$\def \RR{\mathbb{R}}$ $\def \vol{\mathrm{vol}}$ $\def \op{\mathrm{op}}$

Théorème de Shnirelman : Soit $(M, g)$ une variété riemannienne compacte et $(e_j)_{j\ge 0}$ une base propre orthonormée pour le Laplacien $\Delta_g$ :

$$-\Delta_g e_j = \lambda_j e_j, \quad 0 = \lambda_0 < \lambda_1 \le \ldots \le \lambda_j \le \ldots .$$
Si le flot géodésique de $M$ est ergodique alors il existe une suite d'indices $j_k$ de densité 1 (i.e. $|\{ k :\: j_k \le N \}| /N \to 1$ quand $N \to +\infty$) telle que la suite de mesures $|e_{j_k}|^2 d\vol_g$ converge faiblement vers le volume normalisé $d\vol_g/\vol_g(M)$ ; c'est-à-dire que pour toute fonction $\psi \in C(M)$ on a :
$$\int_M f(x)|e_{j_k}(x)|^2 d\vol_g(x) \underset{k \to +\infty}{\to} \frac{\int_M fd\vol_g}{\vol(M)}.$$

Ce théorème a été annoncé (sans preuve) par Shnirelman en 1974 ; la première démonstration en a été donnée par Steve Zelditch (publiée en 1987) suivie par une autre dûe à Yves Colin de Verdière (publiée en 1985).

Sur la sphère $\mathbb S^n$ (dont le flot géodésique n’est pas du tout ergodique) il existe des suites de fonctions propres (qui ne sont pas de densité 1) qui ne satifont pas à la conclusion du théorème. Par exemples les fonctions :

$$Q_k(x) = C_k \mathrm{Re}(x_1 + x_2)^k$$
où $c_k \sim k^{(n-1)/4}$, qui sont des fonctions propres normalisées de valeur propre $k(k + n – 1)$, se concentrent sur la géodésique fermée $\{x_1 = x_2 = 0 \} \cap \mathbb S^n$ : en effet, en-dehors du plan $\{ x_1 = x_2 = 0 \}$ elles décroiossent exponetiellement, uniformément sur les compacts.

Flot géodésique et ergodicité

Un exemple simple de flot hamiltonien

Soit $H$ le fonction définie sur $\RR^{2n}$ par

$$H(x, \xi) = \frac{|\xi|^2} 1 + \frac{|x|^2} 2.$$
Les équations différentielles :
$$\overset{\circ}{x} = \frac{\partial H}{\partial \xi}(x, \xi), \: \overset{\circ}{\xi} = \frac{\partial H}{\partial x}(x, \xi)$$
définissent un flot $\Phi_H^t, t \in \RR$ sur $\RR^{2N}$ vérifiant $H \circ \Phi_H^t = H$ (on peut voir que l’on a explicitement :
$$\Phi_H^t(y, \eta) = (\cos(t) y + \sin(t) \eta, -\sin(t) y + \cos(t) \eta)$$
pour $(y, \eta) \in \RR^{2n}$) qui est ke flot hamiltonien associé à $H$.

Le flot géodésique comme flot hamiltonien

On définit la fonction $H$ sur le fibré cotangent $T^* M$ par $H(x, \xi) = |\xi|^2$ où $|\cdot|$ est la norme induite sur $T^* M$ par $g$, donnée en coordonnées par :

$$\left| \sum_{j=1}^n \xi_j dx_j \right|^2 = \sum_{i,j = 1}^n g^{ij}(x)\xi_i \xi_j$$
où $(g^{ij})$ est la matrice inverse de la matrice de $g$ dans les coordonnées $x_j$.

On peut associer à $H$ un champ de vecteurs $X_H$ sur $T^* M$ défini par :
$$X_H = \sum_j \left( \frac{\partial H}{\partial \xi_j} \partial x_j + \frac{\partial H}{\partial x_j} \partial \xi_j \right)$$
et le flot $\Phi_H^t$ de ce champ conserve $H$.

Proposition : Si $M$ est compacte (sans bord) alors le flot $\Phi_H$ est défini à tout temps $t$.

Les géodésiques (paramétrées à vitesse constante) de $M$ sont les images par la projection $T^* M \to M$ des trajectoires du flot $\Phi_H$.

Mesure de Liouville

Le fibré cotangent $T^* M$ est naturellement muni d’une mesure $|dx~ d\xi |$ dont l’expression en coordonnées est simplement $dx_1 \ldots dx_n d\xi_1 \ldots d\xi_n$.

Définition : Soit $S^* M = H^{-1}( \{ 1 \} )$ le fibré unitaire cotangent de $M$ ; la mesure de Liouville $dL_g$ sur $S^* M$ est la mesure induite par $|dx~d\xi|$ sur ce dernier.

Cette définition signifie que $dL_g$ est l’unique mesure telle que l’on ait $|dx~d\xi| = |\cdot|^{n-1}d|\cdot|~ dL_g$, autrement dit que pour toute fonction $f \in C_0(T^* M)$ on a :

$$\iint_{T^*M} f~|dx~d\xi| = \int_0^{+\infty} \int_{S^* M} f(\rho\omega)~dL_g(\omega)\rho^{n – 1}~d\rho.$$

Ergodicité

Définition : On dit que le flot géodésique est ergodique sur $M$ si les seuls sous-ensembles boréliens de $S^* M$ invariants par $\Phi_H^t$ sont de mesure nulle ou pleine.

On remarque que la définition de l’ergodicité ne dépend que de la classe de la mesure de Liouville. On utilisera l’ergodicité principalement à travers le résultat suivant.

Théorème ergodique de Birkhoff : Si le flot $\Phi^t$ est ergodique pour la mesure $dL_g$, alors pour toute fonction $f \in C(S^* M)$ on a :

$$\frac 1 T \int_0^T f(\Phi^t (\omega))~dt \underset{T \to +\infty}{\to} \frac{\int_{S^* M} f~dL_g}{\vol(S^* M)}$$
pour presque tout $\omega \in S^* M$.

Lien entre fonctions propres et flot géodésique

Le théorème se reformule de la manière suivante : pour toute fonction $\psi \in C(M)$ d’intégrale nulle sur $M$ on veut démontrer qu’il existe une suite $j_k$ de densité 1 telle que l’on ait

$$\int_M \psi e_{j_k} \cdot \overline{e_{j_k}} d\vol_g \underset{k \to +\infty}{\to} 0.$$
Le côté gauche est égal au produit scalaire $\langle e_j, \psi e_j \rangle_{L^2}$, et pour démontrer le théorème de Shnirelman on prouve la limite :
$$\frac 1 N \sum_{j=1}^N \left| \langle e_j, \psi e_j \rangle_{L^2} \right| \underset{N \to +\infty}{\to} 0.$$

Soit $U(t)$ l’opérateur unitaire $e^{-it\Delta_g}$ ; vu que $e_j$ est une fonction propre du laplacien on a :

$$\langle e_j, \psi e_j \rangle = \langle e^{it\lambda_j} e_j, \psi e^{it\lambda_j} e_j \rangle = \langle U(t)e_j, \psi U(t) e_j \rangle$$
et donc finalement $\langle e_j, \psi e_j \rangle = \langle e_j, U(-t) \psi U(t) e_j \rangle$. On écrit $\Lambda_N = h^{-2}$ et on choisit une fonction lisse $\varphi$ approximant $1_{[0,1]}$, de sorte que pour tout $j \le N$ on ait $\varphi(-h^2\Delta_g)e_j = e_j$. Il suit que l’on a
$$\langle e_j, \psi e_j \rangle = \langle e_j, (U(-t)\psi\varphi(-h^2 _Delta_g) U(t)) e_j \rangle.$$
A ce moment on utilise le fait qu’il existe une application (quantification pseudo-différentielle) :
$$\op_h : C_0^\infty(T^* M) \to \mathcal B\left( L^2(M) \right)$$
vérifiant les égalités approchées :
$$U(t) \op_h(a) U(-t)) = \op_h(a \circ \Phi_H^t) + O(h)$$
et :
$$\psi \cdot \varphi(-h^2\Delta_g) = \op_h(\psi \cdot \varphi \circ H) + O(h).$$
(à partir d’ici ne pas faire confiance aux notes) On a $(\psi \cdot \varphi \circ H) \circ \Phi_H^t \to 0$ presque partout et en analysant l’interversion de limites $T \to +\infty$ et $N \to +\infty$ on peut parvenir à utiliser ceci pour démontrer le résultat souhaité.