Conjecture (unique ergodicité quantique, Rudnick–Sarnak) : Soit \( M \) une variété riemannienne fermée (compacte, sans bord) dont les courbures sectionnelles sont strictement négatives. Si \( \phi_j \) est une suite orthonormée de fonctions propres du Laplacien sur\( M \) alors on a la convergence faible
\[
| \phi_j |^2 ~d\mathrm{vol} \to d\mathrm{vol}/ \mathrm{vol}(M).
\]
Author Archives: jraimbau
Introduction au chaos quantique (2/2) (Jean-Marc Bouclet)
\( \def \RR{\mathbb{R}} \) \( \def \vol{\mathrm{vol}} \) \( \def \op{\mathrm{op}} \)
Dans le dernier exposé on avait vu les deux résultats suivants :
- Théorème de Shnirelman : si \( M \) est une variété riemannienne compacte dont ke flot géodésique est ergodique alors pour toute base propre orthonormée pour le Laplacien, une sous-suite de densité 1 des fonctions propres converge faiblement vers la mesure de volume de \( M \) ;
- A l’opposé, sur les sphères il existe des suites de fonctions propres dont les distributions se concentrent sur une géodésique fermée.
Ces résultats se placent dans une problématique plus générale : sur quels sous-ensembles vivent les fonctions propres quand les valeurs propres tendent vers l’infini?
Dans cet exposé on va présenter des outils pour l’étude de cette question.
Introduction au chaos quantique : le théorème de Shnirelman (Jean-Marc Bouclet)
\( \def \RR{\mathbb{R}} \) \( \def \vol{\mathrm{vol}} \) \( \def \op{\mathrm{op}} \)
Théorème de Shnirelman : Soit \( (M, g) \) une variété riemannienne compacte et \( (e_j)_{j\ge 0} \) une base propre orthonormée pour le Laplacien \( \Delta_g \) :
\[
-\Delta_g e_j = \lambda_j e_j, \quad 0 = \lambda_0 < \lambda_1 \le \ldots \le \lambda_j \le \ldots .
\]
Si le flot géodésique de \( M \) est ergodique alors il existe une suite d'indices \( j_k \) de densité 1 (i.e. \( |\{ k :\: j_k \le N \}| /N \to 1 \) quand \( N \to +\infty \)) telle que la suite de mesures \( |e_{j_k}|^2 d\vol_g \) converge faiblement vers le volume normalisé \( d\vol_g/\vol_g(M) \) ; c'est-à-dire que pour toute fonction \( \psi \in C(M) \) on a :
\[
\int_M f(x)|e_{j_k}(x)|^2 d\vol_g(x) \underset{k \to +\infty}{\to} \frac{\int_M fd\vol_g}{\vol(M)}.
\]
Ce théorème a été annoncé (sans preuve) par Shnirelman en 1974 ; la première démonstration en a été donnée par Steve Zelditch (publiée en 1987) suivie par une autre dûe à Yves Colin de Verdière (publiée en 1985).
Spectre des longueurs de surfaces hyperboliques arithmétiques
\( \def \RR{\mathbb R} \) \( \def \CC{\mathbb C} \) \( \def \ZZ{\mathbb Z} \) \( \def \QQ{\mathbb Q} \) \( \def \HH{\mathbb H} \) \( \def \vol{\mathrm{vol}} \) \( \def \tr{\mathrm{tr}\,} \) \( \def \bs{\backslash} \) \( \def \PSL{\mathrm{PSL}} \) \( \def \SL{\mathrm{SL}} \) \( \newcommand{\hilbert}[3]{\genfrac{(}{)}{1pt}{}{#1,#2}{#3}} \) \( \def \ram{\mathrm{Ram}} \) \( \def \fp{\mathfrak{p}} \) \( \def \fq{\mathfrak{q}} \)
Soit \( K = \QQ(\sqrt{10}) \) et \( A \) l’algèbre de quaternions sur \( K \) ramifiée en la place infinie liée au plongement \( \sqrt{10} \mapsto -\sqrt{10} \) et en la place finie correspondant à l’idéal \( (7) \). Le but de cet exposé est de démontrer les faits suivants, énoncés dans les exposé précédents :
- Il existe dans \( A \) deux ordres maximaux \( \mathcal O_1 \) et \( \mathcal O_2 \) qui ne sont pas conjugués par un élément de \( A ^\times \) ;
- Les surfaces hyperboliques \( \Gamma(\mathcal O_1) \bs \HH^2 \) et \( \Gamma(\mathcal O_2) \bs \HH^2 \) sont isospectrales.
1) Spectre du laplacien, spectre des longueurs et extensions quadratiques
La construction de Vignéras, II (Slavyana Geninska)
\( \def \RR{\mathbb{R}} \) \( \def \CC{\mathbb{C}} \) \( \def \ZZ{\mathbb{Z}} \) \( \def \QQ{\mathbb{Q}} \) \( \def \HH{\mathbb{H}} \) \( \def \bs{\backslash} \) \( \def \ram{\mathrm{Ram}} \) \( \def \fp{\mathfrak{p}} \) \( \def \fq{\mathfrak{q}} \)
(Suite de l’exposé précédent).
Valuations \( \fp \)-adiques
La construction de Vignéras (Slavyana Geninska)
\( \def \RR{\mathbb{R}} \) \( \def \CC{\mathbb{C}} \) \( \def \ZZ{\mathbb{Z}} \) \( \def \QQ{\mathbb{Q}} \) \( \def \HH{\mathbb{H}} \) \( \def \vol{\mathrm{vol}} \) \( \def \tr{\mathrm{tr}\,} \) \( \def \bs{\backslash} \) \( \def \SO{\mathrm{SO}} \) \( \def \SL{\mathrm{SL}} \) \( \def \PSL{\mathrm{PSL}} \) \( \def \PGL{\mathrm{PGL}} \) \( \newcommand{\hilbert}[3]{\genfrac{(}{)}{1pt}{}{#1,#2}{#3}} \)
On va expliquer (d’après Marie-France Vignéras) comment la construction de surfaces hyperboliques de la semaine dernière permet d’obtenir des paires de surfaces isospectrales. On cherche donc :
- Un corps de nombres totalement réel \( K \) ;
- Une algèbre de quaternions \( A \) sur \( K \) (ramifiée à toutes les places réelles sauf une) ;
- Des ordres (qui seront maximaux) \( \mathcal O_1, \mathcal O_2 \) dans \( A \) ;
tels que :
- \( \Gamma(\mathcal O_i) \bs \HH^2 \) soient des surfaces hyperboliques compactes ;
- Elles soient isospectrales ;
- Elles ne soient pas isométriques.
Surfaces hyperboliques arithmétiques (Slavyana Geninska)
\( \def \RR{\mathbb{R}} \) \( \def \CC{\mathbb{C}} \) \( \def \ZZ{\mathbb{Z}} \) \( \def \QQ{\mathbb{Q}} \) \( \def \HH{\mathbb{H}} \) \( \def \vol{\mathrm{vol}} \) \( \def \tr{\mathrm{tr}\,} \) \( \def \bs{\backslash} \) \( \def \SO{\mathrm{SO}} \) \( \def \SL{\mathrm{SL}} \) \( \def \PSL{\mathrm{PSL}} \) \( \def \PSO{\mathrm{PSO}} \) \( \newcommand{\hilbert}[3]{\left(\frac{#1,#2}{#3}\right)} \)
Groupes Fuchsiens arithmétiques
On rappelle que si \( \Gamma\subset\PSL_2(\RR) \) est un sous-groupe discret, sans torsion et cocompact alors le quotient \( \Gamma \backslash \HH^2 \) est une surface hyperbolique (si \( \Gamma \) contient de la torsion on a en plus des singularités coniques). Ici on va construire des exemples explicites de tels sous-groupes \( \Gamma \).
Introduction aux variétés isospectrales
\( \def \RR{\mathbb{R}} \) \( \def \ZZ{\mathbb{Z}} \) \( \def \QQ{\mathbb{Q}} \) \( \def \HH{\mathbb{H}} \) \( \def \vol{\mathrm{vol}} \) \( \def \tr{\mathrm{tr}\,} \) \( \def \bs{\backslash} \) \( \def \SO{\mathrm{SO}} \) \( \def \SL{\mathrm{SL}} \) \( \def \PSL{\mathrm{PSL}} \) \( \def \PSO{\mathrm{PSO}} \)
NB. Les notes ci-après diffèrent légèrement de l’exposé oral qui en a été tiré.
Dans cet exposé (sauf mention du contraire) toutes les variétés sont fermées, et supposées munies d’une métrique riemannienne ; on garde les notations des exposés précédents et on notera en plus \( \sigma(M) \) le spectre de l’extension \( L^2 \) du laplacien de \( M \). Deux variétés \( M_1 \) et \( M_2 \) sont dites isospectrales si \( \sigma(M_1) = \sigma(M_2) \). On utilisera parfois le terme ‘isospectral’ pour signifier ‘isospectral, non-isométrique’.
1) Retour sur le spectre et la géométrie
Propriétés spectrales de l’opérateur de Laplace–Beltrami II (Jean-Marc Bouclet)
\( \def \tr{\mathrm{tr}\:} \) \( \def \RR{\mathbb{R}} \) \( \def \ZZ{\mathbb{Z}} \) \( \def \eps{\varepsilon} \)(Suite de l’exposé de la semaine précédente.)