Category Archives: Variétés isospectrales

Spectre des longueurs de surfaces hyperboliques arithmétiques

\( \def \RR{\mathbb R} \) \( \def \CC{\mathbb C} \) \( \def \ZZ{\mathbb Z} \) \( \def \QQ{\mathbb Q} \) \( \def \HH{\mathbb H} \) \( \def \vol{\mathrm{vol}} \) \( \def \tr{\mathrm{tr}\,} \) \( \def \bs{\backslash} \) \( \def \PSL{\mathrm{PSL}} \) \( \def \SL{\mathrm{SL}} \) \( \newcommand{\hilbert}[3]{\genfrac{(}{)}{1pt}{}{#1,#2}{#3}} \) \( \def \ram{\mathrm{Ram}} \) \( \def \fp{\mathfrak{p}} \) \( \def \fq{\mathfrak{q}} \)

Soit \( K = \QQ(\sqrt{10}) \) et \( A \) l’algèbre de quaternions sur \( K \) ramifiée en la place infinie liée au plongement \( \sqrt{10} \mapsto -\sqrt{10} \) et en la place finie correspondant à l’idéal \( (7) \). Le but de cet exposé est de démontrer les faits suivants, énoncés dans les exposé précédents :

1) Spectre du laplacien, spectre des longueurs et extensions quadratiques

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La construction de Vignéras (Slavyana Geninska)

\( \def \RR{\mathbb{R}} \) \( \def \CC{\mathbb{C}} \) \( \def \ZZ{\mathbb{Z}} \) \( \def \QQ{\mathbb{Q}} \) \( \def \HH{\mathbb{H}} \) \( \def \vol{\mathrm{vol}} \) \( \def \tr{\mathrm{tr}\,} \) \( \def \bs{\backslash} \) \( \def \SO{\mathrm{SO}} \) \( \def \SL{\mathrm{SL}} \) \( \def \PSL{\mathrm{PSL}} \) \( \def \PGL{\mathrm{PGL}} \) \( \newcommand{\hilbert}[3]{\genfrac{(}{)}{1pt}{}{#1,#2}{#3}} \)

On va expliquer (d’après Marie-France Vignéras) comment la construction de surfaces hyperboliques de la semaine dernière permet d’obtenir des paires de surfaces isospectrales. On cherche donc :

  • Un corps de nombres totalement réel \( K \) ;
  • Une algèbre de quaternions \( A \) sur \( K \) (ramifiée à toutes les places réelles sauf une) ;
  • Des ordres (qui seront maximaux) \( \mathcal O_1, \mathcal O_2 \) dans \( A \) ;

tels que :

  1. \( \Gamma(\mathcal O_i) \bs \HH^2 \) soient des surfaces hyperboliques compactes ;
  2. Elles soient isospectrales ;
  3. Elles ne soient pas isométriques.

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Surfaces hyperboliques arithmétiques (Slavyana Geninska)

\( \def \RR{\mathbb{R}} \) \( \def \CC{\mathbb{C}} \) \( \def \ZZ{\mathbb{Z}} \) \( \def \QQ{\mathbb{Q}} \) \( \def \HH{\mathbb{H}} \) \( \def \vol{\mathrm{vol}} \) \( \def \tr{\mathrm{tr}\,} \) \( \def \bs{\backslash} \) \( \def \SO{\mathrm{SO}} \) \( \def \SL{\mathrm{SL}} \) \( \def \PSL{\mathrm{PSL}} \) \( \def \PSO{\mathrm{PSO}} \) \( \newcommand{\hilbert}[3]{\left(\frac{#1,#2}{#3}\right)} \)

Groupes Fuchsiens arithmétiques

On rappelle que si \( \Gamma\subset\PSL_2(\RR) \) est un sous-groupe discret, sans torsion et cocompact alors le quotient \( \Gamma \backslash \HH^2 \) est une surface hyperbolique (si \( \Gamma \) contient de la torsion on a en plus des singularités coniques). Ici on va construire des exemples explicites de tels sous-groupes \( \Gamma \).

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Introduction aux variétés isospectrales

\( \def \RR{\mathbb{R}} \) \( \def \ZZ{\mathbb{Z}} \) \( \def \QQ{\mathbb{Q}} \) \( \def \HH{\mathbb{H}} \) \( \def \vol{\mathrm{vol}} \) \( \def \tr{\mathrm{tr}\,} \) \( \def \bs{\backslash} \) \( \def \SO{\mathrm{SO}} \) \( \def \SL{\mathrm{SL}} \) \( \def \PSL{\mathrm{PSL}} \) \( \def \PSO{\mathrm{PSO}} \)

NB. Les notes ci-après diffèrent légèrement de l’exposé oral qui en a été tiré.

Dans cet exposé (sauf mention du contraire) toutes les variétés sont fermées, et supposées munies d’une métrique riemannienne ; on garde les notations des exposés précédents et on notera en plus \( \sigma(M) \) le spectre de l’extension \( L^2 \) du laplacien de \( M \). Deux variétés \( M_1 \) et \( M_2 \) sont dites isospectrales si \( \sigma(M_1) = \sigma(M_2) \). On utilisera parfois le terme ‘isospectral’ pour signifier ‘isospectral, non-isométrique’.

1) Retour sur le spectre et la géométrie

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