On utilise librement les notations et définitions des exposés sur les algèbres de Lie (ici). Tout au long de ces notes
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Systèmes de racines des algèbres de Lie semisimples (Jules Martel)
Dans ces notes
Groupes de Coxeter (notes de Stéphane Lamy préparées pour ses exposés)
Introduction
Immeubles
Contemplons la définition suivante d’immeuble :
Définition Un immeuble est un complexe simplicial
obtenu comme union de sous-complexes (les appartements) satisfaisant les axiomes suivants:
- Chaque appartement
est un complexe de Coxeter. - Pour tout couple de simplexes
, il existe un appartement contenant les deux. - Si
et sont deux appartements contenant des simplexes et , alors il existe un isomorphisme fixant et point par point.
Dans ces exposés on va introduire la notion de complexe de Coxeter, qui sont des complexes simpliciaux basiques qui serviront à contruire les immeubles.
Arbre du groupe PGL2 et opérateurs de Hecke
Constructions de l’arbre
On va démontrer le résultat suivant, un cas particulier élémentaire d’un théorème dû à Bruhat–Tits en toute généralité (pour des groupes réductifs sur des corps locaux ultramétriques ; le cas scindé est dû à Iwahori–Matsumoto).
Théorème : Soit
Unique ergodicité quantique : le théorème de Lindenstrauss
Conjecture (unique ergodicité quantique, Rudnick–Sarnak) : Soit























Introduction au chaos quantique (2/2) (Jean-Marc Bouclet)
Dans le dernier exposé on avait vu les deux résultats suivants :
- Théorème de Shnirelman : si
est une variété riemannienne compacte dont ke flot géodésique est ergodique alors pour toute base propre orthonormée pour le Laplacien, une sous-suite de densité 1 des fonctions propres converge faiblement vers la mesure de volume de ; - A l’opposé, sur les sphères il existe des suites de fonctions propres dont les distributions se concentrent sur une géodésique fermée.
Ces résultats se placent dans une problématique plus générale : sur quels sous-ensembles vivent les fonctions propres quand les valeurs propres tendent vers l’infini?
Dans cet exposé on va présenter des outils pour l’étude de cette question.
Introduction au chaos quantique : le théorème de Shnirelman (Jean-Marc Bouclet)
Théorème de Shnirelman : Soit


























Si le flot géodésique de






























































































Ce théorème a été annoncé (sans preuve) par Shnirelman en 1974 ; la première démonstration en a été donnée par Steve Zelditch (publiée en 1987) suivie par une autre dûe à Yves Colin de Verdière (publiée en 1985).
Spectre des longueurs de surfaces hyperboliques arithmétiques
Soit
- Il existe dans
deux ordres maximaux et qui ne sont pas conjugués par un élément de ; - Les surfaces hyperboliques
et sont isospectrales.
1) Spectre du laplacien, spectre des longueurs et extensions quadratiques
La construction de Vignéras, II (Slavyana Geninska)
La construction de Vignéras (Slavyana Geninska)
On va expliquer (d’après Marie-France Vignéras) comment la construction de surfaces hyperboliques de la semaine dernière permet d’obtenir des paires de surfaces isospectrales. On cherche donc :
- Un corps de nombres totalement réel
; - Une algèbre de quaternions
sur (ramifiée à toutes les places réelles sauf une) ; - Des ordres (qui seront maximaux)
dans ;
tels que :
-
soient des surfaces hyperboliques compactes ; - Elles soient isospectrales ;
- Elles ne soient pas isométriques.