On utilise librement les notations et définitions des exposés sur les algèbres de Lie (ici). Tout au long de ces notes \( F \) est un corps de caractéristique 0 et \( \mathfrak{g} \) une algèbre de Lie semisimple sur \( F \).
Category Archives: Groupe de travail
Systèmes de racines des algèbres de Lie semisimples (Jules Martel)
Dans ces notes \( F \) désigne toujours un corps de caractéristique 0, que l’on supposera de plus algébriquement clos vers la fin.
Groupes de Coxeter (notes de Stéphane Lamy préparées pour ses exposés)
Introduction
Immeubles
Contemplons la définition suivante d’immeuble :
Définition Un immeuble est un complexe simplicial \(\Delta\) obtenu comme union de sous-complexes \(\Sigma\) (les appartements) satisfaisant les axiomes suivants:
- Chaque appartement \(\Sigma\) est un complexe de Coxeter.
- Pour tout couple de simplexes \(A, B \in \Delta\), il existe un appartement \(\Sigma\) contenant les deux.
- Si \(\Sigma\) et \(\Sigma’\) sont deux appartements contenant des simplexes \(A\) et \(B\), alors il existe un isomorphisme \(\Sigma \to \Sigma’\) fixant \(A\) et \(B\) point par point.
Dans ces exposés on va introduire la notion de complexe de Coxeter, qui sont des complexes simpliciaux basiques qui serviront à contruire les immeubles.
Arbre du groupe PGL2 et opérateurs de Hecke
\( \def \RR{\mathbb{R}} \) \( \def \CC{\mathbb{C}} \) \( \def \ZZ{\mathbb{Z}} \) \( \def \QQ{\mathbb{Q}} \) \( \def \HH{\mathbb{H}} \) \( \def \NN{\mathbb{N}} \) \( \def \vol{\mathrm{vol}} \) \( \def \tr{\mathrm{tr}\,} \) \( \def \bs{\backslash} \) \( \def \SO{\mathrm{SO}} \) \( \def \SL{\mathrm{SL}} \) \( \def \PGL{\mathrm{PGL}} \) \( \def \PO{\mathrm{PO}} \) \( \def \ram{\mathrm{Ram}} \) \( \def \P{\mathrm P} \)
Constructions de l’arbre
On va démontrer le résultat suivant, un cas particulier élémentaire d’un théorème dû à Bruhat–Tits en toute généralité (pour des groupes réductifs sur des corps locaux ultramétriques ; le cas scindé est dû à Iwahori–Matsumoto).
Théorème : Soit \( p \) un nombre premier. Il existe une action transitive de \( \PGL_2(\QQ_p) \) sur un arbre régulier de valence \( p + 1 \) dans laquelle les stabilisateurs de sommets sont les conjugués de \( \PGL_2(\ZZ_p) \).
Unique ergodicité quantique : le théorème de Lindenstrauss
Conjecture (unique ergodicité quantique, Rudnick–Sarnak) : Soit \( M \) une variété riemannienne fermée (compacte, sans bord) dont les courbures sectionnelles sont strictement négatives. Si \( \phi_j \) est une suite orthonormée de fonctions propres du Laplacien sur\( M \) alors on a la convergence faible
\[
| \phi_j |^2 ~d\mathrm{vol} \to d\mathrm{vol}/ \mathrm{vol}(M).
\]
Introduction au chaos quantique (2/2) (Jean-Marc Bouclet)
\( \def \RR{\mathbb{R}} \) \( \def \vol{\mathrm{vol}} \) \( \def \op{\mathrm{op}} \)
Dans le dernier exposé on avait vu les deux résultats suivants :
- Théorème de Shnirelman : si \( M \) est une variété riemannienne compacte dont ke flot géodésique est ergodique alors pour toute base propre orthonormée pour le Laplacien, une sous-suite de densité 1 des fonctions propres converge faiblement vers la mesure de volume de \( M \) ;
- A l’opposé, sur les sphères il existe des suites de fonctions propres dont les distributions se concentrent sur une géodésique fermée.
Ces résultats se placent dans une problématique plus générale : sur quels sous-ensembles vivent les fonctions propres quand les valeurs propres tendent vers l’infini?
Dans cet exposé on va présenter des outils pour l’étude de cette question.
Introduction au chaos quantique : le théorème de Shnirelman (Jean-Marc Bouclet)
\( \def \RR{\mathbb{R}} \) \( \def \vol{\mathrm{vol}} \) \( \def \op{\mathrm{op}} \)
Théorème de Shnirelman : Soit \( (M, g) \) une variété riemannienne compacte et \( (e_j)_{j\ge 0} \) une base propre orthonormée pour le Laplacien \( \Delta_g \) :
\[
-\Delta_g e_j = \lambda_j e_j, \quad 0 = \lambda_0 < \lambda_1 \le \ldots \le \lambda_j \le \ldots .
\]
Si le flot géodésique de \( M \) est ergodique alors il existe une suite d'indices \( j_k \) de densité 1 (i.e. \( |\{ k :\: j_k \le N \}| /N \to 1 \) quand \( N \to +\infty \)) telle que la suite de mesures \( |e_{j_k}|^2 d\vol_g \) converge faiblement vers le volume normalisé \( d\vol_g/\vol_g(M) \) ; c'est-à-dire que pour toute fonction \( \psi \in C(M) \) on a :
\[
\int_M f(x)|e_{j_k}(x)|^2 d\vol_g(x) \underset{k \to +\infty}{\to} \frac{\int_M fd\vol_g}{\vol(M)}.
\]
Ce théorème a été annoncé (sans preuve) par Shnirelman en 1974 ; la première démonstration en a été donnée par Steve Zelditch (publiée en 1987) suivie par une autre dûe à Yves Colin de Verdière (publiée en 1985).
Spectre des longueurs de surfaces hyperboliques arithmétiques
\( \def \RR{\mathbb R} \) \( \def \CC{\mathbb C} \) \( \def \ZZ{\mathbb Z} \) \( \def \QQ{\mathbb Q} \) \( \def \HH{\mathbb H} \) \( \def \vol{\mathrm{vol}} \) \( \def \tr{\mathrm{tr}\,} \) \( \def \bs{\backslash} \) \( \def \PSL{\mathrm{PSL}} \) \( \def \SL{\mathrm{SL}} \) \( \newcommand{\hilbert}[3]{\genfrac{(}{)}{1pt}{}{#1,#2}{#3}} \) \( \def \ram{\mathrm{Ram}} \) \( \def \fp{\mathfrak{p}} \) \( \def \fq{\mathfrak{q}} \)
Soit \( K = \QQ(\sqrt{10}) \) et \( A \) l’algèbre de quaternions sur \( K \) ramifiée en la place infinie liée au plongement \( \sqrt{10} \mapsto -\sqrt{10} \) et en la place finie correspondant à l’idéal \( (7) \). Le but de cet exposé est de démontrer les faits suivants, énoncés dans les exposé précédents :
- Il existe dans \( A \) deux ordres maximaux \( \mathcal O_1 \) et \( \mathcal O_2 \) qui ne sont pas conjugués par un élément de \( A ^\times \) ;
- Les surfaces hyperboliques \( \Gamma(\mathcal O_1) \bs \HH^2 \) et \( \Gamma(\mathcal O_2) \bs \HH^2 \) sont isospectrales.
1) Spectre du laplacien, spectre des longueurs et extensions quadratiques
La construction de Vignéras, II (Slavyana Geninska)
\( \def \RR{\mathbb{R}} \) \( \def \CC{\mathbb{C}} \) \( \def \ZZ{\mathbb{Z}} \) \( \def \QQ{\mathbb{Q}} \) \( \def \HH{\mathbb{H}} \) \( \def \bs{\backslash} \) \( \def \ram{\mathrm{Ram}} \) \( \def \fp{\mathfrak{p}} \) \( \def \fq{\mathfrak{q}} \)
(Suite de l’exposé précédent).
Valuations \( \fp \)-adiques
La construction de Vignéras (Slavyana Geninska)
\( \def \RR{\mathbb{R}} \) \( \def \CC{\mathbb{C}} \) \( \def \ZZ{\mathbb{Z}} \) \( \def \QQ{\mathbb{Q}} \) \( \def \HH{\mathbb{H}} \) \( \def \vol{\mathrm{vol}} \) \( \def \tr{\mathrm{tr}\,} \) \( \def \bs{\backslash} \) \( \def \SO{\mathrm{SO}} \) \( \def \SL{\mathrm{SL}} \) \( \def \PSL{\mathrm{PSL}} \) \( \def \PGL{\mathrm{PGL}} \) \( \newcommand{\hilbert}[3]{\genfrac{(}{)}{1pt}{}{#1,#2}{#3}} \)
On va expliquer (d’après Marie-France Vignéras) comment la construction de surfaces hyperboliques de la semaine dernière permet d’obtenir des paires de surfaces isospectrales. On cherche donc :
- Un corps de nombres totalement réel \( K \) ;
- Une algèbre de quaternions \( A \) sur \( K \) (ramifiée à toutes les places réelles sauf une) ;
- Des ordres (qui seront maximaux) \( \mathcal O_1, \mathcal O_2 \) dans \( A \) ;
tels que :
- \( \Gamma(\mathcal O_i) \bs \HH^2 \) soient des surfaces hyperboliques compactes ;
- Elles soient isospectrales ;
- Elles ne soient pas isométriques.