\( \def \RR{\mathbb R} \) \( \def \CC{\mathbb C} \) \( \def \ZZ{\mathbb Z} \) \( \def \QQ{\mathbb Q} \) \( \def \HH{\mathbb H} \) \( \def \vol{\mathrm{vol}} \) \( \def \tr{\mathrm{tr}\,} \) \( \def \bs{\backslash} \) \( \def \PSL{\mathrm{PSL}} \) \( \def \SL{\mathrm{SL}} \) \( \newcommand{\hilbert}[3]{\genfrac{(}{)}{1pt}{}{#1,#2}{#3}} \) \( \def \ram{\mathrm{Ram}} \) \( \def \fp{\mathfrak{p}} \) \( \def \fq{\mathfrak{q}} \)
Soit \( K = \QQ(\sqrt{10}) \) et \( A \) l’algèbre de quaternions sur \( K \) ramifiée en la place infinie liée au plongement \( \sqrt{10} \mapsto -\sqrt{10} \) et en la place finie correspondant à l’idéal \( (7) \). Le but de cet exposé est de démontrer les faits suivants, énoncés dans les exposé précédents :
- Il existe dans \( A \) deux ordres maximaux \( \mathcal O_1 \) et \( \mathcal O_2 \) qui ne sont pas conjugués par un élément de \( A ^\times \) ;
- Les surfaces hyperboliques \( \Gamma(\mathcal O_1) \bs \HH^2 \) et \( \Gamma(\mathcal O_2) \bs \HH^2 \) sont isospectrales.