Spectre des longueurs de surfaces hyperboliques arithmétiques

\( \def \RR{\mathbb R} \) \( \def \CC{\mathbb C} \) \( \def \ZZ{\mathbb Z} \) \( \def \QQ{\mathbb Q} \) \( \def \HH{\mathbb H} \) \( \def \vol{\mathrm{vol}} \) \( \def \tr{\mathrm{tr}\,} \) \( \def \bs{\backslash} \) \( \def \PSL{\mathrm{PSL}} \) \( \def \SL{\mathrm{SL}} \) \( \newcommand{\hilbert}[3]{\genfrac{(}{)}{1pt}{}{#1,#2}{#3}} \) \( \def \ram{\mathrm{Ram}} \) \( \def \fp{\mathfrak{p}} \) \( \def \fq{\mathfrak{q}} \)

Soit \( K = \QQ(\sqrt{10}) \) et \( A \) l’algèbre de quaternions sur \( K \) ramifiée en la place infinie liée au plongement \( \sqrt{10} \mapsto -\sqrt{10} \) et en la place finie correspondant à l’idéal \( (7) \). Le but de cet exposé est de démontrer les faits suivants, énoncés dans les exposé précédents :

1) Spectre du laplacien, spectre des longueurs et extensions quadratiques

La formule des traces de Selberg

Un cas particulier de la formule des traces de Selberg est l’énoncé suivant.

Théorème : Pour tout \( t > 0 \) il existe \( I_t >0 \) et une fonction \( h_t : (0, +\infty ) \to \RR \) telle que pour toute surface hyperbolique compacte \( S \), si \( \mathcal P \) désigne l’ensemble des géodésiques primitives sur \( S \) et \( \lambda_0=0 < \lambda_1 \le \ldots \le \lambda_n \le \ldots \) sont les valeurs propres du Laplacien de \( S \), en désignant par \( \ell(\gamma) \) la longueur de la courbe \( \gamma \) on a l'égalité :
\[
\sum_{n \ge 0} e^{-t\lambda_n} = \vol(S) I_t + \sum_{\gamma \in \mathcal P} \ell(\gamma) \sum_{k \ge 1} h_t \left( |k|\ell(\gamma) \right).
\]
De plus les deux côtés de l'égalité sont finis.

Comme le sous-espace engendré par les fonctions \( \lambda \mapsto e^{-t\lambda},\, t\in (0,+\infty) \) est dense (pour la topologie de la convergence uniforme sur les compacts) dans \( C^\infty(\RR) \) il suit que la connaissance du spectre des longueurs \( \ell(\gamma),\, \gamma \in \mathcal P \) suffit pour déterminer le spectre de \( S \).

Par le théorème d’uniformisation on peut écrire \( S = \Gamma \bs \HH^2 \) où \( \Gamma \) est un sous-groupe discret, sans torsion du groupe \( \PSL_2(\RR) \) des isométries directes de \( \HH^2 \) (identifié au demi-plan supérieur). Le spectre des longueurs est alors lui-même déterminé par les classes de conjugaison de \( \Gamma \) de la manière suivante : un élément \( \gamma \in\Gamma \setminus \{ \mathrm{Id} \} \) peut d’écrire
\[
\gamma = g \left( \begin{array}{cc} e^{\ell/2} & 0 \\ 0 & e^{-\ell/2} \end{array} \right) g^{-1}
\]
pour un \( g\in \PSL_2(\RR) \). La projection de la géodésique \( g\cdot (0, + \infty) \subset \HH^2 \) dans \( S \) est alors une géodésique fermée, de longueur \( \ell \) si \( \gamma \) est primitif. On voit que \( \ell \) est déterminé par \( \tr(\gamma) = 2\cosh(\ell) \). Toute géodésique fermée sur \( S \) est obtenue de cette manière ; de plus deux éléments primitifs \( \gamma, \gamma’ \in\Gamma \) déterminent la même géodésique si et seulement si \( \gamma’ \) est conjugué dans \( \Gamma \) à \( \gamma \) ou \( \gamma^{-1} \).

Plongement d’ordres quadratiques et surfaces arithmétiques

Dans la suite \( K \) est un corps de nombres totalement réel et \( R_K \) son anneau des entiers.

Définition : Soit \( B \) une \( K \)-algèbre. Un \( R_k\)-ordre (on dira souvent juste « ordre » dans la suite) de \( B \) est un sous-\( R_K \)-module de \( B \) finiment engendré, engendrant \( B \) sur \( K \), et qui est un sous-anneau de \( B \).

Un ordre quadratique est un ordre dans une extension quadratique de \( K \).

Soit \( A \) une algèbre de quaternions sur \( K \) ramifiée à toutes les places infinies de \( K \) sauf une ; on suppose de plus que \( A^\times \) ne contient pas d’élément d’ordre fini autre que \( -1 \). Soit \( \mathcal O \) un ordre de \( A \) et \( \Gamma(\mathcal O) \subset \PSL_2(\RR) \) le groupe fuchsien associé.

Soit \( \gamma \in \Gamma(\mathcal O) \setminus \{ \mathrm{Id} \} \) un élément primitif et \( a \in \mathcal O^1 \) une préimage. La sous-algèbre \( L = K(a) \) engendrée par \( a \) est une extension quadratique de \( K \), et \( \Omega = L \cap \mathcal O \) est un ordre de \( L \). On va montrer que \( \Omega \) détermine uniquement la longueur de la géodésique fermée associée à \( \gamma \). D’après le paragraphe précédent il suffit de montrer que \( \Omega \) détermine \( \tr(a) \) au signe près (où \( \tr \) désigne la trace dans l’algèbre de quaternions \( A \)).

Comme \( a \in \mathcal O^1 \) on a :
\[
a \in \Omega^1 := \{ b \in \Omega :\: b\bar b = 1 \}
\]
(où \( \bar\cdot \) désigne l’automorphisme de Galois non-trivial de l’extension quadratique \( L/K \)). Le groupe abélien \( \Omega^1 \) est d’indice fini dans \( R_L^1 \) ; comme \( L \hookrightarrow A \) et \( A \) ramifie à toutes les places réelles de \( K \) sauf une, le rang du groupe abélien \( R_L^1 \), qui est égal à la différence des rangs de \( R_L^\times \) et \( R_K^\times \), est égal à un par le théorème des unités de Dirichlet. Comme \( L \hookrightarrow A \) on a aussi que le seul élément de torsion de \( \Omega^1 \) est \( -1 \), et il suit que \( a \) est un générateur de \( \Omega^1 \), et donc que \( \tr(a) = a + \bar a \) est bien déterminé (au signe près) par \( \Omega \).

Si \( \Omega \subset L \) est un ordre quadratique, \( \iota :\: \Omega \to A \) un plongement et \( \mathcal O \) un ordre de \( A \) on dit que \( \iota \) est optimal pour \( \mathcal O \) si \( \Omega = \left( K \cdot \iota(\Omega) \right) \cap \mathcal O \). D’après ce qui précède on a le résultat suivant :

Proposition : Le spectre des longueurs d’une surface arithmétique \( S = \Gamma(\mathcal O) \bs \HH^2 \) est déterminé par les classes de conjugaison (par \( \mathcal O^1 \)) des plongements optimaux pour \( \mathcal O \) d’ordres quadratiques dans \( A \).

On remarque que l’on peut facilement remplacer « plongements optimaux » dans le résultat ci-dessus par « plongements » : en effet, le nombre de plongements optimaux d’un ordre donné est déterminé par le nombre de plongements de tous les ordres qui le contiennent.

Le théorème à démontrer est donc une conséquence du résultat algébrique suivant.

Théorème A : Soient \( \Omega \) un ordre quadratique, \( A \) une algèbre de quaternions non-ramifiée en au moins une place infinie et ramifiée en au moins une place finie. Si \( \mathcal O_1,\, \mathcal O_2 \) sont des ordres maximaux dans \( A \) alors les nombres de classes de conjugaisons de plongements de \( \Omega \) dans \( \mathcal O_i \) sont les mêmes.

On va décrire une démonstration de ce théorème due à Ted Chinburg et Eduardo Friedman. Ce faisant on décrira les classes de conjugaison d’ordres maximaux et la preuve de l’autre résultat utilisé par Vignéras.

Remarques :

  1. La condition sur \( A \) donnée dans le théorème n’est pas strictement nécéssaire mais la conclusion n’est pas vraie en générale (une version plus fine donne une condition nécéssaire et suffisante sur le couple \( A, L \) pour que \( \Omega \) se plonge dans tous les ordres maximaux).
  2. On peut établir des formules « explicites » pour le nombre de plongements optimaux.

2) Principes locaux-globaux

Localisation

Dans la suite on notera \( K \) est un corps de nombres, \( A \) une algèbre de quaternions sur \( K \) et \( \mathcal O \subset A \) un ordre. Si \( v \) est une valuation de \( K \) on abréviera \( A_v = A\otimes_K K_v \), et si \( v \) est non-archimédienne (on notera parfois \( V_f \) l’ensemble des places finies de \( K \)) on note \( R_v = \{ x\in K_v :\: v(x) \le 1 \} \) (l’adhérence de \( R_K \) dans \( K_v \)) et \( \mathcal O_v = \mathcal O \otimes_{R_K} R_v \). Ce processus de localisation vérifie les propriétés suivantes :

  • Si \( \mathcal O,\, \mathcal O’ \) sont deux ordres de \( A \) alors pour presque toute \( v \) on a \( \mathcal O_v = \mathcal O_v’ \).
  • Un ordre \( \mathcal O \) est maximal si et seulement si \( \mathcal O_v \) est maximal pour toute place finie \( v \).

On peut donc décrire un ordre maximal de \( A \) en spécifiant pour chaque place finie un ordre maximal de \( A_v \). La description locale des ordres maximaux est de plus extrêmement simple.

Théorème : Soit \( v \) une place finie de \( K \).

  1. Si \( A_v \overset{\sim}{\underset{\phi}{\rightarrow}} M_2(K_v) \) alors les ordres maximaux dans \( A_v \) sont exactement les conjugués de \( \phi^{-1} M_2(R_v) \).
  2. Si \( A_v \) est une algèbre à division alors elle contient exactement un ordre maximal.

Approximation forte

Une conséquence du paragraphe précédent est que si \( \mathcal O \) et \( \mathcal O’ \) sont deux ordres maximaux de \( A \) il existe une collection \( g_v \in A_v^\times \) pour \( v \in V_f\) telle que \( g_v = \mathrm{Id} \) pour presque toute \( v \) et \( \mathcal O_v’ = g_v \mathcal O_v g_v^{-1} \). En général \( \mathcal O \) et \( \mathcal O’ \) ne sont dependant pas conjugués dans \( A \), c’est-à-dire qu’il n’existe pas de choix des \( g_v \) et de \( \gamma \in A^\times \) tel que \( \gamma \in g_v\mathcal O_v^\times \) pour toute \( v \). C’est le cas si \( n(g_v) = 1 \) pour toute \( v \), d’après le théorème d’approximation forte pour le groupe algébrique \( A^1 \). L’énoncé précis est le suivant.

Théorème : Soient \( S \subset V_f \) un sous-ensemble fini et \( g_v \in A_v^1, \, v \in S \). Il existe un \( \gamma \in A^1 \) tel que :

  • Pour \( v \in S \) on a \( \gamma \in g_v \mathcal O_v^1 \) ;
  • Pour \( v \not\in S \) on a \( \gamma \in \mathcal O_v^1 \).

Si \( A \) n’est pas ramifiée en \( \fp \) et si \( \mathcal O_\fp,\, \mathcal O_\fp’ \) sont deux ordres maximaux de \( A_\fp \) on a :
\[
\left| \mathcal O_\fp / \left( \mathcal O_\fp \cap \mathcal O_\fp’ \right) \right| = \left| \mathcal O_\fp / \left( \mathcal O_\fp \cap \mathcal O_\fp’ \right) \right| = |\fp|^n
\]
pour un entier \( n\ge 0 \). On définit la distance \( d(\mathcal O_\fp, \mathcal O_\fp’) = n \) entre les deux ordres. On peut démontrer facilement qu’il existe toujours un \( g_\fp \in A_\fp^1 \) tel que \( d(\mathcal O_\fp, g_\fp \mathcal O_\fp’ g_v^{-1}) \le 1 \). De plus, deux idéaux à distance 1 de \( \mathcal O_v \) sont conjugués par un élémént de \( \mathcal O_v^1 \).

Un exemple important pour le reste de l’exposé est le suivant : on suppose que \( \mathcal O_v = M_2(R_v) \), si \( \mathcal O’ \) est un autre ordre maximal de \( A \) il existe \( a \in A^1 \) tel que \( (a \mathcal O’ a^{-1} )_v = M_2(R_v) \) ou
\[
\begin{array}{ll}
(a \mathcal O’ a^{-1} )_v &= t_v M_2(R_v) t_v^{-1} \\
&= \left\{ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) :\: a, b, c, d \in R_v,\, v(b) \le q_v^{-1}, v(c) \le q_v \right\}
\end{array}
\]
Ici \( q_v = \min(v(x): v(x) > 1) \), \( t_v = \left( \begin{array}{cc} \pi_v & 0 \\ 0 & \pi_v^{-1} \end{array} \right) \), où \( \pi_v \in R_v \) est un élément tel que \( v(\pi_v) = q_v \).

Classes de conjugaison d’ordres maximaux

Si on fixe un ordre maximal \( \mathcal O \) et si \( S \) est un ensemble fini de places finies on a donc une application bien définie de \( \{0,1\}^S \) dans l’ensemble des classes de conjugaison d’ordres maximaux de \( A \). On peut trouver un tel ensemble \( S \) de sorte que cette application soit une bijection, come décrit par le théorème suivant, qui est essentiellement une conséquence du théorème d’approximation forte. Si \( R \) est un sous-ensemble des places réelles de \( K \) on note \( \mathcal P_R \) l’ensemble des idéaux fractionnaires de \( K \) qui soient principaux, engendré par un élément de \( K \) positif à toutes les places de \( R \).

Théorème : Soit \( S(A) \subset V_f \) un sous-ensemble d’idéaux premiers tel que :

  1. \( S(A) \cap \ram_f(A) = \emptyset \) ;
  2. Pour touts \( \fp \not= \fq \) dans \( S(A) \), l’idéal fractionnaire \( \fp \fq^{-1} \not\in \mathcal P_{\ram_\infty(A)}\) ;
  3. Pour \( \fp \in S(A) \) le plus petit entier \( m \ge 1 \) tel que \( \fp^m \) soit dans \( \mathcal P_{\ram_\infty(A)} \) est pair.

Alors les classes de conjugaison d’idéaux maximaux de \( A \) sont en bijection avec \( \{0,1\}^{S(A)} \) via l’application ci-dessus.

Ces conditions imposent que \( S(A) \) est fini (à cause de la finitude du groupe de classes de \( K \)), en fait que :
\[
n_2(h_K) \le |S(A)| \le n_2(h_K) + |\ram_\infty(A)|
\]
où \( h_K \) est le nombre de classes de \( K \) et \( n_2 \) est la 2-valuation sur \( \ZZ \). Une conséquence du théorème est en particulier la suivante : si \( h_K \) est pair et \( A \) n’est ramifiée en aucun idéal d’ordre pair dans le groupe de classes alors il existe au moins deux classes de conjugaison d’ordres maximaux dans \( A \). Le groupe de classes de \( K = \QQ(\sqrt{10}) \) est d’ordre \( 2 \), et il suit immédiatement que l’algèbre de quaternions \( A/K \) ramifiée en l’idéal principal \( (7) \) contient deux ordres maximaux non-conjugués.

3) Classes de conjugaisons de plongements

La démonstration de Chinburg et Friedman du théorème A repose sur un raffinement du résultat de classification des ordres maximaux donné dans le paragraphe précédent. La preuve de ce dernier est hors de notre portée, on se contentera de le citer comme suit :

Lemme : Soit \( L/K \) une extension quadratique telle que \( L \hookrightarrow A \). On peut choisir l’ensemble \( S(A) \) dans le théorème ci-dessus tel que \( L \otimes K_\fp \cong K_\fp \times K_\fp \) pour tout \( \fp \in S(A) \).

Une fois ceci accepté la démonstration procède sans heurt. Pour \( \mathcal O \) un ordre de \( A \) et \( \Omega \) un ordre quadratique on note \( \mathcal E(\Omega, \mathcal O) \) l’ensembles des classes de conjugaison par \( \mathcal O^1 \) des plongements de \( \Omega \) dans \( \mathcal O \). Etant donnés \( \mathcal O, \mathcal O’ \) deux ordres maximaux dans \( A \) on va construire une bijection de \( \mathcal E(\Omega, \mathcal O) \) vers \( \mathcal E(\Omega, \mathcal O’) \).

Soit \( \iota \) un représentant d’une classe dans \( \mathcal E(\Omega, \mathcal O) \). Quitte à conjuguer \( \mathcal O’ \) par un élément de \( A^1 \) on peut supposer que \( \mathcal O_\fq = \mathcal O_\fq’ \) pour \( \fq \not\in S(A) \). Soit \( \fp \in S(A) \). D’après le lemme ci-dessus il existe un isomorphisme \( \phi_\fp :\: A_\fp \overset{\sim}{\rightarrow} M_2(K_\fp) \) tel que \( \phi_\fp(\mathcal O_\fp) = M_2(R_\fp) \) et
\[
\phi_\fp(\iota \Omega) \subset \left( \begin{array}{cc} R_\fp & 0 \\ 0 & R_\fp \end{array} \right).
\]
Il existe aussi un \( g_\fp \in \SL_2(K_\fp) \) tel que :
\[
g_\fp \phi_\fp(\mathcal O_\fp’) g_\fp^{-1} = \left\{ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) :\: a, d \in R_\fp,\, b \in \fp R_\fp,\, c \in \fp^{-1} R_\fp \right\}
\]
de sorte que \( \phi_\fp(\iota \Omega) \subset g_\fp \phi_\fp(\mathcal O_\fp’) g_\fp^{-1} \). Par le théorème d’approximation forte pour \( A^1 \) il existe un \( a \in A^1 \) tel que \( \phi_\fp(a) \in g_\fp \phi(\mathcal O_\fp^1) g_\fp^{-1} \) pour \( v \in S(A) \) et \( a \in \mathcal O_v^1 \) sinon. On associe alors à la classe de \( \iota \) dans \( \mathcal E(\Omega, \mathcal O) \) celle de \( \mathrm{int}(a) \circ \iota \) dans \( \mathcal E(\Omega, \mathcal O’) \) (où \( \mathrm{int}(a) \) est l’automorphisme de \( A \) induit par la conjugaison par \( a \)).

Il est facile de vérifier que cette application est bien définie ; il suit immédiatement que c’est une bijection puisqu’on peut renverser les rôles de \( \mathcal O \) et \( \mathcal O’ \).

Références

Le contenu de l’exposé provient en grande partie du livre :

  • Colin MacLachlan et Alan Reid, The arithmetic of hyperbolic 3–manifolds, Springer GTM 2003.

Le théorème de plongement sous la forme ci-dessus est apparu dans l’article :

  • Ted Chinburg, Eduardo Friedman, An embedding theorem for quaternion algebras, JLMS 60, 1999.

Le chapitre 8 du livre :

  • Nicolas Bergeron, Le spectre des surfaces hyperboliques, EDP éditions/CNRS 2010.

contient une exposition détaillée du matériel ci-dessus (et un peu plus) dans le cas plus élémentaire des algèbres de quaternions sur \( \QQ \).