Jisom

Planning :

9h30-12h (30 mn de pause) Yousuke Ohyama (Osaka university)

Titre : Asymptotic analysis on the Painlevé equations: Boutroux 100

Résumé : A hundred years has passed since Pierre Boutroux studied global asymptotics of the Painleve equations. In these 25 years, many researchers have been studied Boutroux’s analysis from a modern viewpoint. Painleve transcendents have three different types of asymptotic expansion: (1) power expansions around regular singular points, (2) exponential expansions around irregular singular points, (3) Global elliptic expansions. We will study these three types of expansions for a special Painleve equation using isomonodromic deformations. Reference: P. Boutroux, Recherches sur les transcendantes de M. Painleve et l’etude asymptotique des equations differentielles du second ordre, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (3) 30, pp. 255–375; 31 (1914), pp. 99–159. ***

14h-16h30 (30 mn de pause) Takeshi Morita (Osaka university)

Titre: Connection problems on higher order linear q-difference equations

Résumé court : We study connection problems on higher order linear $q$-difference equations between around the origin and around the infinity. For simplicity, we deal with the third order $q$-difference equations. In the fundamental system of solutions around the origin, divergent basic hypergeometric series appear. We use the $q$-Borel-Laplace transformations to obtain the asymptotic expansion of these divergent series. Our conclusion also give examples of the $q$-Stokes coefficients.

Résumé long

9h30-12h00 (30 mn de pause à 10h30)  Carlos Simpson (Nice)

Titre: Isomonodromie et Kodaira-Spencer nonabélien

Résumé: La filtration de Hodge sur la cohomologie nonabélienne se présente comme un espace de modules fibré au-dessus de A^{^1}, equivariant par rapport a G_m, et le fibre en 0 est le « gradué associé ». Dans le cas d’une famille, on expliquera comment la connexion d’isomonodromie s’étend en un opérateur de Kodaira-Spencer sur la fibre en 0. Dans le cas de la cohomologie nonabélienne d’ordre supérieur on peut obtenir des invariants de Kodaira-Spencer secondaires. Dans le cas de la cohomologie d’ordre 1, on peut interpreter ceci en termes d’une compactification de l’espace des connexions plates.

14h40-17h10 (30 minutes de pause à 15h40) Bernard Malgrange (Grenoble)

Titre: Painlevé6-Picard et le pendule.
Résumé: je rappellerai d’abord divers aspects de  cette équation ,entre autres :déformation isomonodrodrique des fibrés plats de rang un sur la famille de Legendre de courbes elliptiques. Je montrerai ensuite qu’elle peut aussi être considérée comme le groupe de Galois différentiel  du pendule.

9h30-12h (30 mn de pause à 10h30) : Yohann Genzmer (IMT)

Titre: Une approche de l’isomonodromie non-linéaire.

Résumé: Nous présenterons une technique de type chirurgie des variétés pour construire des déformations isomonodromiques de singularités de feuilletages du plan complexe. Une bonne partie de l’exposé sera consacré à l’introduction des notions fondamentales – feuilletages, structures transverses, monodromie … – menant à la construction évoquée.

notes d’exposé Y. Genzmer

14h-16h30 (30 mn de pause à 10h30) : Guy Casale (Rennes)

Titre
Un theoreme de Kiso et Cassidy sur les algebres de Lie intransitives de champs de vecteurs
Résumé
Soit L une algebre de Lie  de champs de vecteurs holomorphes sur une variete N x M tangents a la projection sur M.
Si L est simple et de dimension finie alors il existe un feuilletage F sur N le long duquel L est un deploiement (i.e.  les elements de L sont les sections plates d’une connexion le long de F)
Ce theoreme a ete demontre independement par Kiso (1979) dans un cadre C infini et par Cassidy (1977 puis 1989) dans le cadre algebrique des algebres de Lie differentielles.
Pour une famille d’equation differentielles lineaires Singer et Cassidy ont defini un groupe de Galois « a parametres » dont l’algebre de Lie est une algebre de Lie intransitive de champs de vecteurs. Dans le cas d’une famille universelle d’equation fuchsiennes de groupe de Galois SL_2, le feuilletage de Kiso-Cassidy est le systeme de Schlesinger caracterisant les deformations isomonodromiques.
Je presenterai les deux preuves de l’existence du feuilletage de Kiso-Cassidy et discuterai de l’extension de ce theoreme au cas non simple et de son utilisation pour definir le feuilletage « des deploiements » d’une deformation d’un feuilletage.

Organisation de la journée :

9h30-10h30  : C. Sabbah  » Structures de Hodge non commutatives et structures tt*  » (partie I)

10h30 : pause café

11h-12h: C. Sabbah  » Structures de Hodge non commutatives et structures tt*  » (partie II)

14h-15h: P. Boalch « Transformation groups for isomonodromy equations (partie I)

15h30-16h30: P. Boalch  » Transformation groups for isomonodromy equations » (partie II)

Résumé des exposés:

Claude Sabbah :  » Structures de Hodge non commutatives et structures tt*  »

Résumé:
Après avoir rappelé ce qu’est le problème de Birkhoff pour un système différentiel linéaire d’une variable et la notion de déformation isomonodromique pour un système à singularité irrégulière, je considérerai un problème analogue, mais qui fait intervenir la conjugaison complexe. Ceci conduit à la notion de structure de Hodge non commutative et à ses déformations, qui donnent une variante \og intégrable\fg de la notion de variation de structure de twisteur introduite par Carlos Simpson (prépublication Univ. Toulouse, 1997). Je mentionnerai enfin la relation avec Painlevé III.
Philip Boalch :  » Transformation groups for isomonodromy equations »

Résumé : The best-known isomonodromy system, the system of Schlesinger equations, appeared in Schlesinger’s ICM talk in 1908. The next significant generalisation appeared in the work of Jimbo-Miwa-Mori-Sato (JMMS) in 1980, in relation to the quantum nonlinear Schrodinger equation. In 1994 Harnad showed that the JMMS system admits a symmetry, not shared by the Schlesinger equations, nor by the isomonodromy systems of Jimbo-Miwa-Ueno (1981). In this talk I will describe some of the theory of simply-laced isomonodromy systems and their automorphisms/isomorphisms. These systems generalise the JMMS system (and are not included in the JMU system), and the isomorphisms generalise Harnad’s duality. As a special case we recover the Okamoto symmetries of the fourth, fifth and sixth Painleve equations, and put these symmetries into the larger context of Weyl groups for not-necessarily-affine Kac-Moody root systems. On one hand this explains why there are such symmetries, via the Fourier-Laplace transform, and on the other hand it shows where such exotic root systems occur in nature. The appearance of such root systems and Weyl groups seems to distinguish this theory from earlier work on soliton equations. As a corollary we may attach an isomonodromy system to any complete k-partite graph (for any k), and more generally to any « supernova » graph (and some data on the graph). In particular the Painleve equations 4,5,6 are attached to the triangle, square and four legged star respectively, as suggested by Okamoto’s work (that the affine Weyl groups of these graphs give the symmetry groups of these Painleve equations). The bipartite case k=2 gives the JMMS system. Further, by considering hyperbolic (doubly extended) Dynkin graphs, this viewpoint yields a higher Painleve X system of order 2n, for each n=1,2,3,…, where X=I,II,…,VI is any of the Painleve equations (which appear when n=1). These higher Painleve systems are distinct from the so-called « Painleve hierarchies ». As part of this project we also (define and) solve many irregular additive Deligne-Simpson problems, in terms of the Kac-Moody root system determined by the graph, extending Crawley-Boevey’s results in the case of star-shaped graphs. Main references: Simply-laced isomonodromy systems Publ. Math. IHES 116, No. 1 (2012) 1-68 (arXiv:1107.0874) Irregular connections and Kac-Moody root systems arXiv:0806.1050 (June 2008) From Klein to Painlevé via Fourier, Laplace and Jimbo (Section 3) Proc. London Math. Soc. (3) 90 (2005) 167-208 (arXiv:math/0308221, Aug 2003)

10h-10h30.Oleg Lisovyy : Solutions algébriques et transcendantes de Painlevé VI

Dans la première partie, après une introduction à la théorie de l’équation de Painlevé VI, je parlerai de la classification de ses solutions algébriques. Notre approche sera basée sur l’étude des orbites finies d’une action du groupe modulaire sur la monodromie du système linéaire associé à Painlevé VI. Dans la deuxième partie, je discuterai le lien conjectural entre les équations de Painlevé et la théorie conforme des champs. En particulier, j’expliquerai comment ce lien permet d’obtenir la solution générale de Painlevé VI, V et III sous forme d’une série combinatoire au voisinage des points critiques.

Transparents-solutions algébriques

Transparents-ThéorieConforme

14h-16h30. Gaël Cousin. Quelles sont les connexions plates de rang deux sur des surfaces qu’on obtient à partir de la liste de Lisovyy- Tykhyy ?

On essaiera de donner des éléments de réponse à la question du titre. En utilisant la correspondance de Riemann-Hilbert, on verra qu’on a une action de du groupe de Galois absolu de Q sur les solutions irreductibles de l’équation de Painlevé VI (PVI). Le calcul de ses orbites facilite l’examen des propriétés de factorisation pour les connexions associées. À l’aide de cela, on donnera un exemple de solution algébrique de (PVI) qui donne la structure transverse d’un feuilletage modulaire de Hilbert. Cela illustre le théorème générale donné par Corlette-Simpson en 2008

Transparents-Connexions plates de rang deux

Vendredi 6 juillet  2012, 9h00, salle 207 :
Galina Filipuk :
Deformations isomonodromiques (III) : à confirmer

Vendredi 29 juin 2012, 9h00, salle 207 :
Galina Filipuk :
Exposé Galina Filipuk-Linear and nonlinear ODEs and middle convolution

Survey Galina Filipuk-Linear and nonlinear special functions and middle convolution

Vendredi 22 juin 2012, 9h00, salle 207 :
Galina Filipuk :
Isomonodromic Deformations (I)