_I = K_L|_I \).

Le résultat utile pour la suite sur la forme de Killing est alors le théorème suivant.

Théorème : \( L \) est semi-simple si et seulement si \( K \) est non-dégénérée.

Démonstration

L’idéal \( S = \ker(K) \) est résoluble (ceci suit directement du critère de Cartan) et si \( L \) est semisimple on a donc \( S \subset \mathrm{Rad}(L) = 0 \) donc \( K \) est non-dégénérée.

Réciproquement, si \( S = 0 \) alors \( L \) ne contient pas d’idéal abélien non-nul (un tel idéal est contenu dans \( S \)). Il suit que \( L \) ne contient pas non plus d’idéal résoluble non-nul (le dernier terme de la série dérivée d’un tel idéal serait un idéal abélien non-nul de \( L \)), et donc que \( \mathrm{Rad}(L) = 0 \).

Décomposition en algèbres simples

Dans toute la suite on suppose que \( L \) est semisimple.

Théorème : Il existe des idéaux simples \( L_1, \ldots, L_n \) de \( L \), uniques à permutation près, tels que l’on ait la décomposition
\[
L = L_1 \oplus \cdots \oplus L_n.
\]

Démonstration

Ceci suit d’une récurrence sur la dimension mise en place comme suit : si \( L \) n’est pas simple elle contient un idéal \( 0 \not= I \not= L \), qui doit lui aussi être semisimple (sinon \( \mathrm{Rad}(I) \) serait un idéal résoluble de \( L \)). Son orthogonal \( I^* \) pour \( K \) est alors un idéal, et on a \( L = I \oplus I^* \) car \( K \) et \( K|_I = K_I \) sont non-dégénérées. On conclut en appliquant l’hypothèse de récurrence à \( I \) et \( I^* \).

Conséquences

Le théorème de décomposition a les corollaires suivants, que l’on peut aussi déduire directement de sa démonstration.

  1. On a \( [L, L] = L \).
  2. Les idéaux et quotients de \( L \) sont aussi semisimples.

Représentation adjointe des algèbres semisimples

La représentation adjointe \( \mathrm{ad} : L \to \mathrm{Der}(L) \) de l’algèbre de Lie semisimple \( L \) a les propriétés suivantes :

  1. \( \mathrm{ad} \) est fidèle ;
  2. \( \mathrm{ad}(L) = \mathrm{Der}(L) \) ;

La première suit immédiatement du fait que \( \ker(\mathrm{ad}) \) est un idéal abélien. La seconde se démontre comme suit : si \( \delta \in \mathrm{Der}(L) \) et \( x \in L \) on a \( \mathrm{ad}_{\delta(x)} = [\delta, \mathrm{ad}_x] \) et il suit que \( \mathrm{ad}(L) \) est un idéal de \( \mathrm{Der}(L) \). Soit \( J \) son orthogonal pour la forme de Killing \( K_{\mathrm{Der}(L)} \) ; alors \( J \cap \mathrm{ad}(L) = 0 \) vu que \( K_I = K_{\mathrm{Der}(L)}|_I \) est non-dégénérée, et par inégalité sur les dimensions \( \mathrm{Der}(L) = J \oplus \mathrm{ad}(L) \). Il suit aussi que \( \mathrm{ad}_{\delta(x)} = [\delta, \mathrm{ad}_x] \in J \cap \mathrm{ad}(L) \) est nul pour touts \( x \in L \) et \( \delta \in J \). Comme \( \mathrm{ad} \) est injective il suit que pour tout \( \delta \in J \) on a \( \delta(x) = 0 \) pour tout \( x \in L \), c’est-à-dire \( \delta = 0 \). On conclut que \( J = 0 \) et donc que \( \mathrm{ad}(L) = \mathrm{Der}(L) \).

Décomposition de Jordan

Proposition : Pour tout \( x \in L \) il existe une paire \( (x_n, x_s) \in L \times L \) telle que \( \mathrm{ad}_{x_n} \) est nilpotent, \( \mathrm{ad}_{x_s} \) est semisimple, \( [x_n, x_s] = 0 \) et \( x = x_s + x_n] \).

Pour démontrer ceci on admet le fait suivant : si \( x \) est une endomorphisme linéaire de \( L \) on note \( x_n \) sa partie nilpotente et \( x_s \) sa partie semisimple (diagonalisable) données par le théorème de réduction de Jordan ; on a alors :

Si \( x \in \mathrm{Der}(L) \) alors \( x_n, x_s \in \mathrm{Der}(L) \).

Le résultat suit alors immédiatement du fait (démontré ci-dessus) que \( \mathrm{ad} \) est un isomorphisme \( L \to \mathrm{Der}(L) \).

La décomposition de Jordan est fonctorielle, c’est-à-dire que pour tout morphisme \( \rho : L \to \mathfrak{gl}(V) \) (dont l’image est forcément contenue dans \( \mathfrak{sl}(V) \)) et tout \( x \in L \) on a \( \rho(x)_n = \rho(x_n) \).

Décomposition radicielle

Soit \( H \subset L \) une sous-algèbre abélienne dont tous les éléments sont semisimples (c-à-d \( x = x_s \) pour tout \( x \in H \)), et maximale pour ces propriétés. (On peut démontrer sans difficulté que demander que \( H \) soit abélienne est superflu.) Une telle sous-algèbre est appelée sous-algèbre de Cartan de \( L \).

Il existe une base de \( L \) qui diagonalise simultanément tous les éléments de \( H \) ; autrement dit il existe un sous-ensemble fini \( \Phi \) du dual \( L^* \) tel que
\[
L = H \oplus \bigoplus_{\alpha \in \Phi} L_\alpha, \: L_\alpha = \{ x \in L : \forall h \in H, \mathrm{ad}_h(x) = \alpha(h)x \}.
\]
Cette décomposition est appelée décomposition radicielle de \( L \) et \( \Phi \) est appelé un système de racines de \( L \). Tout ceci dépend du choix de \( H \) mais on peut démontrer que toutes les sous-algèbres de Cartan sont conjuguées l’une à l’autre et il en va de même pour les décompositions radicielles et systèmes de racines.

On a les propriétés importantes suivantes :

  1. \( [L_\alpha, L_\beta] \subset L_{\alpha+\beta} \) (qui est nul si \( \alpha + \beta \not= 0, \not\in \Phi \) et \( H \) si \( \alpha + \beta = 0 \)).
  2. Pour tout \( \alpha \in \Phi \) le sous-espace \( L_\alpha \) est \( \mathrm{ad} \)-nilpotent.
  3. Si \( \alpha \not= \beta \) alors \( L_\alpha \) est Killing-orthogonal à \( L_\beta \).